1、奶牛場計劃摘要本文是對農場生產計劃進行最優化建模，首先要求制訂未來五年的生產計劃, 計劃應貸款的金額、應賣的小母牛、以及用來種植糧食的土地，使成本降到最低。其中農場的收入包含賣牛的收入，賣牛奶的收入，和賣糧食甜菜的收入（當糧食和甜菜充足的情況下），農場的支出包括勞動力的消費，買牛的費用，承包農場的費用，以及購買糧食甜菜的費用（當糧食和甜菜不足的情況下）。通過迭代計算可以把本模型簡化成一個收入和支出的關系表達式，將銀行貸款利息結合到收支上，建立一個非線性規劃模型，同時考慮到糧食的充和不足情況，運用0-1規劃方法解決建模問題。最后我們利用LINGO編程得到最終結果。關鍵詞：收入 支出 迭代計算 0

2、-1規劃 LINGO一、 問題重述1.1問題背景某公司計劃承包有200畝土地的農場，建立奶牛場，雇傭工人進行奶牛養殖經營。由于承租費用較高，公司只能向銀行貸款進行生產經營。現在要為未來的五年制定生產計劃，并向銀行還本付息，使公司盈利最大。1.2相關信息開始承包時農場有120頭母牛，其中20頭為不到2歲的幼牛，100頭為產奶牛。產奶牛平均每頭每年生1.1頭牛，其中一半為公牛，生出后不久即賣掉，平均每頭賣300元；另一半為母牛，可以在出生后不久賣掉，平均每頭賣400元，也可以留下飼養，養至2歲成為產奶牛。幼牛年損失5%；產奶牛年損失2%。產奶牛養到滿12歲就賣掉，平均每頭賣1200元。現在有20頭

3、幼牛， 0歲和1歲 各10頭；100頭產奶牛，從2歲至11歲，每一年齡的都有10頭。應該賣掉的小母牛都已賣掉。所有20頭是要飼養成產奶牛的。 一頭牛所產的奶提供年收入3700元。現在農場最多只能養130頭牛。超過此數每多養一頭，要投資2000元。每頭產奶牛每年消耗0.6噸糧食和0.7噸甜菜。每頭小牛每年消耗糧食和甜菜量為奶牛的2/3。糧食和甜菜可以由農場種植出來。每畝產甜菜1.5噸。只有80畝的土地適于種糧食，產量平均0.9噸。從市場購糧食每噸900元，賣出750元。買甜菜每噸700元，賣出500元。 養牛和種植所需的勞動量為：每頭小牛每年10小時；每頭產奶牛每年42小時；種一畝糧食每年需20

4、小時；種一畝甜菜每年需30小時。 其它費用：每頭幼牛每年500元，產奶牛每頭每年1000元；種糧食每畝每年150元，種甜菜每畝每年100元。勞動力成本為每小時費用為10元。 承包農場需要一筆費用，其中一部分是土地承租費用，每年6萬元（每年底付清），另一部分用于支付開始承包時農場已有的120頭牛的費用。平均產奶牛每頭4000元，小牛每頭400元，到承包結束時，農場的牛按此價折價抵賣。 任何投資都是從5年期的貸款得到。貸款的年利率為12%，每年償還本息總共的1/5，五年還清。此外，農場主不希望產奶牛的數目在五年末與現在相比減少超過50%，也不希望增加超過75%。1.3待解決的問題（1）試分析承包人

5、有無盈利的可能性。若有，應如何安排5年的生產，使得五年的凈收益為最大？ （2）更進一步討論，若遇到銀行利率波動（例如上下波動2個百分點），還貸方式改變（如規定每年還息，改變還本的方式），由于氣候等外因變化引起的農產品產量與價格的變化及勞動力市場價格的變動等將會對你的五年生產計劃及收益產生怎樣的影響。3二、題設分析2.1問題分析2.1.1問題一的分析表1開始承包時每個年齡的奶牛以及承包費用表牛種幼牛產奶牛歲數01234567891011牛數101010101010101010101010承包費用400元/頭4000元/頭表2每年養牛所需費用表牛種幼牛產奶牛費用糧食0.6*2/30.6噸/頭甜菜0

6、.7*2/30.7噸/頭勞動力100元/頭420元/頭其他500元/頭1000元/頭表3糧食甜菜清單種植產量勞動力費用其他費用購入價格賣出價格土地數糧食0.9噸/畝200元/畝150元/畝900元/噸750元/噸080畝甜菜1.5噸/畝300元/畝100元/畝700元/噸500元/噸0200畝本題要求分析農場主5年后能否盈利，并制定5年的生產計劃設法使凈收益最大，我們認為這是一個研究資源的合理配置和優化問題。農場投資最少收益為最大，要合理生產計劃，減少不必要的成本。 1. 由題意可知，第四年和第五年產出的小牛到第五年末都不可以產奶，所以第四年第五年不飼養剛出生的小奶牛，全部飼養產奶牛盈利最大。

7、 2.種糧食和甜菜均有利可圖，種糧食平均盈利比種甜菜平均盈利大，故可以先滿足糧食產量再考慮甜菜的產量。 2.1.2問題二的分析1.使用窮舉法求解，先不考慮貸款及還款做出最優解，然后通過每年運營所需費用以及貸款所需費用計算出貸款金額。2.貸款問題 任何投資都是從5年期的貸款得到。貸款的年利率為10%，每年償還本息總共的1/5，五年還清。此外，農場主不希望產奶牛的數目在五年末與現在相比減少超過50%，也不希望增加超過75%。3. 勞動力市場的價格變化可能對不同的牛（12歲母牛，0歲母牛）的養殖數目，種植飼料的畝數，以及間接地對貸款額造成一定影響。此題我們將結合模型中利率，農產品產量和價格，及勞動力

8、價格這幾個變量來進行分析。三、模型假設3.1 問題一中的假設方法一的假設：假設一：年初幼牛出生，年末損失。小牛剛出生就賣掉，即剛出生的小牛無損失，12歲的老母牛在年末被賣掉。假設二：假設年初的奶牛消耗食物，也就是說即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假設三：先收益再還貸款錢，而且固定資產如：地皮錢，第一年買的牛的錢，種地錢，養牛的固定費用等這些消費設在年初，種地和養奶牛勞動力時長消費統一設在年末。假設四： 第五年末的老牛將以一定折扣1200元/頭賣出。方法二的假設：假設一：年初幼牛出生，年末損失。小牛剛出生就賣掉，即剛出生的小牛無損失，12歲的老母牛在年末被賣掉。假設二：糧食是在每年末才能成熟并

9、收割，第一年的牛的全部飼料都從市場上購買，以后每年的牛吃上一年種的糧食，不夠的再到市場上購買。假設三：不考慮價格指數CPI。3.2 問題二中的假設1.銀行按照復利計息，即農場每年歸還1/5(1+r)5M2.銀行貸款利率穩定。3.每年等額還款。6四、符號說明方法一的符號說明17 為0-1變量 為判斷系數 為第i年生育的母牛留下來數量 為第i年年初幼牛數量 為第i年年初奶牛數量 為第i年年末幼牛數量 為第i年年末奶牛數量 為第i年幼牛消耗糧食量 為第i年幼牛消耗甜菜量 為第i年奶牛消耗糧食量 為第i年奶牛消耗甜菜量 為第i年種植糧食噸數為第i年種植甜菜噸數 為第i年種植糧食畝數（甜菜為200-）

10、為第i年總消費 為第i年的固定投資 為第i年養牛固定費用 為第i年種地固定消費為第i年種地勞動力時長消費為第i年養奶牛勞動力時長消費為第i年年末還款數額 為第i年總收益 為第i年種地總收益賣幼牛和奶牛收益奶牛產奶收益 為第i年凈利潤 為五年內的總利潤 貸款總額 五年內應還總錢數（也就是本息） 第i年年初貸款剩余錢五、模型的建立及求解51問題一的求解5.1.1 模型準備（1）運籌學0-1規劃只取0或1的變量，稱為0-1變量，若純整數規劃決策的變量都是0-1變量，則稱為0-1規劃。在討論線性規劃時，如果研究對象可以歸結為互相對立的兩種可能情況，那么引入0-1變量，就能夠將它進一步化成0-1規劃。數

11、學模型為0-1規劃的標準型： 如果0-1規劃模型不是標準型，總可以通過適當變換，使其化為標準型。5.1.2方法一5.1.2.1模型的建立設每年出生留下來的小母牛為，每年年初所飼養的小母牛，成熟奶牛，可分別表示為=20+=100=+0.95(10+)=100.95+900.98 =97.7=0.95+=0.90+ 95.14=0.95=0=用表格可表示為：年初奶牛分布表（單位：頭）年齡0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第一年初10+L110.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 第二年初L2

12、0.95(10+L1)9.50 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 第三年初L30.95L20.952(10+L1)9.31 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 第四年初0.00 0.95L30.952L20.93(10+L1)9.12 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 第五年初0.00 0.00 0.952L30.953L20.954(10+L1)8.94 9.22 9.22 9.22 9.22 9.22 9.22 根據農場主的想法我們知道要保持每年養的數量保

13、持在（60210）即滿足 接下來我們計算賣掉的幼牛與奶牛的數量我們記為第i年賣的幼公牛數量，我們記為第i年賣的幼母牛數量我們記為第i年末賣的奶牛數量則有如下關系： =0.55=-于是我們就可以求出第i年賣奶牛收益：=300+400+1200（1）我們知道幼牛與奶牛的分布，可以求出每年需要的糧食和甜菜數量= = （2）（3）已知需求的食物量，我們還想知道我們種植的糧食是否夠吃，當然不管是否夠吃我們都會把地種完，根據前面假設 為第i年種植糧食畝數，故甜菜畝數為200-。于是可以求出每年產的食物量分別為：（糧食）=0.9，<=80（甜菜）=1.5（200-）接下來求種地的固定消費 種地勞動力時

14、長消費 我們接下來把其他消費也求出來第i年的固定投資為 第i年養牛固定費用為 第i年養奶牛勞動力時長消費 第i年年末需要償還貸款數額為 接下來我們求第i年的總消費，但是有一件事我們需要先提前聲明，由于農場場地的限制，我們在養的數量超過130頭時，要額外投資2000元，知道了這一點，我們需要引入運籌學中的01變量，具體做法如下： 接下來我們計算收益，先計算奶牛產奶收益，我們前面求出年初的幼牛和奶牛的分布，根據實際情況可以知道，每年年末產奶的奶牛數量與每年年初的奶牛數量相同，因為年末的幼牛雖然有部分達到了2歲，可是還沒有開始產奶，所以根據分析我們可以求出產奶收益為 上面我們已經把賣幼牛和奶牛的收益

15、求出來了，也求出來了產奶收益，我們接下來分析最后一種收益，也就是第i年種地總收益。我們由于事先不完全知道每年年初養的具體的奶牛和幼牛數量，所以我們不知道種的食物是否夠用，如果夠用我們可以把多余的賣掉，也就是收益，如果不夠，我們需要購買，原則上屬于消費部分，我們只需要加上負號就可以了，也就是負收益。此時也很復雜，我們同樣引入0-1變量，具體做法如下： （此時 ）所有收益均以求出，我們算第i年總收益： 每年年收益以及消費求出之后，我們求出第i年凈利潤表達式為：而我們文中最后說到消費的所有資金是從銀行借貸，利率為r=12%，作為農場主我們肯定希望借的越少越好，也就是說如果我們第一年利潤已經足夠償還，

16、我們可以不進行借貸.我們通過前面的分析已經寫出第i年的凈利潤的表達式，但我們不知道凈利潤具體為多少，所以我們需要根據這些表達式進行一些處理，具體做法如下： 可以這樣理解，前i年通常情況下為負收益，故貸款數額應該保證把這些負收益足夠抵消，根據假設三，我們也不難理解第二個式子。上面的式子用到了 ，而且題中也給出了貸款利率，還款方式，我們在前面也已經假設了貸款數額，所以接下來我們很容易把文中的最后一個貸款問題分析出來，具體如下： 5.1.2.2模型的求解第一問已經全部分析完畢，由于變量和等式很多，而且此問題屬于最優化問題，并且第二問是敏感度問題，為了是模型簡單明了化，我們做出如下假設：假設一：假設奶

17、牛每年年初出生，年末賣掉老奶牛，并且損失率都發生在年末假設二：假設年初的奶牛消耗食物，也就是說即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假設三：先收益再還貸款錢，而且固定資產如：地皮錢，第一年買的牛的錢，種地錢，養牛的固定費用等這些消費設在年初，種地和養奶牛勞動力時長消費統一設在年末我們選擇利用lingo軟件求解，具體做法見附錄，這里我們只給出lingo運行結果如下： 5.1.3方法二5.1.3.1模型的建立（一）目標函數： ，（二）約束條件： 設貸款總額M，賣掉的0歲母牛的頭數 ，賣掉的糧食噸數，賣掉的甜菜噸數買入的糧食噸數Wmj，買入的甜菜噸數Wej，六個變量作為決策變量，并用(W3j+1+Wsj

18、Wmj)/O1 表示種植糧食的土地面積S1j，用(Wsj+W4j+1Wej)/O2表示種植甜菜的土地面積S2j，則（1）14年末收益：賣奶收益Wkj=F1j*3700 賣牛收益 Wcj=Nj(A=12)*1200+Nj(Am=0)*300+Nj(Af =0)*400 賣糧食和甜菜的收益Wqj=Wrj*Pr1+Wsj*Ps1總收益Wj=Wkj+Wcj+Wqj= F1j*3700+ Nj(A=12)*1200+Nj(Am=0)*300+Nj(Af =0)*400+ Wrj*750+Wsj*50014年末花費：勞動力花費 Clj=(F1j*42+F2j*10+S1j*20+S2j*30)*P1 養牛

19、花費Csj= F1j *1000+ F2j *500+Wmj*Pr2+Wej*Ps2 地租 Rsj=60000+S1j*150+S2j*100 貸款本利和Cbj = 1/5M*(1+r)5 r=12%(年利率) 超過130頭年的額外投資 第一年超過130頭牛的額外投資 總花費注：W3j = (F1j + F2j *2/3)*0.6，W4j =（F1j + F2j *2/3）*0.7) （2）第五年凈收益 （211歲成年母牛總數）， （12歲母牛總數） 是賣的0歲公牛總數 N1(Am=0)=55,N1(Af=12)=9.85.1.3.2模型的求解將已知數代入LINGO解得結果如下：Global

20、optimal solution found. Objective value: 324122.3 Objective bound: 324122.3 Infeasibilities: 0.2546585E-10 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 24 Variable Value Reduced Cost Z1 6815.184 0.000000 Z2 4582.757 0.000000 Z3 199.7376 0.000000 Z4 226131.4 0.000000 Z5 235050.0 0.000000 Z6 5723

21、20.0 0.000000 S1 410546.6 0.000000 X1 100.0000 0.000000 X2 98.00000 0.000000 X3 102.0000 730.5750 R1 47.75457 0.000000 X4 125.0000 -242.3823 R2 15.72613 0.000000 X5 146.0000 -2743.061 R3 19.84107 0.000000 X6 174.0394 0.000000 R4 34.44598 0.000000 Y1 27.24543 0.000000 S2 392002.5 0.000000 Y2 54.55703

22、 0.000000 S3 413261.0 0.000000 Y3 72.52411 0.000000 S4 316200.0 0.000000 Y4 0.000000 1360.000 S5 361360.0 0.000000 Y5 0.000000 0.000000 R5 80.30000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 324122.3 1.000000 2 0.000000 -9710.240 3 0.000000 9839.288 4 0.000000 7871.723 5 0.000000 4733.518 6 0.000000

23、 3301.939 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 -1.762342 9 0.000000 -1.000000 10 0.000000 -1.000000 11 0.000000 -1.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 1.000000 14 0.000000 1.000000 15 0.000000 1.000000 16 0.000000 1.000000 17 0.000000 1.000000 18 0.000000 1.000000 19 47.75457 0.000000 20 15.72613 0.0

24、00000 21 19.84107 0.000000 22 7.245429 0.000000 23 38.17387 0.000000 24 36.25893 0.000000 25 34.30402 0.000000 26 0.000000 400.0000 27 0.000000 -2267.546 28 0.000000 -960.0000 29 0.000000 -960.0000 30 0.000000 400.0000 31 0.000000 -960.0000 32 124.0394 0.000000 33 0.9606225 0.000000截圖如下繪制成表格如下：年份年初產

25、奶牛頭數年初賣出的幼年母牛年初賣出后剩余的幼母牛數年初牛總數賣出的12歲母牛頭數年初賣牛后超過130頭的牛的數目年末支出的費用當年一年的年末凈利潤第一年10048271279.80410546.66815.184第二年9816541329.62392002.54582.757第三年10220731759.445413261199.7376第四年1253401259.20316200226131.4第五年146800146016361360235050六、模型評價模型優點模型缺點模型改進11七、參考文件1謝金星 薛毅，優化建模與LINDO/LINGO軟件，北京：清華大學出版社，2005年。2 杜

26、棟 龐慶華， 現代綜合評價方法與案例精選，清華大學出版社。12八、附錄附錄一Lingo程序如下：model:max=z1+z2+z3+z4+z5+Z6-100*4000-20*400-(1+0.12)5-1)*s1;x1=100;x2=x1*0.98;x3=x2*0.98-10*0.98*0.98+10*0.95*0.95+(x1*0.55-r1)*0.95*0.95;x4=x3*0.98-10*0.98*0.98*0.98+(x2*0.55-r2)*0.95*0.95;x5=x4*0.98-10*0.98*0.98*0.98*0.98+(x3*0.55-r3)*0.95*0.95;x6=x5

27、*0.98+(x4*0.55-r4)*0.95*0.95;s1=(0.6*x1+0.4*y1)*900+20*80*10+150*80+120*30*10+120*100+y1*100+y1*500+x1*42*10+x1*1000+(x1*0.55-r1-10)*2000+60000+(0.7*x1+0.7*2/3*y1)*700;s2=(0.6*x2+0.4*y2-72)*900+20*80*10+150*80+120*30*10+120*100+y2*100+y2*500+x2*42*10+x2*1000+(x2*0.55-r2)*2000+60000;s3=(0.6*x3+0.4*y3-7