1、Ch3、中值定理與導數(shù)的應用1、中值定理一、羅爾定理若滿足在上連續(xù)；在內可導；，則在內至少存在一點。證：因，故在上有最大值、最小值，若，對任意，均有，結論成立。若，因，故不能同時等于，不妨設，即內部一點處取最大值。當同理可證，又在內可導，故，即。例1、驗證羅爾定理對上的正確性。證：條件驗證，即滿足羅爾定理條件。 結論驗證，顯然有，故得證。 （既要驗證條件，又要驗證結論）例2、設的實數(shù)，證明方程在內至少有一個實根。證：設則在上連續(xù)，在內連續(xù)，且，由羅爾定理，至少有一個使即在內至少有一個實根。二、拉格朗日中值定理 若滿足在上連續(xù)；在內可導，則至少存在一點，使 。證：令 則在上連續(xù)，在內可導，且 由

2、羅爾定理，至少有一個使 即。 因，故可記為。 本定理的一般形式為，。例3、設在上連續(xù)，在內可導，證明在內至少存在一點，使。證：令，則在上連續(xù)，在內可導，由Lagrange定理，有使，即例4、設，證明證：令，則在上連續(xù)，在內可導，故有使又，故 即定理：在區(qū)間上，的充要條件是證：充分性顯然，下證必要性。由知，滿足Lagrange定理條件，對任意，有，得，從而。例5、證明：證：令則 又 故 同理可證三、柯西中值定理若滿足在上連續(xù)；在內可導；，則至少存在一，。證：令， 則在上連續(xù)，在內可導，且， 由羅爾定理，至少有一個使， 即。例6、設在上連續(xù)，在內可導，證明在內至少存在一點，使。證：令，則、在上連續(xù)

3、，在內可導，且由柯西定理，有使，即2、洛必達法則1、型定理1：若；，則證：下設極限過程為，時同理可證。因，故、的連續(xù)點或可去間斷點，從而可得。設為鄰域內一點，且，則、在上連續(xù)，在內可導，且，則柯西定理又時，且故。注：在實際運用時，只要極限為型，即可試用法則。 在求極限時，最好將洛必達法則與等階無窮小代換法則結合使用。例1、解：原式例2、解：原式例3、解：原式2、型定理2：若；，則例4、解：原式例5、證明存在，但不可用洛必達法則計算。證：因為不存在也不為，故不可用洛必達法則計算。但此極限存在，事實上原式3、其它未定型極限中共有七種未定型例6、例7、例8、 例9、例10、例11、3、泰勒公式1、T

4、aylor中值定理定理：若在的某鄰域內有階導數(shù)，則在該鄰域內稱為余項，介于之間。 拉格朗日公式顯然余項。2、麥克勞林公式若，則此式稱為階麥克勞林公式。例1、求的麥克勞林公式 解：，故， 故同理，故，故 例2、用Taylor公式求極限 解：原式原式 4、函數(shù)單調性的判定1、定理1：若在區(qū)間內（），則在區(qū)間上單調增加（減少）。證：任取，則由拉格朗日定理，若，則，在上單調增加；若，則，在上單調減少。例1、判定函數(shù)單調性 解：當時，；當時，故內單增，在內單減。，當時，；當時，故內單減，在內單增。2、用單調性證明不等式（重要）例2、證明不等式 證：令，則，即單增 又，故，即再令，即單增又，故，即從而 令

5、，則 ，即單增 又，故，即3、定理2：單調函數(shù)在其單調區(qū)間內最多只能有一個零點。例3、證明只有一個實根。證：令，則在上連續(xù)，且，故內至少有一個零點，又，即單減，由定理2，內最多只能有一個零點，從而有且僅有一個實根。5、函數(shù)的極值及求法1、極值的定義定義：若存在的一個鄰域，對此鄰域內除外的任何，均有（ ），則稱為的一個極大（小）點，稱為的一個極大（小）值。注：極值是局部性概念，僅在附近考慮；而最值是整體性概念，要在整個區(qū)間考慮。2、函數(shù)取得極值的必要條件定理1：若在處可導，且在處取得極值，則。證：不妨設為極大點，即在的某鄰域內有當時， （保號性） 同理，又在處可導，即，故。注：導數(shù)為零的點稱為駐

6、點，此時定理1可敘述為“對可導函數(shù)，極值點一定是駐點”。若可導函數(shù)無駐點，則函數(shù)無極值。駐點不一定為極值點。例如，有駐點，但不是極值點。千萬不要誤認為只有駐點才可能成為極值點，導數(shù)不存在的點也有可能成為極值點，即可能的極值點例如，在處不可導，但在處有極小值0。3、函數(shù)取得極值的充分條件定理2：（判別法一）設或不存在若時，時，則為極大點。若時，時，則為極小點。若在兩側，不變號，則不是極值點。定理3：（判別法二）設若，則為極大點。若，則為極小點。若，則需進一步判斷。4、求極值步驟求。求出的駐點及不存在的點。用判別法一或判別法二判定上述點是否為極值點，然后求出極值。例、求極值 解：法一：為極大點，極

7、大值為0 為極小點，極小值為法二：故為極大點，為極小點。，故為極大點，極大值為，故為極大點，極大值為6、最大值、最小值問題1、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值設，求上的最大、最小值。解：求出內的所有可疑點（駐點、不可導點），然后比較，最大（小）者即為最大（小）值。例1、求 的最大（小）值。解：故最大值為，最小值為故最大值為，最小值為2、設內可導，且有唯一駐點，若為極大（小）值，則也為最大（小）值。例2、求的最大（小值）。解：即為極大值，同時也是最大值，最大值為。3、在實際中，若僅有唯一駐點，且由經驗知的最大（小）值一定存在，則即為最大（小）值，無須判斷。例3、P195 T12解：此時，7、曲線的凹

8、凸性與拐點一、曲線的凹凸性1、定義：設，若對任意，恒有 ，則稱內的圖形為凹的（凸的）。2、判別法若內二階可導，則；例1、判定曲線的凹凸性 解：，故。故3、用凹凸性證明不等式例2、證明證：設， 故對，即。二、拐點1、拐點的必要條件 設的二階導數(shù)連續(xù)，且為拐點，則，反之不成立，例如，不是拐點。 可能的拐點2、判別法法一：設為可疑點，若在兩側變號，則為拐點，否則不是拐點。法二：設，若，則為拐點，否則要進一步判斷。例3、求下列曲線的拐點與凹凸區(qū)間 解：又，故，為拐點。故。（）8、函數(shù)圖形的描繪1、漸近線 若，則稱的垂直漸近線。 若，則稱的水平漸近線。2、作圖的一般步驟 討論的定義域、奇偶性、周期性，并

9、求出、。 求出求出、的根及求出、不存在的點，用這些點將定義域劃分為若干小區(qū)間。 確定求出、在上述小區(qū)間內的符號，由此確定在小區(qū)間內的增減性、凹凸性，并求出極值點、拐點。 求出的漸近線。 求出上述所有點的值，連點作圖。例1、畫出的圖形解：的定義域為，不存在的點為，上述點將定義域分為。各區(qū)間內、符號，的增減、凹凸及極值、拐點如下：36-+0-0+極大點拐點，即有水平漸近線，垂直漸近線9、曲率一、曲率的定義1、平均曲率由上圖知，曲線段彎曲程度與曲線段切線方向變化的角度以及曲線段的弧長有關，并且越大，彎曲程度越大，越大，彎曲程度越小。 稱為平均曲率2、曲率定義定義：如圖，若沿曲線趨于時，曲線段的平均曲率有極限，則稱此極限的絕對值為曲線在點的曲率，記為，即 二、曲率的計算1、弧長的微分如圖，故 從而2、的計算公式如圖，故例1、求曲線的曲率。解：，即圓的曲率