1、零件的參數(shù)設(shè)計(jì)摘要：本題目對(duì)零件的參數(shù)這一問題，綜合考慮重新設(shè)計(jì)零件的參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），并與原設(shè)計(jì)進(jìn)行比較，得出最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)模型進(jìn)行求解，最后用計(jì)算機(jī)模擬對(duì)模型的最優(yōu)解進(jìn)行檢驗(yàn)。由題意知粒子分離器的參數(shù)y由零件參數(shù)的參數(shù)決定，參數(shù)的容差等級(jí)決定了產(chǎn)品的成本，偏離的值決定了產(chǎn)品的損失，問題就是尋找零件的最優(yōu)標(biāo)定值和最優(yōu)等級(jí)搭配，使得批量生產(chǎn)時(shí)的總費(fèi)用最少。一、 問題的重述： 一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)

2、視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望值，在生產(chǎn)部門無特殊要求時(shí)，容差通常規(guī)定為均方差的倍。 進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)，就是要確定其標(biāo)定值和容差。這時(shí)要考慮兩方面因素：一是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí)，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，就會(huì)造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容差的大小決定了其制造成本，容差設(shè)計(jì)得越小，成本越高。 試通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計(jì)方法。 粒子分離器某參數(shù)（記作y）由7個(gè)零件的參數(shù)（記作x1,x2,.,x7）決定，經(jīng)驗(yàn)公式為：y的目標(biāo)值（記作）為1.50。當(dāng)y偏離0.1時(shí)，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1,000元；當(dāng)y偏離0.3時(shí)，產(chǎn)品為廢品，損失為9,000元。 零件參數(shù)的標(biāo)

3、定值有一定的容許范圍；容差分為、三個(gè)等級(jí)，用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示，等為1%，等為5%，等為10%。7個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍，及不同容差等級(jí)零件的成本（元）如下表（符號(hào)表示無此等級(jí)零件）：標(biāo)定值容許范圍等等等x10.075,0.12525x20.225,0.3752050x30.075,0.1252050200x40.075,0.12550100500x51.125,1.87550x612,201025100x70.5625,0.93525100 現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1,000個(gè)。在原設(shè)計(jì)中，7個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值為：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x

4、6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等級(jí)。請你綜合考慮y偏離造成的損失和零件成本，重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差），并與原設(shè)計(jì)比較，總費(fèi)用降低了多少？二、問題的假設(shè)1、假設(shè)在加工零件時(shí)，在確定了標(biāo)定值的情況下，零件的誤差服從正太分布且各個(gè)零件的誤差是相互獨(dú)立的。2、假設(shè)制造零件的總費(fèi)用只由零件的損失費(fèi)用和成本組成，不必考慮其他外在因素。3、假設(shè)題目所給的經(jīng)驗(yàn)公式足夠反映參數(shù)，對(duì)參數(shù)y的影響，而且經(jīng)驗(yàn)公式有足夠高的精度，即不考慮經(jīng)驗(yàn)公式的誤差。三、符號(hào)說明 符號(hào)符號(hào)說明第i類零件參數(shù)的標(biāo)定值（i=1，27）第i類零件參數(shù)的實(shí)際值相對(duì)目標(biāo)值的偏差（i=1，27）第i類零件參數(shù)的容差（i=

5、1，27）第i類零件參數(shù)的方差（i=1，27），標(biāo)定值的上下限離子分離器該參數(shù)的目標(biāo)值離子分離器某參數(shù)的實(shí)際值離子分離器某參數(shù)的均值離子分離器某參數(shù)的實(shí)際值y相對(duì)平均值的偏差離子分離器某參數(shù)的方差一批產(chǎn)品中正品的概率一批產(chǎn)品中次品的概率一批產(chǎn)品中廢品的概率一批產(chǎn)品的總費(fèi)用（包括損失和成本費(fèi)）第i類零件對(duì)應(yīng)容差等級(jí)為j的成本（j=A,B,C）單位：元/個(gè) 四、模型的建立由題意可以知道，容差如果變大，則生產(chǎn)產(chǎn)品的的成本會(huì)降低，但同時(shí)y偏離的程度也增大，從而導(dǎo)致了損失的增加，由此我們要求出一個(gè)最優(yōu)解，使得總費(fèi)用最低。為了確定原設(shè)計(jì)中標(biāo)定值（xi（i=1，2，3，.，7）的期望值）及已給的容差對(duì)產(chǎn)品性

6、能參數(shù)影響而導(dǎo)致的總損失w，即確定y偏離目標(biāo)值所造成的損失和零件成本，先列出總費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型表達(dá)如下：為了確定總損失w，必須知道（即正品、次品及廢品的概率）。為此，用泰勒公式將經(jīng)驗(yàn)公式在X=（i=1，2，3，.7）處展開并略去高次項(xiàng)（原因：誤差本來就在0.01級(jí)別，它的高階無窮小完全可以忽略），后來研究y的概率分布，設(shè)f（x）=y，則 將標(biāo)定值xi（i=1，2，3，.7）帶入經(jīng)驗(yàn)公式得 得 由于在加工零件時(shí)，在標(biāo)定值知道的情況下，加工誤差服從正太分布，即 且xi相互獨(dú)立，由正態(tài)分布性質(zhì)可知， ，由誤差傳遞公式得由于容差均為方差的3倍，容差與標(biāo)定值的比值為容差等級(jí)，則， y的分布密度函數(shù)為產(chǎn)品為

7、正品時(shí)y的范圍是 產(chǎn)品為次品時(shí)y的范圍是 和 ，產(chǎn)品為廢品時(shí)y的范圍是 和 y偏離的概率，即次品的概率為y偏離的概率，即廢品的概率為由于y偏離越遠(yuǎn)，損失越大，所以在固定時(shí)，調(diào)整y使之等于目標(biāo)值可降低損失。取 即=， 則，為標(biāo)準(zhǔn)正太分布函數(shù)。綜合考慮y偏離造成的損失和零件成本，設(shè)計(jì)最優(yōu)零件參數(shù)的模型建立如下目標(biāo)函數(shù) 五、模型的求解初步分析，對(duì)于原給定的方案，利用matlab編程計(jì)算（見附錄），計(jì)算結(jié)果如下正品率次品率廢品率成本費(fèi)損失費(fèi)總費(fèi)用0.12600.62390.25012002874.83074.8由于按原設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)的產(chǎn)品頻率過低，損失費(fèi)過高，顯然設(shè)計(jì)不合理。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，參數(shù)均值=1

8、.7256偏離目標(biāo)值=1.5太遠(yuǎn)，致使損失過大。盡管原設(shè)計(jì)方案保證了成本最低，但由于零件參數(shù)的精度過低，導(dǎo)致正品率也過低，損失較高。所以我們應(yīng)綜合考慮成本費(fèi)和損失費(fèi)。 模型的實(shí)現(xiàn)過程：本模型通過matlab進(jìn)行求解，我們通過理論模型求解和隨機(jī)模擬的求解過程如下：在給定容差等級(jí)的情況下，利用matlab中求解非線性規(guī)劃的函數(shù)fmincon，通過多次迭代求解，最終球的一組最優(yōu)解。最初，我們設(shè)定的fmincon函數(shù)目標(biāo)函數(shù)就是總費(fèi)用，約束條件為各個(gè)標(biāo)定值的容許范圍，以及各零件標(biāo)定值帶入產(chǎn)品參數(shù)表達(dá)式應(yīng)為，即1.5.然而，在迭代過程中我們發(fā)現(xiàn)，求解過程十分慢，因此，我們在仔細(xì)對(duì)matlab實(shí)現(xiàn)代碼進(jìn)行

9、研究發(fā)現(xiàn)，求解過程非常慢，為了提高速度，我們首先利用matlab的diff函數(shù)對(duì)產(chǎn)品參數(shù)中的各個(gè)表達(dá)式進(jìn)行求偏導(dǎo)，然后得到多個(gè)帶參表達(dá)式，利用int函數(shù)對(duì)y的概率密度函數(shù)進(jìn)行積分，分別得到出現(xiàn)次品和廢品的概率的表達(dá)式，然后將這些表達(dá)式寫進(jìn)程序里，這樣在求解過程中就不需要在每一次迭代中都要求偏導(dǎo)和積分了，修改后的程序運(yùn)行時(shí)間大大減少。六、模型檢驗(yàn)對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行模型檢驗(yàn)?zāi)M，由于每種零件參數(shù)均服從正態(tài)分布，用正態(tài)分布隨機(jī)發(fā)生器在每種零件參數(shù)允許的范圍內(nèi)產(chǎn)生1000個(gè)隨機(jī)數(shù)參與真實(shí)值的計(jì)算隨機(jī)模擬多次后結(jié)果如下：正品率次品率廢品率成本費(fèi)損失費(fèi)總費(fèi)用0.85700.14300.000027514341

10、8七、誤差分析1、在建模過程中，通過泰勒公式將展開并略去高次項(xiàng)使線性化，不可避免地產(chǎn)生可截?cái)嗾`差，所以展開后的式子致使原經(jīng)驗(yàn)公式的近似關(guān)系式。但在一般情況下，線性化和在求和在實(shí)用上具有足夠的精度，所以由于函數(shù)線性化而略去的高次項(xiàng)可以忽略不計(jì)。在函數(shù)關(guān)系式叫復(fù)雜的情況下，將其線性化更具有明顯的優(yōu)勢。2、本模型忽略了小概率事件的發(fā)生的可能，認(rèn)為零件的參數(shù)只可能出現(xiàn)在允許范圍內(nèi)，即，現(xiàn)實(shí)中，小概率事件仍有能發(fā)生，但是在大批量生產(chǎn)中，小概率事件發(fā)生對(duì)最終結(jié)果沒有影響，所以可以忽略。3、該模型對(duì)于質(zhì)量損失的計(jì)算，將所有函數(shù)都看做連續(xù)函數(shù)，而這對(duì)于每個(gè)零件而言是不可能的，所以其中也會(huì)產(chǎn)生誤差。八、模型優(yōu)缺

11、點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1、 建模過程中，采用泰勒公式將經(jīng)驗(yàn)公式簡化，并假設(shè)各零件參數(shù)都滿足大量數(shù)據(jù)的正態(tài)分布，使得整個(gè)模型的建立及求解得到大大簡化。2、 本模型運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)與優(yōu)化知識(shí)對(duì)零件參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過建立一個(gè)反應(yīng)設(shè)計(jì)要求的數(shù)學(xué)模型，利用matlab軟件，經(jīng)過編程來實(shí)現(xiàn)對(duì)設(shè)計(jì)方案參數(shù)的調(diào)整，將總費(fèi)用由3074.8（元/個(gè)），結(jié)果還是令人十分滿意的。缺點(diǎn)：1、 本模型在模型的求解過程中，對(duì)一些可接受范圍內(nèi)的誤差直接進(jìn)行了忽略，因而對(duì)于結(jié)果的精確性還是會(huì)有影響。2、 本模型時(shí)建立在一些假設(shè)中的，所有實(shí)用性受到了限制，在實(shí)際生產(chǎn)中，如果可以把更多的一些因素考慮進(jìn)去會(huì)更好。在已假設(shè)的條件下，本模型的優(yōu)化結(jié)果

12、還是好的。 附錄：function f=resultfval=inf; tic B(1)=2;B(5)=3;for b=2:3 B(2)=b; for c=1:3 B(3)=c; for d=1:3 B(4)=d; for f=1:3 B(6)=f; for g=1:2 B(7)=g; fv,x=getcost(B); if fv<fval Xmin=x; Bmin=B; fval=fv; end; end; end; end; end;end;f=fval,Xmin,Bmin,p=getP(Xmin,Bmin)tocsimulation(Xmin,Bmin); function f,x

13、=getcost(B) MU=0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75; options=optimset('largescale','off');x,fval=fmincon('getfcY',MU,'mycon',options,B);x,B,f=cost(x,B) function c,ceq=mycon(MU,B)c(1)=MU(1)-0.125;c(2)0.075-MU(1);c(3)=MU(2)-0.375;c(4)=0.225-MU(2);c(5)=MU(3)-0.125;c(6)=0.075-MU(3

14、);c(7)=MU(4)-0.125;c(8)=0.075-MU(4);c(9)=MU(5)-1.875;c(10)=1.125-MU(5);c(11)=MU(6)-20;c(12)=12-MU(6);c(13)=MU(7)-0.935;c(14)=0.5625-MU(7);ceq(1)=Yfun(MU)-1.5; function f=cost(MU,B)f=25;p=getP(MU,B;if (B(2)=2) f=f+50;else f=f+20;end;switch (B(3) case 1 f=f+200; case 2 f=f+50; case 3 f=f+20;end;switch

15、 (B(4) case 1 f=f+500; case 2; f=f+100; case 3 f=f+50;end;switch (BC(6) case 1 f=f+100; case 2 f=f+25; case 3 f=f+10;end;if(B(7)=1) f=f+100else f=f+25;end;f=f+p(2)*1000+p(3)*9000;function f=getfcY(MU,B)f=0;B=int32(B);for i=1:7 if B(i)=1 sigma(i)=MU(i)*0.01/3; end; if B(i)=2 sigma(i)=MU(i)*0.01/3; en

16、d; if B(i)=3 sigma(i)=MU(i)*0.05/3; end;end; x1=MU(1);x2=MU(2);x3=MU(3);x4=MU(4);x5=MU(5);x6=MU(6);x7=MU(7);f=(pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(1)2;f=(pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(2)2;f=(pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(3)2;f=(pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(4)2;f=(pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(5

17、)2;f=(pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(6)2;f=(pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(7)2;f=abs(f0.5); function f=pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=8721/50/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)+148257/1000*x(1)/x(5)/(x(3)/(x(2)-x(1)(3/20)*(1-131/50*(1

18、-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*x(3)/(x(2)-x(1)2;function f=pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=-148257/1000*x(1)/x(5)/(x(3)/(x(2)-x(1). (3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25). (3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*x(3)/(x(2). -x(1)2+8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/2

19、0)/. (1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2). (29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*(24759/31250*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(1/2)/(x(4)/x(2). (2/5)*x(4)/x(2)2+3799/1250*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(4/25)*x(4)/x(2)2)/x(6)/x(7);function f=pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=148257/1000*x(1)/x(5)/(x(3)/

20、(x(2)-x(1)(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)/(x(2)-x(1);function f=pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/20)/. (1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*. (x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*(-24759/31250*. (1-9/25/(x(4)/x(2)(14/2

21、5)(1/2)/(x(4)/x(2)(2/5)/x(2)-. 3799/1250*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(4/25)/x(2)/x(6)/x(7);function f=pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=-8721/50*x(1)/x(5)2*(x(3)/(x(2)-x(1)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2);function f=pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=d(

22、6)=-8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1). (17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25). (3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)(1/2)*. (1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2)(14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)2/x(7);function f=pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)f=-8721/100*x(1)/x(5)*(x(3)/(x(2)-x(1).(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2). (14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/. x(6)/x(7)(1/2)*(1-131/50*(1-9/25/(x(4)/x(2). (14/25)(3/2)*(x(4)/x(2)(29/25)/x(6)/x(7)2;function f=getP(MU,B)yb=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);f(2)=jf1(yb,fc);f(3)=jf2(yb,fc);f(1)=1-f(2)-f(3);f=double(f);function f=jf1(u,a0