1、精選優質文檔-傾情為你奉上2015年高三復習高中數學數列拔高組卷（有答案）一解答題（共30小題）1（2014濮陽二模）設an是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通項公式；（）求數列的前n項和Sn2（2014南通一模）設公差不為零的等差數列an的各項均為整數，Sn為其前n項和，且滿足（1）求數列an的通項公式；（2）試求所有的正整數m，使得為數列an中的項3（2014宿遷模擬）已知公比為q（q1）的無窮等比數列an的首項a1=1（1）若q=，在a1與a2之間插入k個數b1，b2，bk，使得a1，b1，b2，bk，a2，a

2、3成等差數列，求這k個數；（2）對于任意給定的正整數m，在a1，a2，a3的a1與a2和a2與a3之間共插入m個數，構成一個等差數列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）當且僅當q取何值時，在數列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kN*，ckN）個數，使之成為一個等差數列？并求c1的所有可能值的集合及cn的通項公式（用q表示）4（2014東城區二模）設a是一個自然數，f（a）是a的各位數字的平方和，定義數列an：a1是自然數，an=f（an1）（nN*，n2）（）求f（99），f（2014）；（）若a1100，求證：a1a2；（）求證：存在mN*，使得am1005（201

3、4日照一模）已知數列an是首項為a1=，公比q=的等比數列，設bn+2=3logan（nN*），數列cn滿足cn=anbn（1）求證：bn是等差數列；（2）求數列cn的前n項和Sn；（3）若Cn+m1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍6（2014浦東新區三模）已知數列an，bn滿足bn=an+1an，其中n=1，2，3，（）若a1=1，bn=n，求數列an的通項公式；（）若bn+1bn1=bn（n2），且b1=1，b2=2（）記cn=a6n1（n1），求證：數列cn為等差數列；（）若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次求a1應滿足的條件7（2014上饒二模）已知f（x）為二次函

4、數，不等式f（x）+20的解集為（1，），且對任意，R恒有f（sin）0，f（2+cos）0數列an滿足a1=1，3an+1=1（nN×）（）求函數f（x）的解析式；（）設bn=，求數列bn的通項公式；（）若（）中數列bn的前n項和為Sn，求數列Sncos（bn）的前n項和Tn8（2014福建模擬）如圖，過曲線C：y=ex上一點P0（0，1）做曲線C的切線l0交x軸于Q1（x1，0）點，又過Q1做x軸的垂線交曲線C于P1（x1，y1）點，然后再過P1（x1，y1）做曲線C的切線l1交x軸于Q2（x2，0），又過Q2做x軸的垂線交曲線C于P2（x2，y2），以此類推，過點Pn的切線ln

5、與x軸相交于點Qn+1（xn+1，0），再過點Qn+1做x軸的垂線交曲線C于點Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，）（1）求x1、x2及數列xn的通項公式；（2）設曲線C與切線ln及垂線Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達式；（3）若數列Sn的前n項之和為Tn，求證：（nN+）9（2014南充一模）對于函數f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點如果函數f（x）=有且僅有兩個不動點0和2（1）試求b、c滿足的關系式（2）若c=2時，各項不為零的數列an滿足4Snf（）=1，求證：（3）設bn=，Tn為數列bn的前n項和，求證：T20

6、091ln2009T200810（2014通州區二模）已知f（x）=，數列an為首項是1，以f（1）為公比的等比數列；數列bn中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求數列an和bn的通項公式（2）令，cn的前n項和為Tn，證明：對nN+有1Tn411（2014江西模擬）無窮數列an的前n項和Sn=npan（nN*），并且a1a2（1）求p的值；（2）求an的通項公式；（3）作函數f（x）=a2x+a3x2+an+1xn，如果S10=45，證明：12（2014文登市二模）各項均為正數的數列an，其前n項和為Sn，滿足=1（nN*），且S5+2=a6（）求數列an的通項公式；（）證明：7（an1

7、）23n+1（nN*）；（）若nN*，令bn=an2，設數列bn的前n項和為Tn（nN*），試比較與的大小13（2014合肥一模）已知函數fn（x）=x+，（x0，n1，nZ），以點（n，fn（n）為切點作函數y=fn（x）圖象的切線ln，記函數y=fn（x）圖象與三條直線x=n，x=n+1，ln所圍成的區域面積為an（）求an；（）求證：an；（）設Sn為數列an的前n項和，求證：Sn14（2013上海）給定常數c0，定義函數f（x）=2|x+c+4|x+c|數列a1，a2，a3，滿足an+1=f（an），nN*（1）若a1=c2，求a2及a3；（2）求證：對任意nN*，an+1anc；（3

8、）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由15（2013上海）已知函數f（x）=2|x|，無窮數列an滿足an+1=f（an），nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比數列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由16（2013江蘇）設an是首項為a，公差為d的等差數列（d0），Sn是其前n項和記bn=，nN*，其中c為實數（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數列，證明：Snk=n2Sk（k，nN*）；（2）若bn是等差數列

9、，證明：c=017（2013天津）已知首項為的等比數列an的前n項和為Sn（nN*），且2S2，S3，4S4成等差數列（） 求數列an的通項公式；（） 證明18（2013上海）在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸正半軸上，點Pn在x軸上，其橫坐標為xn，且xn 是首項為1、公比為2的等比數列，記PnAPn+1=n，nN*（1）若，求點A的坐標；（2）若點A的坐標為（0，8），求n的最大值及相應n的值19（2013天津）已知首項為的等比數列an不是遞減數列，其前n項和為Sn（nN*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數列（）求數列an的通項公式；（）設，求數列Tn的最大項的值與最小項的

10、值20（2013北京）給定數列a1，a2，an對i=1，2，n1，該數列前i項的最大值記為Ai，后ni項ai+1，ai+2，an的最小值記為Bi，di=AiBi（）設數列an為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；（）設a1，a2，an1（n4）是公比大于1的等比數列，且a10證明：d1，d2，dn1是等比數列；（）設d1，d2，dn1是公差大于0的等差數列，且d10證明：a1，a2，an1是等差數列21（2013東城區模擬）已知數列an是等差數列，a2=6，a5=18；數列bn的前n項和是Tn，且Tn+bn=1（1）求數列an的通項公式；（2）求證：數列bn是等比數列；（3）記cn=an

11、bn，求cn的前n項和Sn22（2013潮州二模）已知數列an滿足：a1=1，a2=，且an+2=（I）求證：數列為等差數列；（II）求數列an的通項公式；（III）求下表中前n行所有數的和Sn23（2013廣東模擬）數列an的各項均為正數，sn為其前n項和，對于任意nN*，總有an，sn，成等差數列（）求數列an的通項公式；（）正數數列cn中，an+1=，（nN°）求數列cn中的最大項24（2013金山區一模）已知數列an滿足，1+a1+a2+anan+1=0（其中0且1，nN*），Sn為數列an的前n項和（1）若，求的值；（2）求數列an的通項公式an；（3）當時，數列an中是否

12、存在三項構成等差數列，若存在，請求出此三項；若不存在，請說明理由25（2013東城區模擬）設a1，a2，a20是首項為1，公比為2的等比數列對于滿足0k19的整數k，數列確定記（I）當k=1時，求M的值；（II）求M的最小值及相應的k的值26（2013肇慶二模）已知數列an的前n項和為Sn，對一切正整數n，點Pn（n，Sn）都在函數f（x）=x2+2x的圖象上，且過點Pn（n，Sn）的切線的斜率為kn（1）求數列an的通項公式；（2）若bn=2knan，求數列bn的前n項和Tn；（3）設A=x|x=kn，nN*，B=x|x=2an，nN*等差數列cn的任一項cnAB，其中c1是AB中的最小數，

13、110c10115，求cn的通項公式27（2013懷化三模）某產品具有一定的時效性，在這個時效期內，由市場調查可知，在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件若作廣告宣傳，廣告費為n千元時比廣告費為（n1）千元時多賣出件，（nN*）（1）試寫出銷售量s與n的函數關系式；（2）當a=10，b=4000時廠家應生產多少件這種產品，做幾千元廣告，才能獲利最大？28（2013成都模擬）已知一非零向量列an滿足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=（1）證明：|an|是等比數列；（2）設n=a n1，an（n2），bn=2nn1，Sn=b1+b2+bn，求Sn；（3）設cn=|an|log2|

14、an|，問數列cn中是否存在最小項？若存在，求出最小項；若不存在，請說明理由29（2013廣州三模）已知函數f（x）=（x0），設f（x）在點（n，f（n）（nN*）處的切線在y軸上的截距為bn，數列an滿足：a1=N*）（）求數列an的通項公式；（）在數列中，僅當n=5時，取最小值，求的取值范圍；（）令函數g（x）=f（x）（1+x）2，數列cn滿足：c1=，cn+1=g（cn）（nN*），求證：對于一切n2的正整數，都滿足：1230（2013懷化二模）已知函數（1）若函數f（x）在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；（2）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且，已知a1=4，

15、求證：an2n+2；（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2014濮陽二模）設an是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通項公式；（）求數列的前n項和Sn考點：等差數列的通項公式；等比數列的通項公式；數列的求和菁優網版權所有專題：計算題；壓軸題分析：（）設an的公差為d，bn的公比為q，根據等比數列和等差數列的通項公式，聯立方程求得d和q，進而可得an、bn的通項公式（）數列的通項公式由等差和等比數列構成，進而可用錯位相減法求得前n項和Sn解答：解：（）設an的

16、公差為d，bn的公比為q，則依題意有q0且解得d=2，q=2所以an=1+（n1）d=2n1，bn=qn1=2n1（），得=點評：本題主要考查等差數列的通項公式和用錯位相減法求和2（2014南通一模）設公差不為零的等差數列an的各項均為整數，Sn為其前n項和，且滿足（1）求數列an的通項公式；（2）試求所有的正整數m，使得為數列an中的項考點：數列的應用菁優網版權所有專題：壓軸題；等差數列與等比數列分析：（1）先確定a4=1，再根據得d=3或，結合數列an的各項均為整數，求出公差，即可求數列an的通項公式；（2）根據，an=3n11=3（n4）+1，可得為數列an中的項，必須是3的倍數，進而驗

17、證，可得所有的正整數m，使得為數列an中的項解答：解：（1）因為an是等差數列，且S7=7，而，于是a4=1（2分）設an的公差為d，則由得，化簡得8d227d+9=0，即（d3）（8d3）=0，解得d=3或，但若，由a4=1知不滿足“數列an的各項均為整數”，故d=3（5分）于是an=a4+（n4）d=3n11（7分）（2）因為，an=3n11=3（n4）+1，（10分）所以要使為數列an中的項，必須是3的倍數，于是am在±1，±2，±3，±6中取值，但由于am1是3的倍數，所以am=1或am=2由am=1得m=4；由am=2得m=3 （13分）當m=

18、4時，；當m=3時，所以所求m的值為3和4（16分）點評：本題主要考查了等差數列的通項公式及前n項和的公式，解題的重點是要熟練掌握基本公式，并能運用公式，還要具備一定的運算能力3（2014宿遷模擬）已知公比為q（q1）的無窮等比數列an的首項a1=1（1）若q=，在a1與a2之間插入k個數b1，b2，bk，使得a1，b1，b2，bk，a2，a3成等差數列，求這k個數；（2）對于任意給定的正整數m，在a1，a2，a3的a1與a2和a2與a3之間共插入m個數，構成一個等差數列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）當且僅當q取何值時，在數列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kN

19、*，ckN）個數，使之成為一個等差數列？并求c1的所有可能值的集合及cn的通項公式（用q表示）考點：數列的應用菁優網版權所有專題：壓軸題；等差數列與等比數列分析：（1）由條件得1，b1，b2，bk，成等差數列，求出公差d=，k=2，即可求這2個數；（2）設a1與a2之間插入k個數，kN，且km，則在a2與a3之間插入（mk）個數，由條件這等差數列第一項為a1=1，第k+2項為a2=q，第m+2項為a2=q2，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；（3）當且僅當qN，且q2時，在數列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kN*，ckN）個數，使之成為一個等差數列，再進行證明即可解答：

20、解：（1）由條件得1，b1，b2，bk，成等差數列，所以公差d=，k=2，所以這2個數為：b1=，b2=； （2分）（2）設a1與a2之間插入k個數，kN，且km，則在a2與a3之間插入（mk）個數，由條件這等差數列第一項為a1=1，第k+2項為a2=q，第m+2項為a2=q2，所以=，q1，所以q=，且 k；所以公比q的所有可能的取值的集合 q|q=，kN，km且k；（6分）（3）當且僅當qN，且q2時，在數列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kN*，ckN）個數，使之成為一個等差數列；證明如下：（i）當qN，且q2時，新構成的等差數列可以是正整數數列1，2，3，顯然滿足條件； （

21、8分）（ii） 若在數列an的每相鄰兩項ak，ak+1之間插入ck（kN*，ckN）個數，使之成為一個等差數列，這個等差數列設為bn，則對于任意的kN*，都有，即=，q1且q0，所以q=，ck+1，ckN，所以q為正有理數，an為正項無窮等比數列，若q不為整數，不妨設q=，其中p，tN*，p與t互質，且p2，等差數列bn的公差為d=，通項為bn=1+（n1）；則數列（c1+1）pbn的各項都為整數，則對于任意的nN*，（c1+1）p anN*，即對于任意的nN*，（c1+1）p（）n1N*，即于任意的nN*，由p與t互質，則（c1+1）p都能被pn1整除，p2，且pN*，這是不可能的，所以q為

22、正整數，又q1，所以qN，且q2； （12分）當qN，且q2時，對于首項為1，第（c1+1）項為q的等差數列bn，則公差d=，令an=bm，即q n1=1+（m1）（nN*），有m=（c1+1）+1N*，所以an是bn中的第（c1+1）+1項，所以c1的所有可能值的集合是自然數集N； （14分）對于任意的自然數c1，由=q，qN，nN*且q2知cn+1是首項為c1+1，公比為q的等比數列，所以cn的通項公式為cn=（c1+1）qn11 （16分）點評：本題考查的是數列的應用，考查等差數列與等比數列的綜合，考查反證法思想的運用，難度大，學生很難解決4（2014東城區二模）設a是一個自然數，f（a

23、）是a的各位數字的平方和，定義數列an：a1是自然數，an=f（an1）（nN*，n2）（）求f（99），f（2014）；（）若a1100，求證：a1a2；（）求證：存在mN*，使得am100考點：數列的應用菁優網版權所有專題：壓軸題；等差數列與等比數列分析：（）利用新定義，可求f（99），f（2014）；（）假設a1是一個n位數（n3），設出a1，由a2=f（a1）可得，作差，即可得證；（）利用反證法進行證明即可解答：（）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21 （5分）（）證明：假設a1是一個n位數（n3），那么可以設，其中0bi9且biN（1in）

24、，且bn0由a2=f（a1）可得，=，所以因為bn0，所以（10n1bn）bn99而（b11）b172，所以a1a20，即a1a2 （9分）（）證明：由（）可知當a1100時，a1a2同理當an100時，anan+1若不存在mN*，使得am100則對任意的nN*，有an100，總有anan+1則anan11，可得ana1（n1）取n=a1，則an1，與an100矛盾存在mN*，使得am100 （14分）點評：本題考查數列的應用，考查新定義，考查反證法，考查學生分析解決問題的能力，難度較大5（2014日照一模）已知數列an是首項為a1=，公比q=的等比數列，設bn+2=3logan（nN*），數

25、列cn滿足cn=anbn（1）求證：bn是等差數列；（2）求數列cn的前n項和Sn；（3）若Cn+m1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍考點：等差關系的確定；函數恒成立問題；數列的求和菁優網版權所有專題：計算題；證明題；壓軸題分析：（1）根據等比數列的通項公式可求得an，代入求得bn+1bn為常數，進而判斷出數列bn是等差數列（2）由（1）可分別求得an和bn，進而求得Cn進而用錯位相減法進行求和（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1Cn結果小于0，進而判斷出當n2時，Cn+1Cn，進而可推斷出當n=1時，Cn取最大值，問題轉化為，求得m的取值范圍解答：解：（1）由題意知，an=（）n，b

26、1=1bn+1bn=3an+1=3an=3=3q=3數列bn是首項為1，公差為3的等差數列（2）由（1）知，an=（）nbn=3n2Cn=（3n2）×（）nSn=1×+4×（）2+（3n2）×（）n，于是Sn=1×（）2+4×（）3+（3n2）×（）n+1，兩式相減得Sn=+3×（）2+（）3+（）n）（3n2）×（）n+1，=（3n+2）×（）n+1，Sn=（）n（3）Cn+1Cn=（3n+1）×（）n+1（3n2）×（）n=9（1n）×（）n+1，當n=1時，C

27、2=C1=當n2時，Cn+1Cn，即C2=C1C3C4Cn當n=1時，Cn取最大值是又即m2+4m50解得m1或m5點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的性質，裂項法求和，解不等式等問題6（2014浦東新區三模）已知數列an，bn滿足bn=an+1an，其中n=1，2，3，（）若a1=1，bn=n，求數列an的通項公式；（）若bn+1bn1=bn（n2），且b1=1，b2=2（）記cn=a6n1（n1），求證：數列cn為等差數列；（）若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次求a1應滿足的條件考點：數列遞推式；等差關系的確定菁優網版權所有專題：計算題；壓軸題；分類討論分析：（）根據數列

28、的基本性質以及題中已知條件便可求出數列an的通項公式；（）（）先根據題中已知條件推導出bn+6=bn，然后求出cn+1cn為定值，便可證明數列cn為等差數列；（）數列a6n+i均為以7為公差的等差數列，然后分別討論當時和當時，數列是否滿足題中條件，便可求出a1應滿足的條件解答：解：（）當n2時，有an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=a1+b1+b2+bn1（2分）=（3分）又因為a1=1也滿足上式，所以數列an的通項為（4分）（）由題設知：bn0，對任意的nN*有bn+2bn=bn+1，bn+1bn+3=bn+2得bn+3bn=1，于是又bn+3bn+6=1，故bn+6=b

29、n（5分）b6n5=b1=1，b6n4=b2=2，b6n3=b3=2，b6n2=b4=1，（）cn+1cn=a6n+5a6n1=b6n1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n1），所以數列cn為等差數列（7分）（）設dn=a6n+i（n0），（其中i為常數且i1，2，3，4，5，6），所以dn+1dn=a6n+6+ia6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n0）所以數列a6n+i均為以7為公差的等差數列（9分）設，（其中n=6k+i（k0），i為1，2，3，4，5，6中的一個常數），當時，對任意的n=6

30、k+i有=；（10分）由，i1，2，3，4，5，6知；此時重復出現無數次當時，=若，則對任意的kN有fk+1fk，所以數列為單調減數列；若，則對任意的kN有fk+1fk，所以數列為單調增數列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均為單調數列，任意一個數在這6個數列中最多各出現一次，即數列中任意一項的值最多出現六次綜上所述：當時，數列中必有某數重復出現無數次當a1B時，數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次（14分）點評：本題考查了等差數列的基本性質和數列的遞推公式，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時分類討論思想和轉化思想的運用，屬于中檔題7（2014上饒二模）已知f（x

31、）為二次函數，不等式f（x）+20的解集為（1，），且對任意，R恒有f（sin）0，f（2+cos）0數列an滿足a1=1，3an+1=1（nN×）（）求函數f（x）的解析式；（）設bn=，求數列bn的通項公式；（）若（）中數列bn的前n項和為Sn，求數列Sncos（bn）的前n項和Tn考點：數列與函數的綜合；函數解析式的求解及常用方法；等差數列的通項公式；數列的求和菁優網版權所有專題：壓軸題；分類討論；轉化思想分析：（）根據“f（x）為二次函數，不等式f（x）+20的解集為，”可得到即，再由“任意，R恒有f（sin）0，f（2+cos）0”可得f（1）0，f（21）0，從而有f（1

32、）=0，解得得到函數的解析式（）先求導數f'（x）=3x+1，則即，兩邊取倒數，有由等差數列定義求解（）化簡得Sncos（bn）=（1）nSn以有Tn=S1+S2S3+S4+（1）nSn再分n為偶數和n為奇數兩種情況化簡即可解答：解：（）依題意，（a0），即令，則sin=1，cos=1，有f（1）0，f（21）0，得f（1）=0，即，得（4分）（）f'（x）=3x+1，則即，兩邊取倒數，得，即bn+1=3+bn數列bn是首項為，公差為3的等差數列bn=1+（n1）3=3n2（nN*）（9分）（）cos（bn）=cos（3n2）=cos（n）=（1）nSncos（bn）=（1）n

33、SnTn=S1+S2S3+S4+（1）nSn（1）當n為偶數時Tn=（S2S1）+（S4S3）+（SnSn1）=b2+b4+bn=（2）當n為奇數時=綜上，（13分）點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，主要涉及了二次函數求解析式，構造數列求數列的通項及前n項和等問題，屬于中檔題8（2014福建模擬）如圖，過曲線C：y=ex上一點P0（0，1）做曲線C的切線l0交x軸于Q1（x1，0）點，又過Q1做x軸的垂線交曲線C于P1（x1，y1）點，然后再過P1（x1，y1）做曲線C的切線l1交x軸于Q2（x2，0），又過Q2做x軸的垂線交曲線C于P2（x2，y2），以此類推，過點Pn的切線ln與x軸

34、相交于點Qn+1（xn+1，0），再過點Qn+1做x軸的垂線交曲線C于點Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，）（1）求x1、x2及數列xn的通項公式；（2）設曲線C與切線ln及垂線Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達式；（3）若數列Sn的前n項之和為Tn，求證：（nN+）考點：數列與函數的綜合；定積分在求面積中的應用；數列與不等式的綜合菁優網版權所有專題：計算題；綜合題；壓軸題；轉化思想分析：（1）先求出導函數進而求出切線的斜率，再把1，2代入就可求出求x1、x2的值求出點Pn的切線ln的方程即可求出及數列xn的通項公式；（2）直接利用定積分來求Sn的表達式即可；（

35、3）利用（2）的結論先求出數列Sn的前n項之和為Tn，再把所要證明的結論轉化為用數學歸納法證明en+1（e1）n+e即可解答：解：（1）y=ex，設ln的斜率為kn，則l0的方程為：y=x+1，令y=0得x1=1，y1=e1P1（1，e1），l1的方程為：ye1=e1（x1），令y=0得x2=2，一般地，ln的方程為：，由Qn+1（xn+1，0）ln得：xn+1xn=1，xn=n （4分）（2）=（8分）（3），要證：，只要證明：，即只要證明en+1（e1）n+e（10分）證明；數學歸納法：（一）當n=1時，顯然（e1）20e22e1e2（e1）+e成立（二）假設n=k時，有ek+1（e1）k

36、+e當n=k+1時，ek+2=eek+1e（e1）k+e而e（e1）k+e（e1）（k+1）+e=（e1）2（k+1）0ek+2=eek+1e（e1）k+e（e1）（k+1）+e這說明n=k+1時不等式也成立，由（一）（二）知對一切正整數n都成立點評：一般在作數列與函數的綜合題時，多用到數學歸納法的應用，所以要把這幾個知識點掌握好9（2014南充一模）對于函數f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點如果函數f（x）=有且僅有兩個不動點0和2（1）試求b、c滿足的關系式（2）若c=2時，各項不為零的數列an滿足4Snf（）=1，求證：（3）設bn=，Tn為數列b

37、n的前n項和，求證：T20091ln2009T2008考點：數列與不等式的綜合菁優網版權所有專題：綜合題；壓軸題分析：（1）設=x的不動點為0和2，由此知即即且c0（2）由c=2，知b=2，2Sn=anan2，且an1所以anan1=1，an=n，要證待證不等式，只要證，即證，只要證，即證考慮證不等式（x0），由此入手能導出（3）由bn=，知Tn=在中，令n=1，2，3，2008，并將各式相加，能得到T20091ln2009T2008解答：解：（1）設=x的不動點為0和2即即且c0（2）c=2b=2f（x）=，由已知可得2Sn=anan2，且an1當n2時，2Sn1=an1an12，得（an+

38、an1）（anan1+1）=0，an=an1或an=an1=1，當n=1時，2a1=a1a12a1=1，若an=an1，則a2=1與an1矛盾anan1=1，an=n要證待證不等式，只要證，即證，只要證，即證考慮證不等式（x0）*令g（x）=xln（1+x），h（x）=ln（x+1）（x0）g'（x）=，h'（x）=，x0，g'（x）0，h'（x）0，g（x）、h（x）在（0，+）上都是增函數，g（x）g（0）=0，h（x）h（0）=0，x0時，令x=則*式成立，（3）由（）知bn=，則Tn=1+在中，令n=1，2，3，2008，并將各式相加，得1+即T2009

39、1ln2009T2008點評：本題考查不等式的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用10（2014通州區二模）已知f（x）=，數列an為首項是1，以f（1）為公比的等比數列；數列bn中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求數列an和bn的通項公式（2）令，cn的前n項和為Tn，證明：對nN+有1Tn4考點：數列與不等式的綜合；等比數列的通項公式；數列的求和；數列遞推式菁優網版權所有專題：綜合題；壓軸題分析：（1）由f（x）=，知f（1）=，由b1=，且bn+1=f（bn），得，由此能求出數列an和bn的通項公式（2）由=n，知，再由錯位相減法能夠求出結果解答：解：（1）f

40、（x）=，f（1）=，an為首項是1，以f（1）為公比的等比數列，b1=，且bn+1=f（bn），bn+1=f（bn）=，兩邊同時取倒數，得=1+，為等差數列，故（2）=n，兩式相減整理，得，0，4，=，Tn單調遞增，Tnmin=T1=1，所以1Tn4點評：本試題主要考查等比數列和等差數列的通項公式的求解以及數列求和的綜合運用解決該試題的關鍵是整體構造等差數列法，以及錯位相減法的準確運用11（2014江西模擬）無窮數列an的前n項和Sn=npan（nN*），并且a1a2（1）求p的值；（2）求an的通項公式；（3）作函數f（x）=a2x+a3x2+an+1xn，如果S10=45，證明：考點：數

41、列與不等式的綜合；數列遞推式菁優網版權所有專題：計算題；證明題；壓軸題分析：（1）由題設知p=1，或a1=0a1+a2=S2=2pa2a1=a2，矛盾故不可能是：a10，且p=1由a1=0，得a20再由a1+a2=S2=2pa2，能夠得到（2），（n1）an+1=nan由此能夠導出對一切nN*有：an=（n1）a2（3）f（x）=x+2x2+nxn再用錯位相減法進行求解解答：解：（1）a1=S1=pa1a10，且p=1，或a1=0若是a10，且p=1，則由a1+a2=S2=2pa2a1=a2，矛盾故不可能是：a10，且p=1由a1=0，得a20又a1+a2=S2=2pa2，（2），（n1）an

42、+1=nan當k2時，n3時有=對一切nN*有：an=（n1）a2（3），a2=1 an=n1（nN*）故f（x）=x+2x2+nxn又+12=故點評：本題考查數列和不等式的合理應用，解題時要認真審題，注意觀察能力的培養12（2014文登市二模）各項均為正數的數列an，其前n項和為Sn，滿足=1（nN*），且S5+2=a6（）求數列an的通項公式；（）證明：7（an1）23n+1（nN*）；（）若nN*，令bn=an2，設數列bn的前n項和為Tn（nN*），試比較與的大小考點：數列與不等式的綜合菁優網版權所有專題：證明題；壓軸題；點列、遞歸數列與數學歸納法分析：（）把已知的數列遞推式變形，整理

43、后得到數列an是公比為2的等比數列再由列式求得首項，代入等比數列的通項公式得答案；（）把an1的表達式代入7（an1）23n+1，然后由數學歸納法證明該不等式；（）把an代入bn=an2，由等比數列的求和公式求得數列bn的前n項和Tn，然后利用作差法比較與的大小解答：（）解：由得，即（an+1+an）（an+12an）=0，又an0，2anan+1=0，2an=an+1，則數列an是公比為2的等比數列由，得，解得a1=2故數列an的通項公式為；（）證明：要證7（an1）23n+1，即證74n13n+1當n=1時，740=73×1+1=4，不等式顯然成立；假設當n=k時，不等式74k1

44、3k+1成立，那么，當n=k+1時，7×4k=4×7×4k14（3k+1）=12k+43k+4=3（k+1）+1綜所述，對任意的nN*，均有74k13n+1，成立（）解：，即數列bn是首項為4，公比是4的等比數列，又，=對任意的nN*均有點評：本題是數列與不等式的綜合題，考查了等比關系的確定，訓練了利用數學歸納法證明不等式，考查了等比數列的前n項和，訓練了作差法比較兩個數的大小，是難題13（2014合肥一模）已知函數fn（x）=x+，（x0，n1，nZ），以點（n，fn（n）為切點作函數y=fn（x）圖象的切線ln，記函數y=fn（x）圖象與三條直線x=n，x=n

45、+1，ln所圍成的區域面積為an（）求an；（）求證：an；（）設Sn為數列an的前n項和，求證：Sn考點：數列與不等式的綜合；定積分菁優網版權所有專題：綜合題；壓軸題；點列、遞歸數列與數學歸納法分析：（）求出原函數的導函數，求出切點坐標，由直線方程的點斜式求得切線方程，由定積分求得函數y=fn（x）圖象與三條直線x=n，x=n+1，ln所圍成的區域面積為an；（）要證明an，即證明，可設想構造函數h（x）=ln（1+x） （x0），由其導函數確定原函數的單調性，進一步得到ln（1+x）成立，取x=，然后不等式兩邊同時乘以n，則可證得an；（）法一、由（）中不等式進一步放縮得到an，把數列an

46、求和后正負項相消可證明不等式；法二、把數列an的前n項和的前兩項作和，然后由放大n3的項，可證明n3時Sn，單獨驗證S1，S2后可得答案解答：（）解：由fn（x）=x+，得，切點為（n，n+1），則切線ln方程為，即，=；（）證明：構造函數h（x）=ln（1+x） （x0），則h（x）=即函數h（x）=ln（1+x） （x0）單調遞減，而h（0）=0，h（x）0，等號在x=0時取得，當x0時，ln（1+x）成立，知an=；（）證明：法一、an，當n=1時，Sn=a1=；當n2時，=方法二、由（）知an，Sn=a1+a2+a3+an=，（n3，nN*）=又，綜上所述：對一切nN*，都有Sn點評：

47、本題考查了數列與不等式的綜合，考查了定積分，訓練了裂項相消法求數列的和，考查了放縮法求證不等式，對于（）的證明，構造函數h（x）=ln（1+x） （x0）是難點，證明（）的關鍵是對每一項的放縮，是難度較大的題目14（2013上海）給定常數c0，定義函數f（x）=2|x+c+4|x+c|數列a1，a2，a3，滿足an+1=f（an），nN*（1）若a1=c2，求a2及a3；（2）求證：對任意nN*，an+1anc；（3）是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由考點：數列的函數特性；等差關系的確定；數列與函數的綜合菁優網版權所有專題：壓軸題；等

48、差數列與等比數列分析：（1）對于分別取n=1，2，an+1=f（an），nN*去掉絕對值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三種情況討論即可證明；（3）由（2）及c0，得an+1an，即an為無窮遞增數列分以下三種情況討論：當a1c4時，當c4a1c時，當a1c時即可得出a1的取值范圍解答：解：（1）a2=f（a1）=f（c2）=2|c2+c+4|c2+c|=42=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|2+c|=2（6+c）（c+2）=10+c（2）由已知可得f（x）=當anc時，an+1an=c+8c；當c4anc時，an+1an=2an+3c+82（c4）+3c+8=c；

49、當anc4時，an+1an=2anc82（c4）c8=c對任意nN*，an+1anc；（3）假設存在a1，使得a1，a2，an，成等差數列由（2）及c0，得an+1an，即an為無窮遞增數列又an為等差數列，所以存在正數M，當nM時，anc，從而an+1=f（an）=an+c+8，由于an為等差數列，因此公差d=c+8當a1c4時，則a2=f（a1）=a1c8，又a2=a1+d=a1+c+8，故a1c8=a1+c+8，即a1=c8，從而a2=0，當n2時，由于an為遞增數列，故ana2=0c，an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故當a1=c8時，an為無窮等差數列，符合要求；若c4a1c，則a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=c，應舍去；若a1c，則由ana1得到an+1=f（an）=an+c+8，從而an為無窮等差數列，符合要求綜上可知：a1的取值范圍為c8c，+）點評：本題綜合考查了分類討論的思方法、如何絕對值符號、遞增數列、等差數列等基礎知識與方法，考查了推理能力和