1、第3部分 二維隨機變量基礎練習一 填空1設二維隨機變量相互獨立，且， 則 。答案：；2若二維隨機變量相互獨立， 且都服從正態分布，則服從_。答案：二維正態分布；3若二維隨機變量的聯合分布密度為，則的邊緣分布密度為_。答案：；4. 是連續型隨機變量X,Y相互獨立的_條件.答案：充要；5. 已知隨機變量的聯合分布函數用它表示概率=_.答案：6. 設二維隨機變量在由曲線和所圍成的區域上服從均勻分布，則的聯合概率密度_.答案：7. 若為隨機變量的聯合概率密度,則常數=_.答案：8. 若的聯合概率密度為則有=_.答案：9. 設互相獨立，并服從區間上的均勻分布，且，則的聯合概率密度為=_.答案：10. 設

2、隨機變量的聯合概率密度函數為：則落在區域內的概率=_.答案：二 計算題1. 假設某校學生的數學能力測試成績與音樂能力測試成績具有如下形式的概率密度函數:試求：與，并判斷與是否相互獨立？答案：解:故，與不獨立.2. 設隨機變量與獨立，且均在區間上服從均勻分布，求：的值.答案：由題意，且與獨立，故3. 設某昆蟲的產卵數服從參數為50的泊松分布，又設一個蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8，且各卵的孵化是相互獨立的，求此昆蟲的產卵數與孵化為成蟲數的聯合分布律.答案：解：本題已知隨機變量的分布律為,由題意知，該昆蟲下一代只數在的條件下服從參數為0.8的二項分布，故有，由，得的聯合分布律為：，.4.設二維隨機變

3、量的概率密度為,（1）確定常數的值;（2）是否相互獨立?為什么?答案：解：（1）,即=.（2）,即.同理，,即.顯然有從而與不獨立.5. 已知相互獨立，的分布律為：，試求：(1)的值；(2)的邊緣分布.答案：(1)；（2）,，,6. 設袋中有3個球，其標號為1，2，2，今從中不放回地任取2個球，記為第1，2次抽得球的標號，試求：(1) 的聯合概率分布律；(2) 的邊緣分布律.答案：(1)0，1/3，1/3，1/3；(2)1/3，2/3；1/3，2/3.7. 設的聯合密度為(1) 求參數的值；(2) 求與的邊緣密度函數.答案：解：（1）由，可得.(2)8. 已知隨機向量的聯合概率分布為YX101

4、10.300.310.10.20.1（1）求的邊緣分布；（2）判斷與是否獨立.答案：解：（1）綜合有下表YX10110.300.30.610.10.20.10.40.40.20.4（2），不獨立。9. 已知，令：試求的聯合分布律.答案：由,知即，故與是互相獨立的.的聯合分布律為：1210. 設隨機變量的聯合分布函數為:(常數均為正數)，求其聯合概率密度.答案：三 證明題1. 設隨機變量服從標準正態分布，即，且，證明：Y的密度函數為答案：的密度函數為：，則當時，當時，=所以，2. 若，且,驗證：函數是某個隨機變量的聯合概率密度.答案：由及的定義知: =其中,令.3. 設隨機變量是單點分布,(是常

5、數)，而是任意隨機變量，證明隨機變量與必相互獨立.答案：(1)當時,故，；(3) 當時,有綜合(1)(2),對任意均有， 所以，與相互獨立。4. 設某種商品一周的需求量是一隨機變量，密度函數為:設各周的需求量相互獨立，求證：兩周需求量的密度函數為：。答案：設為第周需求量，則兩周的需求量的密度函數為：即， 。自測題一、 填空題1. 若隨機變量與相互獨立，且X服從正態分布Y服從正態分布，則服從_分布答案：；2. 設與的聯合分布密度，則=_.答案：；3. 若與的聯合概率密度為則有=_.答案：；4. 設，且與服從B上均勻分布，則=_.答案：；5. 若為隨機變量與的聯合概率密度,則常數=_.答案：二、

6、計算題1. 二維隨機變量的概率密度為，求：的邊緣概率密度，并判斷和的獨立性。答案：解：（1）類似的，2. 袋中有大小、重量等完全相同的四個球，分別標有數學1，2，2，3，現從袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分別以X、Y記第一次和第二次取得球上標有的數字。求：（1）（X，Y）的聯合概率分布；（2）X，Y的邊緣分布；（3）判斷X與Y是否獨立。答案：YX12310230X123P0.250.50.25Y123P0.250.50.253. 已知服從參數的分布，在及下關于的條件分布分別為：1231/41/21/41231/21/61/3寫出與的聯合分布律。答案：x01h=10.10.3h=20.20.1h=30.10.2 4. 某商品一周銷售是一隨機變量其密度為：且各周銷售量相互獨立，求兩周的平均銷售量不少于100的概率。答案：設為第周需求量5. 三個互相獨立的元件串聯成一個系統，若三個元件的使用壽命，都服從同一指數分布，即其概率密度為：試求該系統的壽命的分布函數和概率密度。答案：的分布函數為：令2分7分的概率密度為。 三、 證明題1. 已知，令：，試證的聯合分布律為：h=0h=111/91/1825/9