1、2017年上海市虹口區高考數學一模試卷一、填空題（16題每小題4分，712題每小題4分，本大題滿分54分）1已知集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，則AB=2已知，則復數z的虛部為3設函數f（x）=sinxcosx，且f（）=1，則sin2=4已知二元一次方程組的增廣矩陣是，則此方程組的解是5數列an是首項為1，公差為2的等差數列，Sn是它前n項和，則=6已知角A是ABC的內角，則“”是“的條件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要條件”、“既非充分又非必要”之一）7若雙曲線x2=1的一個焦點到其漸近線的距離為2，則該雙曲線的焦距等于8若正項等比數列an滿足：a3+a5=4

2、，則a4的最大值為9一個底面半徑為2的圓柱被與其底面所成角是60的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的焦距等于10設函數f（x）=，則當x1時，則ff（x）表達式的展開式中含x2項的系數是11點M（20，40），拋物線y2=2px（p0）的焦點為F，若對于拋物線上的任意點P，|PM|+|PF|的最小值為41，則p的值等于12當實數x，y滿足x2+y2=1時，|x+2y+a|+|3x2y|的取值與x，y均無關，則實數a的取范圍是二、選擇題（每小題5分，滿分20分）13在空間，表示平面，m，n表示二條直線，則下列命題中錯誤的是（）A若m，m、n不平行，則n與不平行B若m，m、n不垂直，則n與不垂直

3、C若m，m、n不平行，則n與不垂直D若m，m、n不垂直，則n與不平行14已知函數在區間0，a（其中a0）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）ABCD15如圖，在圓C中，點A、B在圓上，則的值（）A只與圓C的半徑有關B既與圓C的半徑有關，又與弦AB的長度有關C只與弦AB的長度有關D是與圓C的半徑和弦AB的長度均無關的定值16定義f（x）=x（其中x表示不小于x的最小整數）為“取上整函數”，例如2.1=3，4=4以下關于“取上整函數”性質的描述，正確的是（）f（2x）=2f（x）； 若f（x1）=f（x2），則x1x21；任意x1，x2R，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）；ABCD三、解答題

4、（本大題滿分76分）17在正三棱錐PABC中，已知底面等邊三角形的邊長為6，側棱長為4（1）求證：PABC；（2）求此三棱錐的全面積和體積18如圖，我海監船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其北偏東30方向與它相距20海里的B處有一外國船只，且D島位于海監船正東18海里處（1）求此時該外國船只與D島的距離；（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行為了將該船攔截在離D島12海里的E處（E在B的正南方向），不讓其進入D島12海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1，速度精確到0.1海里/小時）19已知二次函數f（x）=ax24x+

5、c的值域為0，+）（1）判斷此函數的奇偶性，并說明理由；（2）判斷此函數在，+）的單調性，并用單調性的定義證明你的結論；（3）求出f（x）在1，+）上的最小值g（a），并求g（a）的值域20橢圓C：過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點設點P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2（1）求橢圓C的方程；（2）如果直線l的斜率等于1，求出k1k2的值；（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍21已知函數f（x）=2|x+2|x+1|，無窮數列an的首項a1=a（1）如果an=f（n）（nN*），寫出數列a

6、n的通項公式；（2）如果an=f（an1）（nN*且n2），要使得數列an是等差數列，求首項a的取值范圍；（3）如果an=f（an1）（nN*且n2），求出數列an的前n項和Sn2017年上海市虹口區高考數學一模試卷參考答案與試題解析一、填空題（16題每小題4分，712題每小題4分，本大題滿分54分）1已知集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA，則AB=2，4，8【考點】交集及其運算【分析】先分別求出集合A和B，由此能出AB【解答】解：集合A=1，2，4，6，8，B=x|x=2k，kA=2，4，8，12，19，AB=2，4，8故答案為：2，4，82已知，則復數z的虛部為1【考點】復

7、數代數形式的乘除運算【分析】由，得，利用復數復數代數形式的乘法運算化簡，求出z，則答案可求【解答】解：由，得=22i+ii2=3i，則z=3+i復數z的虛部為：1故答案為：13設函數f（x）=sinxcosx，且f（）=1，則sin2=0【考點】二倍角的正弦【分析】由已知可得sincos=1，兩邊平方，利用二倍角的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式即可得解【解答】解：f（x）=sinxcosx，且f（）=1，sincos=1，兩邊平方，可得：sin2+cos22sincos=1，1sin2=1，可得：sin2=0故答案為：04已知二元一次方程組的增廣矩陣是，則此方程組的解是【考點】系數矩陣的

8、逆矩陣解方程組【分析】先利用增廣矩陣，寫出相應的二元一次方程組，然后再求解即得【解答】解：由題意，方程組解之得故答案為5數列an是首項為1，公差為2的等差數列，Sn是它前n項和，則=【考點】數列的極限【分析】求出數列的和以及通項公式，然后求解數列的極限即可【解答】解：數列an是首項為1，公差為2的等差數列，Sn=n2an=1+（n1）2=2n1，則=故答案為：；6已知角A是ABC的內角，則“”是“的充分不必要條件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要條件”、“既非充分又非必要”之一）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據充分必要條件的定義以及三角函數值判斷即可【解答】解：A

9、為ABC的內角，則A（0，180），若命題p：cosA=成立，則A=60，sinA=； 而命題q：sinA=成立，又由A（0，180），則A=60或120；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可見p是q的充分不必要條件故答案為：充分不必要7若雙曲線x2=1的一個焦點到其漸近線的距離為2，則該雙曲線的焦距等于6【考點】雙曲線的簡單性質【分析】根據焦點到其漸近線的距離求出b的值即可得到結論【解答】解：雙曲線的漸近線為y=bx，不妨設為y=bx，即bx+y=0，焦點坐標為F（c，0），則焦點到其漸近線的距離d=b=2，則c=3，則雙曲線的焦距等于2c=6，故答案為：68若正項等比數列an滿足：a3

10、+a5=4，則a4的最大值為2【考點】等比數列的性質【分析】利用數列an是各項均為正數的等比數列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值【解答】解：數列an是各項均為正數的等比數列，a3a5=a42，等比數列an各項均為正數，a3+a52，當且僅當a3=a5=2時，取等號，a3=a5=2時，a4的最大值為2故答案是：29一個底面半徑為2的圓柱被與其底面所成角是60的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的焦距等于【考點】橢圓的簡單性質【分析】利用已知條件，求出題意的長半軸，短半軸，然后求出半焦距，即可【解答】解：因為底面半徑為R的圓柱被與底面成30的平面所截，其截口是一個橢圓

11、，則這個橢圓的短半軸為：R，長半軸為： =8，a2=b2+c2，c=2，橢圓的焦距為；故答案為：410設函數f（x）=，則當x1時，則ff（x）表達式的展開式中含x2項的系數是60【考點】分段函數的應用【分析】根據分段函數的解析式先求出ff（x）表達式，再根據利用二項展開式的通項公式寫出第r+1項，整理成最簡形式，令x的指數為2求得r，再代入系數求出結果【解答】解：由函數f（x）=，當x1時，f（x）=2x1，此時f（x）min=f（1）=21=1，ff（x）=（2x1）6=（2x+1）6，Tr+1=C6r2rxr，當r=2時，系數為C6222=60，故答案為：6011點M（20，40），拋物

12、線y2=2px（p0）的焦點為F，若對于拋物線上的任意點P，|PM|+|PF|的最小值為41，則p的值等于42或22【考點】拋物線的簡單性質【分析】過P做拋物線的準線的垂線，垂足為D，則|PF|=|PD|，當M（20，40）位于拋物線內，當M，P，D共線時，|PM|+|PF|的距離最小，20+=41，解得：p=42，當M（20，40）位于拋物線外，由勾股定理可知： =41，p=22或58，當p=58時，y2=116x，則點M（20，40）在拋物線內，舍去，即可求得p的值【解答】解：由拋物線的定義可知：拋物線上的點到焦點距離=到準線的距離，過P做拋物線的準線的垂線，垂足為D，則|PF|=|PD|

13、，當M（20，40）位于拋物線內，|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，當M，P，D共線時，|PM|+|PF|的距離最小，由最小值為41，即20+=41，解得：p=42，當M（20，40）位于拋物線外，當P，M，F共線時，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由當p=58時，y2=116x，則點M（20，40）在拋物線內，舍去，故答案為：42或2212當實數x，y滿足x2+y2=1時，|x+2y+a|+|3x2y|的取值與x，y均無關，則實數a的取范圍是，+）【考點】圓方程的綜合應用【分析】根據實數x，y滿足x2+y2=1，設x=cos，y=sin，求出x+2y的取值范

14、圍，再討論a的取值范圍，求出|x+2y+a|+|3x2y|的值與x，y均無關時a的取范圍【解答】解：實數x，y滿足x2+y2=1，可設x=cos，y=sin，則x+2y=cos+2sin=sin（+），其中=arctan2；x+2y，當a時，|x+2y+a|+|3x2y|=（x+2y+a）+（3x2y）=a+3，其值與x，y均無關；實數a的取范圍是，+）故答案為：二、選擇題（每小題5分，滿分20分）13在空間，表示平面，m，n表示二條直線，則下列命題中錯誤的是（）A若m，m、n不平行，則n與不平行B若m，m、n不垂直，則n與不垂直C若m，m、n不平行，則n與不垂直D若m，m、n不垂直，則n與不

15、平行【考點】空間中直線與平面之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系【分析】對于A，若m，m、n不平行，則n與可能平行、相交或n，即可得出結論【解答】解：對于A，若m，m、n不平行，則n與可能平行、相交或n，故不正確故選A14已知函數在區間0，a（其中a0）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）ABCD【考點】正弦函數的單調性【分析】由條件利用正弦函數的單調性，可得2a+，求得a的范圍【解答】解：函數在區間0，a（其中a0）上單調遞增，則2a+，求得a，故有0a，故選：B15如圖，在圓C中，點A、B在圓上，則的值（）A只與圓C的半徑有關B既與圓C的半徑有關，又與弦AB的長度有關C只與弦AB的長度

16、有關D是與圓C的半徑和弦AB的長度均無關的定值【考點】平面向量數量積的運算【分析】展開數量積，結合向量在向量方向上投影的概念可得=則答案可求【解答】解：如圖，過圓心C作CDAB，垂足為D，則=|cosCAB=的值只與弦AB的長度有關故選：C16定義f（x）=x（其中x表示不小于x的最小整數）為“取上整函數”，例如2.1=3，4=4以下關于“取上整函數”性質的描述，正確的是（）f（2x）=2f（x）； 若f（x1）=f（x2），則x1x21；任意x1，x2R，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）；ABCD【考點】函數與方程的綜合運用【分析】充分理解“取上整函數”的定義如果選項不滿足題意，只需要

17、舉例說明即可【解答】解：對于，當x=1.4時，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4所以f（2x）2f（x）；錯對于，若f（x1）=f（x2）當x1為整數時，f（x1）=x1，此時x2x11，即x1x21當x1不是整數時，f（x1）=x1+1x1表示不大于x1的最大整數x2表示比x1的整數部分大1的整數或者是和x1保持相同整數的數，此時x1x21故正確對于，當x1，x2Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），當x1，x2Z，f（x1+x2）f（x1）+f（x2），故正確；對于，舉例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4f（2.4）=3故錯誤故選：C三、解答題（本大題滿分76分

18、）17在正三棱錐PABC中，已知底面等邊三角形的邊長為6，側棱長為4（1）求證：PABC；（2）求此三棱錐的全面積和體積【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；直線與平面垂直的性質【分析】（1）取BC的中點M，連AM、BM由ABC是等邊三角形，可得AMBC再由PB=PC，得PMBC利用線面垂直的判定可得BC平面PAM，進一步得到PABC；（2）記O是等邊三角形的中心，則PO平面ABC由已知求出高，可求三棱錐的體積求出各面的面積可得三棱錐的全面積【解答】（1）證明：取BC的中點M，連AM、BMABC是等邊三角形，AMBC又PB=PC，PMBCAMPM=M，BC平面PAM

19、，則PABC；（2）解：記O是等邊三角形的中心，則PO平面ABCABC是邊長為6的等邊三角形，；18如圖，我海監船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其北偏東30方向與它相距20海里的B處有一外國船只，且D島位于海監船正東18海里處（1）求此時該外國船只與D島的距離；（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行為了將該船攔截在離D島12海里的E處（E在B的正南方向），不讓其進入D島12海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1，速度精確到0.1海里/小時）【考點】直線與圓的位置關系【分析】（1）依題意，在ABD中，DAB=60，由余弦

20、定理求得DB；（2）法一、過點B作BHAD于點H，在RtABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，進一步得到sinEAH，則EAH可求，求出外國船只到達E處的時間t，由求得速度的最小值法二、建立以點A為坐標原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸可得A，D，B的坐標，設經過t小時外國船到達點，結合ED=12，得，列等式求得t，則，再由求得速度的最小值【解答】解：（1）依題意，在ABD中，DAB=60，由余弦定理得DB2=AD2+AB22ADABcos60=182+20221815cos60=364，即此時該外國船只與D島的距離為海里；（2）法一、過點B作BHAD于點H，在RtABH中，AH

21、=10，HD=ADAH=8，以D為圓心，12為半徑的圓交BH于點E，連結AE、DE，在RtDEH中，HE=，又AE=，sinEAH=，則41.81外國船只到達點E的時間（小時）海監船的速度（海里/小時）又9041.81=48.2，故海監船的航向為北偏東48.2，速度的最小值為6.4海里/小時法二、建立以點A為坐標原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸則A（0，0），D（18，0），設經過t小時外國船到達點，又ED=12，得，此時（小時）則，監測船的航向東偏北41.81海監船的速度（海里/小時）19已知二次函數f（x）=ax24x+c的值域為0，+）（1）判斷此函數的奇偶性，并說明理由；（2

22、）判斷此函數在，+）的單調性，并用單調性的定義證明你的結論；（3）求出f（x）在1，+）上的最小值g（a），并求g（a）的值域【考點】二次函數的性質【分析】（1）由二次函數f（x）=ax24x+c的值域，推出ac=4，判斷f（1）f（1），f（1）f（1），得到此函數是非奇非偶函數（2）求出函數的單調遞增區間設x1、x2是滿足的任意兩個數，列出不等式，推出f（x2）f（x1），即可判斷函數是單調遞增（3）f（x）=ax24x+c，當，即0a2時，當，即a2時求出最小值即可【解答】解：（1）由二次函數f（x）=ax24x+c的值域為0，+），得a0且，解得ac=4f（1）=a+c4，f（1）=a

23、+c+4，a0且c0，從而f（1）f（1），f（1）f（1），此函數是非奇非偶函數（2）函數的單調遞增區間是，+）設x1、x2是滿足的任意兩個數，從而有，又a0，從而，即，從而f（x2）f（x1），函數在，+）上是單調遞增（3）f（x）=ax24x+c，又a0，x1，+）當，即0a2時，最小值g（a）=f（x0）=0當，即a2時，最小值綜上，最小值當0a2時，最小值g（a）=0當a2時，最小值綜上y=g（a）的值域為0，+）20橢圓C：過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點設點P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2（1）求橢圓C的方程；（2）如果直線l的斜率等于1，求出k1k2的值；（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍【考點】直線與橢圓的位置關系【分析】（1）利用已知條件求出b，即可求解橢圓方程（2）直線l：y=x+1，設AB坐標，聯立利用韋達定理以及斜率公式求解即可（3）當直線AB的斜率不存在時，不妨設A，B，求出斜率，即可；當直線AB的斜率存在時，設其為k，求直線AB：y=k（x1），聯立直線與橢圓的方程組，利用韋達定理以及斜率公式化簡求解即可【解答】解：（1）a=2，又c=1，橢圓方程為（2）直線l：y=x+1，設A（x1，y1）B（x2，y