1、一、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解一、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解二、二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解 第八節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程第八節(jié)二階常系數(shù)線性差分方程三、小結(jié) 1.1.定義定義 )(12xfbyayyxxx 形形如如)(0,(為為已已知知函函數(shù)數(shù)均均為為常常數(shù)數(shù)，其其中中xfba 常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程的的差差分分方方程程，稱稱為為二二階階稱稱為為齊齊次次的的時時稱稱為為非非齊齊次次的的，否否則則0)( xf稱稱為為相相應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程012 xxxbyayy2.解的結(jié)構(gòu)定理解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)線性差分方程的通解

2、二階常系數(shù)線性差分方程的通解等于對應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解.即. xxxyYy一一 、二、二階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解，代代入入得得為為對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程一一個個解解設(shè)設(shè))0( xxY012 xxxba 02 ba 即即其其根根程程的的特特征征方方程程此此方方程程稱稱為為對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方,24,242221baabaa .稱稱為為相相應(yīng)應(yīng)方方程程的的特特征征根根.42式式的的符符號號來來確確定定其其通通解解形形現(xiàn)現(xiàn)根根據(jù)據(jù)ba 如如下下形形式式：，此此時時的的通通解解具具有有與與有有兩兩個個相相異異的的實實特特征征根根21 ),(21

3、2211為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCCCYxxx (2)第二種情形第二種情形時時ba42 的的通通解解具具有有如如下下形形式式：，此此時時征征根根方方程程有有兩兩個個相相等等的的實實特特221a ),()2)(2121為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCaxCCYxx (1)第一種情形第一種情形時時ba42 (3)第三種情形第三種情形時時ba42 ,征征根根方方程程有有一一對對共共軛軛的的復復特特 i2ab4ia21i2ab4ia212221：把把它它們們化化為為三三角角表表示示式式)0 , 0(tan,r22 sin,cosrr 則則)sin(cos),sin(cos21 irir )xsinix(cosr

4、y)xsinix(cosryxx2)2(xxx1)1(x 解可以證明解可以證明都是對應(yīng)齊次方程的特都是對應(yīng)齊次方程的特)(21)(21)2()1()2()1(xxxxyyiyy 及及有有以以下下形形式式的的通通解解：也也都都是是特特解解故故可可得得具具),()sincos(2121是是任任意意常常數(shù)數(shù)CCxCxCrYxx 解解2560 特征方程特征方程(2)(3)0 即即122,3 解解得得1223xxxyCC 解解210250 特征方程特征方程2(5)0 即即125 解解得得12()( 5)xxyCC x 解解2109 特征方程特征方程1,23i 即即1,32r 于于是是121( ) (co

5、ssin)322xxyCxCx 通通解解：二、二、二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一項項是是對對應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次差差，解解一一項項是是該該方方程程的的一一個個特特的的和和組組成成：差差分分方方程程的的通通解解由由兩兩項項二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性 .2 xxxyYy）的通解為）的通解為即差分方程（即差分方程（(1) ( )( )nf xP x 21( )xxxnyaybyP x 20ab )10iab ，( )xnyQx 令令可改寫成：可改寫成： 2(2)(1)( )xxxnyayab yP x 特征方程

6、為：特征方程為： 即即1 1不是特征方程的根時不是特征方程的根時 代入方程求解代入方程求解 )102iiiaba 且且)102iiaba 且且即即1 1是特征方程的單根時是特征方程的單根時 ( )xnyxQx 令令即即1 1是特征方程的重根時是特征方程的重根時 2( )xnyx Qx 令令將上式代入方程，比較等式兩邊系數(shù)，求出將上式代入方程，比較等式兩邊系數(shù)，求出 ( )nQx解解022 0)1)(2( 即即1, 221 解解得得21)2(AAYxx 1 是是特特征征方方程程根根（不不是是重重根根）4xxyCxyx 代代入入得得21)2(4AAxyxx 所所給給方方程程通通解解為為42,240

7、,2121121210 AAAAyAAAAy即即即即由由34,3421 AA可可得得34)2(344 xxxy故故此此時時特特解解為為解解12=-1=-4.1 特特征征根根，不不是是特特征征根根xBByx10 可設(shè)可設(shè)xxBBxBBxBB 10101044)1(55)2(代入方程代入方程比比較較兩兩端端同同次次項項系系數(shù)數(shù)有有 1100710110BBB101,100710 BBxyx1011007 則則1271( 1)( 4)10010 xxxyxCC 故故通通解解解解1212=-4=1.( 4)xxYCC，)(10 xBBxyx :代入方程得代入方程得xxBxBxBxBxBxB 21021

8、021044)1(3)1(3)2()2(101,50710 BB可可得得1271(),5010( 4),xxxyxxCC 又又Y Y通通解解為為1271()( 4)5010 xxyxxCC xxxyz 令令(2) ( )( )(1)xnf xP x 是是常常量量，即即方方程程21( )xxxxnyaybyP x 方程化為方程化為2121( )xxxxxxxnzazbzP x即即221( )xxxnza zbzPx 由前面所討論方法求出由前面所討論方法求出xz 從而從而xxxyz 解解（1）對應(yīng)特征方程為）對應(yīng)特征方程為260 特征根為特征根為122,3 故故123( 2)xxxYCC （2）3

9、xxxyz 令令代入原方程代入原方程2193621xxxzzzx對應(yīng)特征方程為對應(yīng)特征方程為29360 特征根為特征根為1221,3 1是特征方程單根，令是特征方程單根，令()xzx AxB 代入原方程，比較系數(shù)，得代入原方程，比較系數(shù)，得12,1525AB 2121525xzxx 因此因此2123 ()1525xxyxx 原方程通解為原方程通解為212123( 2)3 ()1525xxxxyCCxx三、小結(jié)1.二階常系數(shù)齊次線性差分方程求通解二階常系數(shù)齊次線性差分方程求通解2.二階常系數(shù)非齊次線性差分方程求通解二階常系數(shù)非齊次線性差分方程求通解練習題)2, 2( , 022)2()1, 1( , 0164)1(. 11012