1、221橢圓及其標準方程預習課本P3842，思考并完成以下問題1平面內滿足什么條件的點的軌跡為橢圓？橢圓的焦點、焦距分別是什么？2橢圓的標準方程是什么？1橢圓的定義平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距點睛定義中的條件2a>|F1F2|>0不能少，這是根據三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的否則：當2a|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2；當2a<|F1F2|時，其軌跡不存在2橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦點

2、坐標(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的關系c2a2b21判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內到兩定點距離之和等于定長的點的軌跡為橢圓()(2)已知橢圓的焦點是F1，F2，P是橢圓上的一動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|PF2|，則動點Q的軌跡為圓()(3)方程1(a>0，b>0)表示的曲線是橢圓()答案：(1)×(2)(3)×2若橢圓1的一個焦點坐標為(1,0)，則實數m的值為()A1B2C4 D6答案：C3橢圓1的焦點坐標是_答案：(0，±12)求橢圓的標準方程典例求滿足下列條件的橢圓的

3、標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(4,0)和(4,0)，且橢圓經過點(5,0)；(2)焦點在y軸上，且經過兩個點(0,2)和(1,0)解(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為1(a>b>0)將點(5,0)代入上式解得a5，又c4，所以b2a2c225169故所求橢圓的標準方程為1(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為1(a>b>0)因為橢圓經過點(0,2)和(1,0)，所以故所求橢圓的標準方程為x21確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程

4、的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數值，常根據條件列方程求解活學活用求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經過兩點(2，)，；(2)過點(，)，且與橢圓1有相同的焦點解：法一：(分類討論法)若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為1(a>b>0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標準方程為1若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為1(a>b>0)由已知條件得解得則a2<b2，與題設中a>b>0矛盾，舍去綜上，所求橢圓的標準方程為1法二：(待定系數法)設橢圓的一般方程為Ax2By21(A>0，B>0，AB)將兩點(2，)，代入，得解得所以所求橢圓

5、的標準方程為1(2)因為所求橢圓與橢圓1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c225916設它的標準方程為1(a>b>0)因為c216，且c2a2b2，故a2b216又點(，)在橢圓上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求橢圓的標準方程為1橢圓的定義及其應用典例如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點P在第二象限，且PF1F2120°，求PF1F2的面積解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|

6、PF1|由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|將代入解得|PF1|所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120°××2×，即PF1F2的面積是(1)橢圓定義的應用中，要實現兩個焦點半徑之間的相互轉化，將兩個焦半徑之和看作個整體(2)涉及焦點三角形面積時，可把|PF1|，|PF2|看作一個整體，運用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨求解活學活用設F1，F2是橢圓1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF

7、1|PF2|2則PF1F2是()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形解析：選B由橢圓的定義得|PF1|PF2|8又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，故PF1F2為直角三角形與橢圓有關的軌跡問題典例(1)已知P是橢圓1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為_(2)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C求C的方程解析(1)設P(xP，yP)，Q(x，y)，由中點坐標公式得所以又點P在橢圓1上，所以1，即x21答案：x21(2)解：由已知得圓M的圓心為M(1,0)，

8、半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R動圓P與圓M外切并且與圓N內切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24由橢圓定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為1(x2)解決與橢圓有關的軌跡問題的兩種方法(1)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義若符合橢圓的定義，則用待定系數法求解即可(2)相關點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這

9、種方法稱為相關點法活學活用求過點P(3,0)且與圓x26xy2910相內切的動圓圓心的軌跡方程解：圓方程配方整理得(x3)2y2102，圓心為C1(3，0)，半徑為R10設所求動圓圓心為C(x，y)，半徑為r，依題意有消去r得R|PC|CC1|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10又P(3,0)，C1(3,0)，且|PC1|6<10可見C點是以P，C1為兩焦點的橢圓，且c3,2a10，所以a5，從而b4，故所求的動圓圓心的軌跡方程為1層級一學業水平達標1設P是橢圓1上的點，若F1，F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10解析：選D根據橢圓的定義知，|PF1

10、|PF2|2a2×510，故選D2已知ABC的頂點B，C在橢圓y21上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則ABC的周長是()A2 B6C4 D12解析：選C由于ABC的周長與焦點有關，設另一焦點為F，利用橢圓的定義，|BA|BF|2，|CA|CF|2，便可求得ABC的周長為43命題甲：動點P到兩定點A，B的距離之和|PA|PB|2a(a>0，常數)；命題乙：P點軌跡是橢圓則命題甲是命題乙的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分且必要條件 D既不充分又不必要條件解析：選B利用橢圓定義若P點軌跡是橢圓，則|PA|PB|2a(a>0，常數)，甲是乙

11、的必要條件反過來，若|PA|PB|2a(a>0，常數)是不能推出P點軌跡是橢圓的這是因為：僅當2a>|AB|時，P點軌跡才是橢圓；而當2a|AB|時，P點軌跡是線段AB；當2a<|AB|時，P點無軌跡，甲不是乙的充分條件綜上，甲是乙的必要不充分條件4如果方程1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值范圍是()Aa>3 Ba<2Ca>3或a<2 Da>3或6<a<2解析：選D由a2>a6>0得所以所以a>3或6<a<25已知P為橢圓C上一點，F1，F2為橢圓的焦點，且|F1F2|2，若|PF1|與|PF2|的

12、等差中項為|F1F2|，則橢圓C的標準方程為()A1B1或1C1D1或1解析：選B由已知2c|F1F2|2，c2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2b2a2c29故橢圓C的標準方程是1或16橢圓1的焦距是2，則m的值是_解析：當橢圓的焦點在x軸上時，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1m41，m5當橢圓的焦點在y軸上時，a24，b2m，c24m1，m3答案：3或57已知橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點，則橢圓C的標準方程為_解析：法一：依題意，可設橢圓C的方程為1(a>b>0)，且可知左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C

13、的標準方程為1法二：依題意，可設橢圓C的方程為1(a>b>0)，則解得b212或b23(舍去)，從而a216所以橢圓C的標準方程為1答案：18橢圓的兩焦點為F1(4,0)，F2(4,0)，點P在橢圓上，若PF1F2的面積最大為12，則橢圓方程為_解析：如圖，當P在y軸上時PF1F2的面積最大，×8b12，b3又c4，a2b2c225橢圓的標準方程為1答案：19設F1，F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點設橢圓C上一點到兩焦點F1，F2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標解：由點在橢圓上，得1，又2a4，所以橢圓C的方程為1，焦點坐標分別為(1,

14、0)，(1,0)10已知橢圓C與橢圓x237y237的焦點F1，F2相同，且橢圓C過點(1)求橢圓C的標準方程；(2)若PC，且F1PF2，求F1PF2的面積解：(1)因為橢圓y21的焦點坐標為(6,0)，(6,0)所以設橢圓C的標準方程為1(a2>36)將點的坐標代入整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2(舍去)，所以橢圓C的標準方程為1(2)因為P為橢圓C上任一點，所以|PF1|PF2|2a20由(1)知c6，在PF1F2中，|F1F2|2c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos ，即122|PF1|2

15、|PF2|2|PF1|·|PF2|因為|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·所以122(|PF1|PF2|)23|PF1|·|PF2|所以1222023|PF1|PF2|所以|PF1|·|PF2|SPF1F2|PF1|·|PF2|sin ××所以F1PF2的面積為層級二應試能力達標1下列說法中正確的是()A已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面內到F1，F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面內到F1，F2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C平面內到點F1

16、(4,0)，F2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1，F2的距離之和的點的軌跡是橢圓D平面內到點F1(4,0)，F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓解析：選CA中，|F1F2|8，則平面內到F1，F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線段，所以A錯誤；B中，到F1，F2兩點的距離之和等于6，小于|F1F2|，這樣的軌跡不存在，所以B錯誤；C中，點M(5,3)到F1，F2兩點的距離之和為4>|F1F2|8，則其軌跡是橢圓，所以C正確；D中，軌跡應是線段F1F2的垂直平分線，所以D錯誤故選C2橢圓1的焦點為F1，F2，P為橢圓上的一點，已知·0，則F1PF2的面積為()

17、A9B12C10 D8解析：選A·0，PF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a又a5，b3，c4，2，得2|PF1|·|PF2|36，|PF1|·|PF2|18，F1PF2的面積為S·|PF1|·|PF2|93若，方程x2sin y2cos 1表示焦點在y軸上的橢圓，則的取值范圍是()A BC D解析：選A易知sin 0，cos 0，方程x2sin y2cos 1可化為1因為橢圓的焦點在y軸上，所以>>0，即sin >cos >0又，所以<<4已知P為橢圓1上的一點，M，N分

18、別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點，則|PM|PN|的最小值為()A5 B7C13 D15解析：選B由題意知橢圓的兩個焦點F1，F2分別是兩圓的圓心：且|PF1|PF2|10，從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|1275若橢圓2kx2ky21的一個焦點為(0，4)，則k的值為_解析：易知k0，方程2kx2ky21變形為1，所以16，解得k答案：6已知橢圓C： 1，點M與C的焦點不重合若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則 |AN|BN|_解析：取MN的中點G，G在橢圓C上，因為點M關于C的焦點F1，F2的對稱點分別為A，B，故有|GF1|AN|，

19、|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12答案：127已知點P在橢圓上，且P到橢圓的兩個焦點的距離分別為5,3過P且與橢圓的長軸垂直的直線恰好經過橢圓的一個焦點，求橢圓的標準方程解：法一：設所求的橢圓方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)，由已知條件得解得所以b2a2c212于是所求橢圓的標準方程為1或1法二：設所求的橢圓方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)，兩個焦點分別為F1，F2由題意知2a|PF1|PF2|358，所以a4在方程1中，令x±c，得|y|；在方程1中，令y±c，得|x|依題意

20、有3，得b212于是所求橢圓的標準方程為1或18 如圖在圓C：(x1)2y225內有一點A(1,0)Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，求點M的軌跡方程解：如圖，連接MA由題意知點M在線段CQ上，從而有|CQ|MQ|MC|又點M在AQ的垂直平分線上，則|MA|MQ|，故|MA|MC|CQ|5又A(1,0)，C(1,0)，故點M的軌跡是以(1,0)，(1,0)為焦點的橢圓，且2a5，故a，c1，b2a2c21故點M的軌跡方程為1222橢圓的簡單幾何性質第一課時橢圓的簡單幾何性質預習課本P4347，思考并完成以下問題1橢圓有哪些幾何性質？什么叫做橢圓的中心、頂點、長軸與短軸？2

21、什么是橢圓的離心率？隨著離心率的變化橢圓的形狀有何變化？橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程1(ab0)1(ab0)范圍axa且bybbxb且aya頂點A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)軸長長軸長2a，短軸長2b焦點F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率e(0<e<1)1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)橢圓1(a>b>0)的長軸長

22、等于a()(2)橢圓上的點到焦點的距離的最小值為ac()(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓()答案：(1)×(2)(3)2橢圓25x29y2225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A5,3，B10,6，C5,3， D10,6，答案：B3若橢圓y21的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則橢圓的離心率為()A BC D答案：A4若焦點在y軸上的橢圓1的離心率為，則m的值為_答案：由標準方程研究幾何性質典例求橢圓4x29y236的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標和離心率解橢圓方程變形為1，a3，b2，c 橢圓的長軸長和焦距分別為2a6,2c2，焦點坐標為F1(，0)，F2(，0)，頂點坐

23、標為A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，離心率e求橢圓的性質時，應把橢圓化為標準方程，注意分清楚焦點的位置，這樣便于直觀地寫出a，b的數值，進而求出c，求出橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標等幾何性質活學活用已知橢圓C1：1，設橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C2的焦點在y軸上(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標及離心率；(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質解：(1)由橢圓C1：1可得其長半軸長為10，短半軸長為8，焦點坐標(6,0)，(6,0)，離心率e；(2)橢圓C2：1，性質：范圍：8x8，10y10；對稱性：關于x軸

24、、y軸、原點對稱；頂點：長軸端點(0,10)，(0，10)，短軸端點(8,0)，(8,0)；焦點：(0,6)，(0，6)；離心率：e利用幾何性質求標準方程典例求適合下列條件的橢圓的標準方程(1)長軸長是10，離心率是；(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6解(1)設橢圓的方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)由已知得2a10，a5又e，c4b2a2c225169橢圓方程為1或1(2)依題意可設橢圓方程為1(a>b>0)如圖所示，A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，則cb3，

25、a2b2c218，故所求橢圓的方程為1(1)利用橢圓的幾何性質求標準方程通常采用待定系數法(2)根據已知條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數”，即先明確焦點的位置或分類討論一般步驟是：求出a2，b2的值；確定焦點所在的坐標軸；寫出標準方程活學活用求適合下列條件的橢圓的標準方程(1)長軸長是短軸長的5倍，且過點A(5,0)(2)離心率e，焦距為12解：(1)若橢圓焦點在x軸上，設其標準方程為1(a>b>0)，由題意得解得故所求橢圓的標準方程為y21；若焦點在y軸上，設其標準方程為1(a>b>0)，由題意，得解得故所求橢圓的標準方程為1綜上所述，所求橢圓的標準方程為

26、y21或1(2)由e，2c12，得a10，c6，則b2a2c264當焦點在x軸上時，所求橢圓的標準方程為1；當焦點在y軸上時，所求橢圓的標準方程為1綜上所述，所求橢圓的標準方程為1或1求橢圓的離心率典例設橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()ABC D解析法一：由題意可設|PF2|m，結合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故離心率e法二：由PF2F1F2可知P點的橫坐標為c，將xc代入橢圓方程可解得y±，所以|PF2|又由PF1F230°可得|F1F2|PF2|，故

27、2c·，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案D一題多變1變條件若將本例中“PF2F1F2，PF1F230°”改為“PF2F175°，PF1F245°”，求C的離心率解：在PF1F2中，PF1F245°，PF2F175°，F1PF260°，設|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，橢圓的長軸長為2a，則在PF1F2中，有，e2變條件，變設問若將本例中“PF2F1F2，PF1F230°”改為“C上存在點P，使F1PF2為鈍角”，求C的離心率的取值范圍解：由題意，

28、知c>b，c2>b2又b2a2c2，c2>a2c2，即2c2>a2e2>，e>故C的離心率的取值范圍為求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據條件建立a，b，c的關系式，借助于a2b2c2，轉化為關于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍 層級一學業水平達標1橢圓以兩條坐標軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(10,0)，則焦點坐標為(

29、)A(±13,0)B(0，±10)C(0，±13) D(0，±)解析：選D由題意知橢圓焦點在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點坐標為(0，±)2若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構成一個正三角形，則該橢圓的離心率為()A BC D解析：選A依題意，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60°，cos 60°，即橢圓的離心率e，故選A3已知橢圓1與橢圓1有相同的長軸，橢圓1的短軸長與橢圓1的短軸長相等，則()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da2

30、25，b29解析：選D因為橢圓1的長軸長為10，焦點在x軸上，橢圓1的短軸長為6，所以a225，b294已知橢圓1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點P若2，則橢圓的離心率是()A BC D解析：選D2，|2|又POBF，即，e5橢圓mx2ny2mn0(m<n<0)的焦點坐標是()A(0，±) B(±，0)C(0，±) D(±，0)解析：選C化為標準方程是1，m<n<0，0<n<m焦點在y軸上，且c6橢圓1的離心率為，則m_解析：當焦點在x軸上時，m3；當焦點

31、在y軸上時，m綜上，m3或m答案：3或7已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為， 且過P(5,4)，則橢圓的方程為_解析：e，5a25b2a2即4a25b2設橢圓的標準方程為1(a>0)，橢圓過點P(5,4)，1解得a245橢圓方程為1答案：18設F1，F2分別為橢圓y21的左，右焦點，點A，B在橢圓上，若5，則點A的坐標是_解析：設A(m，n)由5，得B又A，B均在橢圓上，所以有解得或所以點A的坐標為(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為，過點F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，且ABF2的

32、周長為16，求橢圓C的標準方程解：設橢圓C的標準方程為1(a>b>0)由e知，故，從而，由ABF2的周長為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28故橢圓C的標準方程為110橢圓1(a>b>0)的右頂點是A(a,0)，其上存在一點P，使APO90°，求橢圓離心率的取值范圍解：設P(x，y)，由APO90°知，點P在以OA為直徑的圓上，圓的方程是2y22y2axx2又P點在橢圓上，故1把代入化簡，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0<x<a，0<

33、;<a，即2b2<a2由b2a2c2，得a2<2c2，e>又0<e<1，<e<1層級二應試能力達標1橢圓1與1(0<k<9)的關系為()A有相等的長軸長、短軸長B有相等的焦距C有相同的焦點 D有相同的頂點解析：選Bc25916，c(25k)(9k)25916，所以兩橢圓有相等的焦距故選B2過橢圓1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為()A8,6 B4,3C2， D4,2解析：選B過橢圓焦點的最長弦為長軸，其長度為2a4；最短弦為垂直于長軸的弦，因為c1，將x1代入1，得1，解得y2，即y±，所以最短弦的長為2×3故選B

34、3與橢圓9x24y236有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為()A1 Bx21Cy21 D1解析：選B橢圓9x24y236可化為1，可知焦點在y軸上，焦點坐標為(0，±)，故可設所求橢圓方程為1(a>b>0)，則c又2b2，即b1，所以a2b2c26，則所求橢圓的標準方程為x214(全國丙卷)已知O為坐標原點，F是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為()A BC D解析：選A如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，

35、F(c,0)設E(0，m)，由PFOE，得，則|MF|又由OEMF，得，則|MF|由得ac(ac)，即a3c，e故選A5已知橢圓1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F為右焦點，且ABBF，則橢圓的離心率為_解析：在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2將b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e因為e>0，所以e答案：6已知橢圓的長軸長為20，短軸長為16，則橢圓上的點到橢圓中心的距離的取值范圍是_解析：由題意，知a10，b8，不妨設橢圓方程為1，其上的點M(x0，y0)，則|

36、x0|a10，|y0|b8，點M到橢圓中心的距離d因為1，所以y6464x，則d ，因為0x100，所以64x64100，即8d10答案：8,107已知橢圓x2(m3)y2m(m>0)的離心率e，求實數m的值及橢圓的長軸長和短軸長，并寫出焦點坐標和頂點坐標解：橢圓方程可化為1，由m>0，可知m>，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1于是橢圓的標準方程為x21，則a1，b，c所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1；兩焦點坐標分別為，；四個頂點坐標分別為(1,0)，(1,0)，8設F1，F2分別是橢圓E：1(a>b>0) 的左、右焦點，過點 F1的直線交橢圓 E于

37、A，B兩點，|AF1|3|F1B| (1)若|AB|4，ABF2 的周長為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E 的離心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1因為ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8故|AF2|835(2)設|F1B|k，則k>0且|AF1|3k，|AB|4k由橢圓定義可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|·|BF2|·cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k

38、)·(2ak)化簡可得(ak)(a3k)0，而ak>0，故a3k于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓E的離心率e第二課時直線與橢圓的位置關系預習課本P4748，思考并完成以下問題1點與橢圓的位置關系有哪幾種？如何判斷？2直線與橢圓有哪幾種位置關系？如何確定？3直線被橢圓截得的弦長公式是什么？1點與橢圓的位置關系點P(x0，y0)與橢圓1(a>b>0)的位置關系：點P在橢圓上1；點P在橢圓內部<1；點P在橢圓外部>12直線與橢圓的位置關系直線y

39、kxm與橢圓1(a>b>0)的位置關系，判斷方法：聯立消y得一元二次方程當>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；當0時，方程有一解，直線與橢圓相切；當<0時，方程無解，直線與橢圓相離3直線與橢圓相交的弦長公式(1)定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦(2)求弦長的方法交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求根與系數的關系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|· ·1已知點(2,3)在橢圓1上，則下列說法正確的是()A點(2,3)在橢圓

40、外B點(3,2)在橢圓上C點(2，3)在橢圓內 D點(2，3)在橢圓上答案：D2直線yx1被橢圓1所截得的弦的中點坐標是()A BC D答案：C3設F1，F2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|3，則P點到橢圓左焦點的距離為_答案：4直線與橢圓的位置關系典例對不同的實數值m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240(8m)24×5(4m24)16(5m2)當<m<時，>0，直線與橢圓相交；當m或m時，0，直線與橢圓相切；當m<或m>時，<0，直線與橢圓相離判斷直線與

41、橢圓的位置關系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關于另一個變量的一元二次方程，則>0直線與橢圓相交；0直線與橢圓相切；<0直線與橢圓相離活學活用若直線ykx1與焦點在x軸上的橢圓1總有公共點，求m的取值范圍解：直線ykx1過定點A(0,1)由題意知，點A在橢圓1內或橢圓上，1，m1又橢圓焦點在x軸上m<5，故m的取值范圍為1,5)弦長及中點弦問題典例已知點P(4,2)是直線l被橢圓1所截得的線段的中點(1)求直線l的方程(2)求直線l被橢圓截得的弦長解(1)法一根與系數關系法由題意可設直線l的方程為y2k(x4)，而橢圓的方程可以化為x24y

42、2360將直線方程代入橢圓方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360所以x1x28，解得k所以直線l的方程為y2(x4)，即x2y80法二點差法設直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以兩式相減，有(x1x2)(x1x2)4(y1y2)·(y1y2)0又x1x28，y1y24，所以，即k所以直線l的方程為x2y80(2)由題意可知直線l的方程為x2y80，聯立橢圓方程得x28x140法一：解方程得 所以直線l被橢圓截得的弦長為法二：因為x1x28，x1x214所以直線l被橢圓截得的弦長為解決橢圓中點弦問題的兩種方法(1)根與系數的關系法：聯立直線方

43、程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決；(2)點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓1(a>b>0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則由，得(xx)(yy)0，變形得··，即kAB活學活用(全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M證明：直

44、線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解：(1)由題意有，1，解得a28，b24所以C的方程為1(2)證明：法一：設直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMk·xMb于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，則得0，kAB·又kO M，kAB·kOM所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值與橢圓有關的綜合問題典例(浙江高考)已知橢圓y21上兩

45、個不同的點A，B關于直線ymx對稱(1)求實數m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點)解(1)由題意知m0，可設直線AB的方程為yxb由消去y，得x2xb210因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點，所以2b220將線段AB中點M代入直線方程ymx解得b由得m或m(2)令t，則|AB|·，且O到直線AB的距離為d 設AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|·d ，當且僅當t2，即m±時，等號成立故AOB面積的最大值為解決與橢圓有關的最值問題的三種方法(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理(2)數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進

46、而求解(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題來處理，注意橢圓的范圍活學活用設橢圓1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F2，右頂點為A，上頂點為B已知|AB|F1F2|(1)求橢圓的離心率(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點F1，經過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率解：(1)設橢圓的右焦點F2的坐標為(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，則所以橢圓的離心率e(2)由(1)知a2 2c2，b2c2故橢圓方程為1設P(x0，y0)由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有·0

47、，即(x0c)cy0c0又c0，故有x0y0c0又因為點P在橢圓上，故1由和可得3x4cx00而點P不是橢圓的頂點，故x0，代入得y0，即點P的坐標為設圓的圓心為T(x1，y1)，則x1c，y1c，進而圓的半徑rc，設直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為ykx由l與圓相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4±所以直線l的斜率為4或4層級一學業水平達標1直線ykxk1與橢圓1的位置關系為()A相切B相交C相離 D不確定解析：選B直線ykxk1可變形為y1k(x1)，故直線恒過定點(1,1)，而該點在橢圓1內部，所以直線ykxk1與橢圓1相交，故選B2橢圓mx2ny21與直線

48、y1x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點所在直線的斜率為，則的值是()A BC D解析：選A由消去y得，(mn)x22nxn10設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中點為(x0，y0)，則x1x2，x0，代入y1x得y0由題意，選A3已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，滿足·0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是()A(0,1) B0，C0， D，1解析：選C，點M在以F1F2為直徑的圓上，又點M在橢圓內部，c<b，c2<b2a2c2，即2c2<a2，<，即<又e>0，0<e<4已知橢圓C：y21的右焦點為F，直線l：x2，

49、點Al，線段AF交橢圓C于點B，若3，則| |()A B2C D3解析：選A設點A(2，n)，B(x0，y0)由橢圓C：y21知a22，b21，c21，即c1右焦點F(1,0)由3得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0x0，y0n將x0，y0代入y21，得×221解得n21，|5(全國卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為()A1 B1C1 D1解析：選D因為直線AB過點F(3,0)和點(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，