1、2015工程入學代數與空間幾何、二元函數微分與Jackliu內容目標的運算(數量積、積),了解兩個掌握垂直、平行的條件；掌握平面方程和直線方程及其求法；掌握多元函數一階、導數的求法；的計算方法(直角坐標)；掌握二重掌握計算兩類平面曲線的方法；與路徑無關的條件.掌握公式并會運用平面曲線代數與空間幾何概念基礎2015交大數學利用坐標作的線性運算設ar = ( a, b , b ) , 為實數，則, a , a ), b = (bxyzxyzar ± r = (a± b , a ± b± b )b, axxyyzz ar= ( a , a, a )xyz對應坐

2、標成比例:平行當ar ¹ r 時,0rrbybxbzrrb / / a Û b = a Û= =axayaz2015交大數學數量積積2015交大數學兩的數量積F作用下, 沿與力夾角為的直線移動,設一物體在位移為rurs,則力F所做的功為urrcosa, b的夾角為，稱W =Fsr rM1sM 2定義: 設r rvvcos = a × bab為rra 與b的數量積(點積)W = F × s性質:r rr2(1) a × a = ar rr rrr，則有a × b = 0 Û a b(2)a, b為兩個非零2015交大

3、數學數量積的坐標表示設a = ax i + ayj + az k , b = bx i + byj + bz k ，則r ra × b = axbx + aybya, b為非零+ azbz當r rrrrrb cos , 得時,由于a × b = a ×rra b + a b+ a ba × bcos =xxyyzz=rra ×ax +a +bx+ b+ bb222z222ayyz2015交大數學積定義設 a , b的夾角為 ，定義rr rrìr ï方向：c a , c b且符合右手規則;c írrrab sin&#

4、239;î模：c = a ×稱rrrbc為a 與b 的積(叉積),記作:rrrc = a ´ bbac = a ´ b2015交大數學積性質與運算性質：rrr(1) a ´ a = 0(2)a, b為非零運算律r ´ r = r Û rr，ab0a與b平行rrrra ´ b = -b ´ a坐標表示式：rrrrra ´ b = (aybz - azby ) i + (azbx- axbz )j + (axby- aybx ) krrrijkabaaabæaaöyzxy= a=

5、, -xzaba,ç÷xyzbbbbèø2015交大數學yzxyxzbbxyz平面及其方程2015交大數學平面的點法式方程設一平面通過已知點M 0 (x0 , y0 , z0 )且垂直于非零向rn = ( A , B , C), 求該平面P的方程.任取點M (x, y, z) ÎP ,則有M 0M n Þ M 0M × n = 0M 0 M = (x - x0 , y - y0 , z - z0 )A(x - x0 ) + B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0稱式為平面P的點法式方程,znMPM0urur

6、 roxyur稱 n 為平面 P的法.2015交大數學截距式方程2015交大數學解: 取該平面Õ的法為n = M1M 2 ´ M1M3nrrrij43k= -3-6 = (14, 9, -1)M1ÕM 3-2-1M 2又M1 Î P ,利用點法式得平面Õ的方程14(x - 2) + 9( y +1) - (z - 4) = 0即14x + 9 y - z -15 = 02015交大數學空間直線及其方程2015交大數學直線方程一般方程直線可視為兩平面交線，因此其一般式方程ìï A1 x + B1 y + C1 z + D1 =

7、 0í A x + B y + C z + D = 0ïî2222對稱式方程已知直線上一點M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向rurrs = (m , n , p),設直線上的動點為M (x, y, z)則M 0M / / s故有 x - x0= y - y0= z - z0mnp此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點方程)2015交大數學解:取已知平面的法為所求直線的方向r = (2, - 3, 1)nn則直線的對稱式方程為x -1 = y + 2 = z - 4-3212015交大數學解題技能2015交大數學求兩平面 x - 4z = 3和2x - y

8、 - 5z = 1的交線平行且過點(-3, 2, 5)的直線方程.解：所求直線的方向可取為i12j0-1k-4-5s = ururn1 ´ n2 = (-4 , - 3, -1)利用點可得方程x + 3 =y - 2 = z - 54312015交大數學一平面通過兩點M1 ( 1, 1, 1 )和M 2 ( 0, 1, -1 ) , 且垂直于平面Õ : x + y + z = 0, 求其方程.2015交大數學ì2x - z = 0設一平面平行于已知直線íx + y - z + 5 = 0 且垂直于î已知平面7x - y + 4z - 3 = 0

9、, 求該平面的法.n1 = (7 , -1, 4)解：已知平面的法求出已知直線的方向取所求平面的法r = (1 , 1 , 2)si17j1-1k24rrurn = s ´ n1 = 2(3, 5, - 4)2015交大數學多元函數微分學概念基礎2015交大數學多元函數的定義2015交大數學多元函數的極限定義: 設n元函數（f P）, P Î D Ì Rn , P 是D 的聚點,0正數 , 對一常數A, 對任意正數 ,總若o切P Î D IU (P0 , ) , 都有f (P) - A < ,則稱A為函數f (P)當P ® P0 時的極限

10、，記作lim f (P) = A(也稱為n重極限)P®P0當n = 2時, 記=(x - x )2+ ( y - y )2PP000二元函數的極限可寫作lim f (x, y) = A = lim f (x, y) = A ®0x® x0 y® y02015交大數學若當點P(x, y)以不同方式趨于P0 (x0 , y0 ) 時,函數趨于不同值或有的極限不.，則可以斷定函數極限不xy在點(0,0)的極限.討論函數f (x, y) =+ y2x2解: 設P(x, y)沿直線y = kx趨于點(0,0), 則有k x2klim f (x, y) = lim+

11、 k x= 1+ kx2222x®0 y=kxx®0k值不同極限不同故 f (x, y) 在(0, 0)點極限不.2015交大數學多元函數的連續性定義:設二元函數 f (P) 定義在D上, 聚點P0 Î D ,lim f (P) =f (P0 )如果P®P0則稱二元函數 f (P) 在點P0連續，否則稱為不連續,此時P0稱為間斷點如果函數在D上各點處都連續,則稱此函數在D上連續ìx y+ y2 ¹ 0x2,ïx + y2例如函數 f (x, y) =2íïî+ y2 = 0x20,在點(0, 0

12、)極限不,故(0, 0)為其間斷點;2015交大數學偏導數定義及其計算法定義：設函數 z = f (x, y)在點(x0 , y0 )某領域內f (x0 + Dx, y0 ) - f (x0 , y0 )Dx的極限limDx®0則稱此極限為函數z = f (x, y) 在點(x0 , y0 ) 對x的偏導數，記為¶ z¶ f;¶ x¶ x(x0 , y0 )(x0 , y0 ); fx (x0 , y0 ) ; f1¢(x0 , y0 ) .zx( x , y )002015交大數學同樣可定義對y 的偏導數f (x0 , y0 + D

13、y) - f (x0 , y0 )Dyf (x , y ) = limy00D y®0d=f (x , y)y = y00d y若函數z =偏導數f ( x , y)在域D 內每一點( x , y)處對x或y,則該偏導數稱為偏導函數也簡稱為偏導數, 記為¶ z ,¶ ff ¢(x, y); ¶ z ,¶ f,f ¢(x, y);,12¶ x¶ x¶ y¶ y2015交大數學, 但在該點不一定連續函數在某點各偏導數都ìx y+ y2¹ 0x2,ïx + y2

14、例如z =f (x, y) =2íïî+ y2= 0x20,d顯然f ( 0, 0 ) = 0f ( x, 0 )xx = 0d xdf ( 0, 0 ) = 0f ( 0, y )yy = 0d y但 f (x, y)在點(0, 0)并不連續2015交大數學求 z = x2 + 3xy + y2在點(1, 2) 處的偏導數解: ¶ z = 2x + 3y , ¶ z = 3x + 2 y¶ x¶ y¶ z= 2 ×1+ 3× 2 = 8¶ x (1, 2)¶ z= 3

15、15;1+ 2 × 2 = 7¶ y(1, 2)2015交大數學導數連續的偏導數設 z =f (x, y)在域 D 內¶ z =¶ z =f(x, y);f(x, y);¶ xx¶ yy偏導數，則稱它們是z =f (x, y)導數若這兩個偏導數仍導數.按求導順序不同, 有下列四個的¶¶ z= ¶2 z¶¶ z¶2 z=fy (x, y)¶2¶¶ z¶2 z¶¶ z¶2 z¶ x ( ¶

16、y ) = ¶ y ¶ x =¶ y ( ¶ y ) = ¶ y2=f y x (x, y);f y y (x, y)2015交大數學求函數 z = ex+2 y 的導數解：¶ z = ex+2 y ; ¶ z = 2 ex+2 y ;¶ x¶ y¶2 z =¶ 2 zx+2 yx+2 y= 2 ee;¶ x2¶ 2 z¶ x¶ y¶2 zx+2 yx+2 y= 2 e= 4 e;¶ y¶ x¶ y2201

17、5交大數學全微分的定義定義: 如果函數z =f (x, y)在定義域D 的內點(x, y)處全增量DZ =f (Dx + x, Dy + y) - f (x, y)可表示成D z = ADx + BDy + o( ) , =(Dx)2 + (Dy)2其中A, B不依賴于Dx, Dy, 僅與x, y有關，則稱函數 f (x, y)在點(x, y)可微，A D x + B D y稱為函數f (x, y)在點(x, y)的全微分, 記作d z = df= ADx + BDy2015交大數學可微與偏導數的關系定理: 若函數z =f (x, y)在點(x, y)可微,則該函數在該點偏導數¶ z

18、 , ¶ z 必,且有¶ x¶ ydz = ¶ z Dx + ¶ z Dy¶ x¶ y習慣上D x , D y 分別記作 dx, dy2015交大數學計算函數u = x + sin y + ey z的全微分.2cos1y + zeyz )dy + yeyzdz解：du = 1× dx +(222015交大數學多元復合函數求導的鏈式法則定理:若函數u = (t) , v = (t) 在點t 可導, z = f (u, v)f ( (t), (t)在點(u, v)處偏導連續,則復合函數z =在點t可導,且有鏈式法則d

19、z = ¶ z × du + ¶ z × dv¶udt¶vdtdt中間變量是多元函數的情形.u = (x, y),v = (x, y)z = f (u, v) ,¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z × ¶v =f ¢¢ + f ¢ ¢1121¶ x¶u¶ x¶v¶ x¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z ×

20、¶v =f ¢¢ + f ¢ ¢1222¶ y¶u¶ y¶v¶ y2015交大數學設z = eu sin v , u = xy , v = x + y , 求 ¶z , ¶ z .¶ x¶ y解:¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z × ¶v = eusin v × y + eu cos v ×1¶ x¶u¶ x¶v

21、2; x= ex y y ×sin(x + y) + cos(x + y)¶ z = ¶ z × ¶u + ¶ z × ¶v = eusin v × x + eucos v ×1¶ y¶u¶ y¶v¶ y= ex yx ×sin(x + y) + cos(x + y)2015交大數學隱函數求偏導數¶2 z設 x + y+ z- 4z = 0 , 求222.¶ x2解:利用隱函數求導2x + 2z ¶ z -

22、¶ z =Þ ¶ z =x¶2- z¶ z¶ 2 z¶ 2 z2 + 2() + 2z- 4= 02¶21+ ( ¶ z )2¶2 z = (2 - z)2 + x2¶ x¶ x22 - z(2 - z)32015交大數學解題技能2015交大數學¹ 1）, 求證 x ¶ z +¶ z = 2z1設 z =y ¶ xln x ¶ y2015交大數學解:¶ z = yex y , ¶ z = xex y

23、2; x¶ z¶ y¶ z= e2 ,= 2 e2¶ x¶ y(2,1)(2,1)(2,1) = e dx + 2e dy = e (dx + 2dy)222dz2015交大數學2222¶u u = f (x, y, z) = ex + y +z , z = x sin y, 求¶ x解:¶u = ¶ f+ ¶ f× ¶ z¶ x¶ x¶ z¶ x222= 2 xex + y+ z222+2zex + y+ z× 2 x si

24、n y2242y) ex + y+ xsiny= 2 x (1+ 2 x2 sin22015交大數學解:設u = x + y + z , v = x y z ,則w = f (u, v)¶w = f ¢×1+ f ¢× y z = f ¢ + yzf ¢1212¶ x¶2 w¢ ×¢ ×¢ +¢ ×¢ ×=1+x y+ y f2y z f211+f11f12f22x y ¶ x ¶ z= f &#

25、162; + y(x + z) f ¢ + x y2 z f ¢ + y f ¢11122222015交大數學多元函數學概念基礎2015交大數學二元函數解決的問題2015交大數學二重的定義定義: 設 f (x, y)是定義在有界區域 D上的有界函數, 將區域D任意分成n個小區域Dk(k = 1 , 2 , L, n), 任取一點(k , k ) Î Dk , 若一個常數 I , 使n記作I = lim å f (k , k )Dk=òòDf (x, y) d ®0k =1則稱 f (x, y)可積, 稱I 為 f

26、(x, y)在D上的二重.如果f (x, y)在D上可積,可用平行坐標軸的直線來劃分區域D,這時Dk= Dxk Dyk ,因此面積元素d 也常記作d xdy,二重記作òòD f (x, y)d xd y.體體積:V = òòD f (x, y)d =òDf (x, y)dxdy2015交大數學體體積的計算設的底為(x) £ y £ ìíî(x)üýþD =12(x, y)a £ x £ b任取x0 Îa , b, 平面x = x0截柱體

27、的 2 ( x0 )ò截面積為A(x ) =f (x , y) d y00( x )10故體體積為 ( x)bbV = òòòòòf (x, y)d =A(x)dx =2f (x,y) d ydx1 ( x)Daa2015交大數學同樣,的底為D = (x, y) 1 ( y) £ x £ 2 ( y),c £ y £ d則其體積可按如下兩次計算òDf (x, y)dV =d( y )òòò=2f (x, y) d xdy1 ( y )cd( y )

28、2;=2dyf (x, y) d x1 ( y )c2015交大數學計算I = òD xyd , D是直線 y = 1, x = 2, y = x所圍的閉區域ì1 £ y £ x解法1.將D看作X -型區域,則D : íî1 £ x £ 2xéù12x2òòòI =xyd y =2d xxyd xêë 2úû11111 x32- 1 x d x = 92ò=2812015交大數學ì y £ x &

29、#163; 2解法2.將D看作Y -型區域,則D : í1 £ y £ 2î12222òòò2I =x yd x =2d yx yd yy1y1éêëùúû12982ò=2 y -=3yd y12015交大數學曲線2015交大數學對弧長的曲線的定義2015交大數學對弧長的曲線的計算法¾ 轉¾化¾® 計算定基本思路: 求曲線定理: 設f ( x, y)定義在光滑曲線弧L : x = (t ), y = (t )( &#

30、163; t £ )òL上的連續函數, 則曲線f ( x, y) d s, 且òf ( x, y) d s = òf (t ) , (t ) ¢2 (t ) + ¢2 (t ) d tL如果曲線L的方程為y = ( x) (a £ x £ b ), 則有bòLòf ( x, y) d s =f () d xa2015交大數學Q L : y = x21( 0 £ x £ 1)解:òòxd s =x ×1+ (2x)2d xL10ò=1+

31、4x2 d xx03 ù 1é1= ê(1+ 4x2 )2 úë 12û 01=( 55 -1)122015交大數學對坐標的曲線定義2015交大數學對坐標的曲線的計算法2015交大數學計算ò x ydx , 其中L為沿拋物線 y2 = x從點A(1, -1)L到B(1, 1)的一段解法1: 取 x為參數,則L : AO + OBAO : y = -x, x :1 ® 0OB : y =x , x : 0 ® 1òL x yd x =òAO xyd x + òOB x yd x

32、04513òò=x(-d x = 2d x =x )dx210解法2 : 取y為參數,則L : x = y2, y : -1 ® 1y4d y = 4511òòò¢x yd x =y y( y ) d y = 222-1-1L2015交大數學公式域D邊界L的正向:沿域邊界前進時，域的內部靠左定理.設區域D是由分段光滑正向曲線L圍成,函數P(x, y), Q(x, y) 在D上具有連續一階偏導數,則有æ ¶Q - ¶P öd xd y =òòç ¶

33、 x òPd x + Qd y(公式)¶ y ÷èøDL2015交大數學2015交大數學平面上曲線與路徑無關定理:設D是單連通域,函數P(x, y), Q(x, y)在D內具有一階連續偏導數,如果在D內每一點都有:¶P = ¶Q 則有¶ y¶ x(1)沿D中任意光滑閉曲線L, 有 òL Pd x + Qd y = 0.òL Pd x + Qd y(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線與路徑無關,只與起止點有關. 說明:1) 計算曲線2) 求曲線時,可選擇方便的路徑;時,可利用公式簡化計算

34、, 若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;2015交大數學解題技能2015交大數學計算 òD xyd , 其中D是拋物線 y2= x及直線 y = x - 2所圍成的閉區域解: 為計算簡便, 先對x后對y,ì y2£ x £ y + 2則D : íî-1 £ y £ 2y+22òòòxyd =d yxydx2-1Dyd y = 1y+2y22 é2 y( y + 2)2òòx2 y ù=- y5 d y12ëû2-11y4= 1 + 4 y3 + 2 y2 - 1 y6= 452-1243682015交大數學交換下列順序x22028- x222I = ò