1、九年級數學第二十二章第3節二次根式的加減法 華東師大版【本講教育信息】一. 教學內容：22.3 二次根式的加減法二. 重點、難點： 1. 重點： （1）了解同類二次根式的概念，掌握二次根式的加減運算； （2）能進行二次根式的混合運算. 2. 難點： （1）能結合乘法公式和因式分解的方法進行二次根式的混合運算. （2）能夠運用二次根式的混合運算解決一些簡單的實際問題.三. 知識梳理： 1. 同類二次根式 幾個二次根式經過化簡之后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如，所以和是同類二次根式。說明：（1）判斷同類二次根式的方法：首先將不是最簡形式的二次根式化為最簡二次根式；再看

2、被開方數是否相同。 （2）幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數及根指數有關，而與根號外的因式無關。 合并同類二次根式與合并同類項類似，理論依據都是逆用乘法對加法的分配律，合并同類二次根式，只是把它們的系數相加，根指數和被開方數都不變。 2. 二次根式的加減法 二次根式的加減實質上就是合并同類二次根式，它與合并同類項類似。如4+35=（4+35）。必須注意不是同類二次根式的不能合并，如+。二次根式的加減一般可以分三步進行：將每一個二次根式化成最簡二次根式；找出其中的同類二次根式；合并同類二次根式。需要注意的是：進行二次根式的加減運算時，過去在學習整式的加減運算中的交換律，結合律及去括號，

3、添括號法則仍然適用；二次根式的加減運算結果應寫成最簡結果或幾個非同類二次根式的和。 3. 二次根式的混合運算 （1）二次根式的混合運算與整式的混合運算類似。其運算順序是：先乘方開方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號再計算）。 （2）在二次根式混合運算的過程中，每個二次根式可以看做一個“單項式”，幾個被開方數不同的二次根式的和可以看做“多項式”，故二次根式的運算可以看做整式的運算。 （3）實數運算中的運算律，運算法則及乘法公式在二次根式的運算中仍然適用。【典型例題】 例1. 把下列各式化成最簡二次根式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）。分析：化簡二次根式的一般步驟：

4、（1）把被開方數（式）分解質因數（式），化為積的形式；（2）把根號內能開得盡方的因數（或式）移到根號外；（3）化去根號內的分母.有帶分數要化成假分數，有小數化成分數。解：（5） 例2. 下列二次根式中，哪些是同類二次根式?分析：先化二次根式為最簡二次根式.最簡二次根式只要被開方數相同，就是同類二次根式，與根號外面的因式無關。解： 例3. 已知最簡根式、是同類根式，求代數式的值。分析：同類根式必須同時滿足以下條件：為最簡根式；根指數相同；被開方數相同。同類二次根式概念為本題提供了求出、的條件，從而最終求出代數式的值。解：因為最簡根式、是同類根式， 例4. 計算：分析：先化簡二次根式，再合并同類二

5、次根式。解： 例5. 計算：分析：這里可以把二次根式看成是一個“單項式”或者“多項式”利用整式乘法或除法法則進行運算。第（1）、（2）、（3）題都與整式運算類似。第（4）題，因為除法不滿足分配律，可先轉化成分數形式，再分母有理化。解： 例6. 計算：分析：原來學過的所有運算律、運算法則及乘法公式仍然適用二次根式的運算.這三道題都可以利用平方差公式或完全平方公式。解：（1） 例7. 已知，求的值。 分析：直接代入求值比較麻煩，可考慮把代數式化簡再求值，并且、的值的分母是兩個根式，且互為有理化因式，故必然簡潔且不含根式，的值也可以求出來。解：由已知得：，； 原式.例8. 計算：分析：一般地，兩個含

6、有二次根式的代數式相乘時，如果它們的積不含二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式。解決此題首先要化去分母中的根號，則關鍵是選擇一個適當的數（或代數式），用這個數（或代數式）去乘分式的分子和分母，從而使分母不含根號，即分母有理化。解： 例9. 已知x，y都是正整數，且 ，求 的值.分析：因為只有同類二次根式才能合并，而=，所以易知、與是同類二次根式，于是可求出x，y的值。解：=設=，=，（、為正整數）則有+= ，即+=3；、為正整數， =1，=2或=2，=1，=222，=888或=888，=222+=1110. 例10. 有一艘船在點O處測得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向

7、上，船向西航行20海里到達B處，測得電視塔在船的西北方向。問再向西航行多少海里，船離電視塔最近？（結果保留根號）分析：此題將二次根式與解直角三角形相結合，先解直角三角形，再根據二次根式的有關性質進行化簡.船離電視塔最近時，應為線段AC的長。解：設BC=，則在RACB中，ABC=45°，所以AC=BC=在RACO中，AOC=30°，AC=（+20）÷，所以有：（+20）÷=，解得：=即=+10答：再向西航行（+10）海里，船離電視塔最近。【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題 1. 下列根式中，最簡二次根式是 （ ）毛 A. B. C. D. 2.

8、與不是同類二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中，是同類二次根式的是 （ ） A. 和B. 和 C. 和D. 和 4. 下列計算中，錯誤的是（ ）A. B. C. D. 5. 化簡 的結果是（ ） A. 0B. C. D. 6. 下列計算中，正確的是 （ ） A. B. C. D. 7. 若m<0，則把式子 根號外面的因式移到根號里的式子應是 （ ）A. B. C. D. 8. 計算 的結果是（ ） A. B. C. 1D. 1 9. 已知a=，b=，則a與b的關系是 （ ） A. a=bB. a+b=0C. ab=1D. ab=1 10. 下列計算正確的是（ ） A. B. ； C. D. 二、填空題 11. 化簡=_；=_（x>0，y>0）。 12. 若 與是同類二次根式，則b=_。 13. 若最簡二次根式和是同類二次根式，則x=_。 14. 在二次根式中，_是同類二次根式。 15. 若最簡根式和是同類根式，則m=_，n=_。 16. =_，=_。 17. 若x=，則x2x+1=_。18. 化簡=_。三、解答題 19. 計算或化簡：（1）（2）（3）（4）（5）（6） 20. 已知x=，求的值。【試題答案】一、選