1、實用文檔概率論第一課一、 無放回類題目例1：盒子中有4紅3白共7個球，不用眼瞅，七個球摸起來是一樣的，現無放回的摸4次，那摸出兩個紅球兩個白球的概率是多少？P=C條件一總條件一取C條件二總條件二取C總取P=C42C32C74例2：隔壁山頭共有11只母猴兒，其中有5只美猴兒、6只丑猴兒，在大黑天看起來是一樣的。今兒月黑風高，我小弟冒死為我擄來5只，問天亮后，發現有2只美猴兒、3只丑猴兒的概率是多少？P=C條件一總條件一取C條件二總條件二取C總取P=C52C63C115關于 Cnm 的計算：二、 有放回類題目例1：盒子中有5紅6白共11個球，不用眼瞅，11個球摸起來是一樣的，現有放回的摸5次，那摸

2、出兩個紅球三個白球的概率是多少？例2：在小弟為我抓回的5只母猴兒中，有2美3丑，每天我都隨機挑一只母猴兒來，為她抓虱子。就這樣，過去了101天，抓了101次虱子，問這101次中，為美猴兒服務50次、丑猴兒服務51次的概率是多少？三、 需要畫圖的題目例1：已知0x1，0yy的概率是多少？ 表現已知條件 表現待求概率的條件 找出重合部分 P(xy)= = 12例2：已知-1x1，-1y1，求x+y1的概率是多少？Px2+y21=S圓S正=124=4四、 條件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)解釋：事件A：擲一次骰子，朝上點數大于3事件B：擲一次骰子，朝上點數是6P(B|A)：擲一次骰子，已

3、知朝上點數大于3，朝上點數是6的概率P(AB)：擲一次骰子，朝上點數是6的概率P(A)：擲一次骰子，朝上點數大于3的概率例1：小明概率論考試得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知這次考試小明概率論沒掛，那么小明得80分以上的概率是多少？事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上時，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=8085=1617例2：某地區今年會發生洪水的概率是80%，今明兩年至少有一年會發生洪水的概率是85%，假如今年沒有發生洪水，那么明年發生洪水的概率是多少？事件A：今年沒

4、有發生洪水事件B：明年發生洪水P(B|A)：今年沒有發生洪水的情況下，明年發洪水的概率P(AB)：今年沒有發生洪水，明年發生洪水的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=85-801-80=520=14五、 全概率公式公式：A、B等個體均可能發生某事，則P(發生某事)=P(A出現)P(A發生某事)+P(B出現)P(B發生某事)例1：某高速公路上客車中有20%是高速客車，80%是普通客車，假設高速客車發生故障的概率是0.002，普通客車發生故障的概率是0.01。求該高速公路上有客車發生故障的概率。 P(有客車發生故障)=P(高速車出現)P(高速車故障)+P(普通車出現)P(普通車故障)=20%0.

5、002+80%0.01=0.0084例2：猴博士公司有猴博士與傻狍子兩個員工，老板要抽其中一個考核，抽中猴博士與傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通過的概率是100%，傻狍子考核通過的概率是1%，那么抽中的員工通過考核的概率是多少？ P(抽中的員工通過考核)=P(猴博士出現)P(猴博士通過)+P(傻狍子出現)P(傻狍子通過)=50100+501=50.5六、 貝葉斯公式公式：A、B等個體均可能發生某事，則P(已知有個體發生某事時，是A發生的)=P(A出現)P(A發生某事)P(發生某事)例1：某高速公路上客車中有20%是高速客車，80%是普通客車，假設高速客車發生故障的概率是0.002，普通客車

6、發生故障的概率是0.01。求該高速公路上有客車發生故障時，故障的是高速客車的概率。P(有客車發生故障)=P(高速車出現)P(高速車故障)+P(普通車出現)P(普通車故障)=20%0.002+80%0.01=0.0084P(已知有客車發生故障，是高速客車發生的)=P(高速客車出現)P(高速客車故障)P(有客車故障)=200.0020.0084=121例2：猴博士公司有猴博士與傻狍子兩個員工，老板要抽其中一個考核，抽中猴博士與傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通過的概率是100%，傻狍子考核通過的概率是1%，求抽中的員工通過考核時，被抽中的員工是傻狍子的概率。P(抽中的員工通過考核)=P(猴博士出

7、現)P(猴博士通過)+P(傻狍子出現)P(傻狍子通過)=50100+501=50.5 P(已知有員工通過考核，是傻狍子通過的)=P(傻狍子出現)P(傻狍子通過)P(抽中的員工通過考核)=50150.5=1101概率論第二課七、 已知 FX(x)與 fX(x)中的一項，求另一項公式：fX(x)=FX(x) FX(x)=-xfX(x)dx例1：設X的分布函數 FX(x)=0，x1 lnx，1xe1，xe ，求X的密度函數 fX(x)。fX(x)=FX(x)=0，x1 (lnx)，1xe1，xe 0，x1 1x，1xe0，xe 1x，1x2時，FX(x)=-xfX(x)dx=1當0x2時，FX(x)

8、=-xfX(x)dx=-x24+x當x0時，FX(x)=-xfX(x)dx=-x0dx=0FX(x)=0，x2 八、 已知 FX(x)與 fX(x)中的一種，求P公式：P(aXb)=FX(b)-FX(a)=abfX(x)dx例1：設X的分布函數FX(x)= 0，x1 lnx，1xe1，xe ，求概率Px24P(x24)=P(-2x2) =FX(2)-FX(-2) =ln2-0 =ln2例2：設X的密度函數fX(x)=-12x+1，0x20，其他 ，求概率P(-1x2)P(-1x0(0)，求a和b。 FX(+)=1 a+be-(+)=1 a+be-=1 a+be+=1 a=1 F上(0)=F下(

9、0) 0=a+be-(0) 0=a+be0 a+b=0 a=1 a+b=0 a=1 b=-1例2：設X的密度函數 fX(x)=ax+1，0x20，其他 ，求常數a。 -+fX(x)dx=1 -0fX(x)dx+02fX(x)dx+2+fX(x)dx=1 -00dx+02ax+1dx+2+0dx=1 0+2a+2+0=1 解得 a=-12十、 求分布律例1：從編號為1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示從中取出的最大號碼，求其分布律。X可能的取值為3，4，5，6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=320P(X=5)=C42C11C10

10、C63=310P(X=6)=C52C11C63=12分布列：十一、 已知含有未知數的分布列，求未知數例1：已知分布列如下，求k的值。 120+320+310+k=1解得 k=12概率論第三課十二、 已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。X-202P0.40.30.3根據X的所有取值，計算Y的所有取值 Y=-22+1=5 Y=02+1=1 Y=22+1=5將表格里X那一列對應換成YY515P0.40.30.3化簡一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X-1的分布列。X3456P12032031012根據X的所有取值，計算Y的所有取值 Y=23-1

11、=5 Y=24-1=7 Y=25-1=9 Y=26-1=11將表格里X那一列對應換成YX57911P12032031012也可以表示成：Y5791112032031012十三、 已知 FXx，求 FYy例1：設X的分布函數為 FXx=0，x0 x2，0x11，x1 ，求Y=2X的分布函數。 寫出X=?YY=2X X=Y2 用?y替換FXx中的x，結果為 FX(?y) FXy2=0，y20 y22，0y211，y21 判斷?y中是否有負號若無，則 FY(y)= FX(?y)若有，則 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=FXy2=0，y0 y24，0y21，y2 例2：設X的分布函數為 F

12、Xx=0，x0 x2，0x11，x1 ，求Y=-X的分布函數。寫出X=?Y Y=-X X=-Y 用?y替換FXx中的x，結果為 FX(?y) FX(-y)=0，-y0 (-y)2，0-y11，-y1 判斷?y中是否有負號若無，則 FY(y)= FX(?y)若有，則 FY(y)=1- FX(?y) FY(y)=1-FX(-y)=1，y0 1-y2，-1y00，y-1 十四、 已知 fXx，求 fYy例1：設X的密度函數為 fXx=1，0x10，其他 ，求Y=2X的密度函數。寫出X=?Y Y=2X X=Y2 用?y替換 fXx中的x，結果為 fX?yfXy2=1，0y20，其他 令 fY=(?y)

13、fX(?y)fY=y2fXy2=12fXy2=12，0y20，其他 判斷?y中是否有負號若無，則 fY(y)=fY若有，則 fY(y)=-fYfY(y)=fY=12，0y00，x0 Pa1Xa2=a1a2f(x)dxPXa=a+fxdx 例1：某種電子元件的使用壽命X (單位:小時)服從=12000 的指數分布。求：(1)一個元件能正常使用1000小時以上的概率； (2)一個元件能正常使用1000小時到2000小時之間的概率。X的密度函數為f(x)=12000e-x2000，x00，x0 (1)P(X1000)=1000+f(x)dx=1000+12000e-x2000 dx=e-0.5(2)

14、P(1000X2000)=10002000f(x)dx=1000200012000e-x2000 dx =-e-1+e-0.5十九、 符合正態分布，求概率公式：PaXb=b-a-PXb=1-b- 例1：設隨機變量X服從正態分布N(1.5,4)，求：(1)P(1.5X3.5)；(2)P(X3.5)。其中：(0)=0.5，(0.75)=0.7734，(1)=0.8413，(2.25)=0.9878=1.5，=4=2(1)P(1.5X3.5)=(3.5-1.52)-(1.5-1.52)=(1)-(0)=0.3413 (2)P(X3.5)=(3.5-1.52)=(1)=0.8413二十、 正態分布圖像

15、公式： 圖像關于對稱 面積表示概率，總面積為1 越小，圖像越陡例1：例2：常見分布的其他表示方法均勻分布 Ua,b二項分布 Bn,p指數分布 E()正態分布 N,2例： X在2,5上服從均勻分布，求X的取值大于3的概率。即 XU2,5，求X的取值大于3的概率。 某種電子元件的使用壽X(單位:小時)服從=12000的指數分布即 某種電子元件的使用壽命X(單位:小時)服從 XE(12000)概率論第五課二十一、 已知二維離散型分布律，求?例1：已知二維隨機變量X，Y的分布律如下表：求：(1)P(X=0)，P(Y=2)(2)P(X1，Y2)(3)P(X+Y=2)(4)X，Y的分布律(5)Z=X+Y的

16、分布律解：(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=0.1+0.2=0.3 (2)P(X1，Y2)=0.2+0.1=0.3 (3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1二十二、 已知二維離散型分布律，判斷獨立性公式：如果任意 xi，yi 均滿足P(X=xi，Y=yi)=P(X=xi)P(Y=yi)那么X、Y相互獨立否

17、則X、Y不相互獨立例1：已知二維隨機變量X，Y的分布律如下表：請判斷X、Y的獨立性。例2：已知二維隨機變量X，Y的分布律如下表：X、Y是相互獨立的，求、的值。 16+19+118+13+29+19=1二十三、 已知F(x,y)，求f(x,y)公式：f(x,y)=2Fx,yxy例1：二十四、 已知f(x,y)，求F(x,y)例1：已知二維隨機變量的聯合密度函數f(x,y)=214x2y，x2y10，其他 求F(x,y)。例2：已知二維隨機變量的聯合密度函數為：f(x,y)=x+y，0x1，0y10，其他，求F(x,y)。二十五、 已知F(x,y)，求P公式：P(Xx0，Yy0)=F(x0，y0)

18、例1：二十六、 已知f(x,y)，求P例1：例2：二十七、 求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知數公式：F(+ , +)=1，F(- , -)=0， F(x , -)=0，F(- , y)=0 -+-+f(x,y)dxdy=1例1：例2：二十八、 求均勻分布的f(x,y)與P公式：例1：概率論第六課二十九、 求邊緣分布函數公式：FX(x)=F(x,+)，FY(y)=F(+,y)例1：三十、 求邊緣密度函數三十一、 判斷連續型二維變量的獨立性公式：例1：三十二、 已知f(x,y)，Z=X+Y，求fZ(z)公式：fZ(z)=-+f(x,z-x)dx例1：三十三、 已知f(x,y)，Z=XY，求 fZ(z)公式：fZ(z)=-+f(yz,y)|y|dy三十四、 已知f(x,y)，且X,Y相互獨立，Z=max(X,Y)，求FZ(z)公式：FZ(z)=FX(z)FY(z)例1：設隨機變量X，Y獨立同分布，且X的分布函數為x3+2x，求Z=max(X,Y)的分布函數。三十五、 已知f(x,y)，且X,Y相互獨立，Z=min(X,Y)，求FZ(z)公式：FZ(z)=1-1-FX(z