1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)量關系常用公式總結(jié)：（可可整理）1.行程問題基礎公式：路程=速度*時間一、相遇追及型追及問題：追及距離=（大速度-小速度）×追及時間相遇問題：相遇距離=（大速度+小速度）×相遇時間背離問題：背離距離=（大速度+小速度）×背離時間二、環(huán)形運動型反向運動：第N次相遇路程和為N個周長，環(huán)形周長=（大速度+小速度）×相遇時間同向運動：第N次相遇路程差為N個周長，環(huán)形周長=（大速度-小速度）×相遇時間三、流水行船型順流路程=（船速+水速）×順流時間逆流路程=（船速-水速）×逆流時間靜水速度=（順水速度+逆水

2、速度）÷2水流速度=（順水速度-逆水速度）÷2四、扶梯上下型扶梯總長=人走的階數(shù)×1±（V梯÷V人），順行用加法，逆行用減法解析:設扶梯為s級，速度為v，根據(jù)公式帶入S=30×1×(1+v÷1) 解得 v=1S=20×2×(1+v÷2) s=60，所以選擇B。五、隊伍行進型隊頭隊尾：隊伍長度=（人速+隊伍速度）×時間隊尾隊頭：隊伍長度=（人速-隊伍速度）×時間解析：假設通訊員和隊伍的速度分別為v和u，所求時間為t,則： 600=（v-u）×3 解得 v=2

3、50 600=v×(2+24÷60） u=50 600=（v+u）×t t=2,所以選擇D六、往返相遇型左右點出發(fā)：第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1） 第N次追上相遇，路程差=全程×（2N-1）同一點出發(fā)：第N次迎面相遇，路程和=全程×2N 第N次追上相遇，路程差=全程×2N解析：a汽車第二次從甲地出發(fā)后與b汽車相遇，實際上是兩輛車第3次迎面相遇，根據(jù)公式，路程和為5個全程，即5×210=1050（公里），使用的時間為1050÷（90+120）=5（小時），所以b汽車共行駛了120×5=

4、600（公里），選擇B七、典型行程模型等距離平均速度=（2速度1×速度2）÷（速度1+速度2）（調(diào)和平均數(shù)公式）（速度1和速度2分別代表往返的速度） 解析：代入公式v=2×60×120÷（60+120）=80等發(fā)車前后過車：發(fā)車間隔T=(2t1×t2) ÷(t1+t2);V車/V人=(t2+t1) ÷( t2-t1)例：某人沿電車線路勻速行走，每分鐘有一輛電車從后面追上，每4分鐘有一輛電車迎面開來，假設兩個起點站的發(fā)車間隔相同，則這個發(fā)車間隔為多少？解析：依據(jù)公式，發(fā)車間隔T=(2t1×t2) ÷

5、;(t1+t2)=2×12×4÷（12+4）=6（分鐘）。推導原型：設每隔t1分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車，每隔t2分鐘就有輛公共汽車從后面 超過該人，有方程組：S=（V車+V人）×t1 V車=(S/t1 +S/t2) ÷2S=（V車-V人）×t2 V人=(S/t1 -S/t2) ÷2 T=S/V車=2t1t2/(t1+t2) N=V車/V人=（t2+t1）/（t2-t1）（S表示發(fā)車間距，T為發(fā)車間隔時間，V車為車速，V人為人速，N為車速與人速的比）不間歇多次相遇：單岸型：S=（3S1+S2）/2（S表示兩岸的距離）推

6、導原型：設第一次相遇地點距離A地S1，第二次相遇地點距離A地S2，則 V甲/V乙=S1/(S-S1)=(2S-S2)/（S+S2）S=（3S1+S2）/2（注：單岸指的是S1、S2都是距離同一出發(fā)地的距離）解析：假設AB兩地相距S,第一次相遇時，甲、乙各走了80 、(S-80),根據(jù)時間相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=80/(S-80),第二次相遇時，甲、乙各走了(2S-60)、(S+60),同理可得，V甲/V乙=(2S-60) /(S+60)，綜上80/(S-80)= (2S-60)/(S+60)，解得S=150。選擇B注：直接代入單岸型公式S=（3×80+60）/2=15

7、0。兩岸型：S=3S1-S2推導原型：設第一次相遇地點距離A地S1，第二次相遇地點距離B地S2，則 V甲/V乙=S1/(S-S1)=(S+S2)/（2S-S2）S=3S1-S2解析：假設AB兩地相距S,第一次相遇時，甲、乙各走了6 、(S-6),根據(jù)時間相同，速度和路程成正比可得，V甲/V乙=6/(S-6),第二次相遇時，甲、乙各走了(S+3)、(2S-3),同理可得，V甲/V乙=(S+3) /(2S-3)，綜上6/(S-6)= (S+3)/(2S-3)，解得S=15。選擇D注：直接代入兩岸型公式S=3×6-3=15。無動力順水漂流：漂流所需時間=2 T逆T順÷（T逆-T順

8、）（其中T逆T順分別代表船逆流和順流所需的時間）解析：根據(jù)公式：漂流所需時間=2 T逆T順÷（T逆-T順）=2×7×5÷（7-5）=35（天），選擇B2.排列組合問題 排列：與順序有關，用A組合：與順序無關，用C排列公式：Anm=n/(n-m)=n×(n-1) ×(n-2) ××(n-m+1)(簡單記憶就是從n開始，連續(xù)乘以m個數(shù))組合公式：Cnm= n/(n-m)m= n×(n-1) ×(n-2) ××(n-m+1)/m×(m-1) ×(m-2) 

9、15;(m-3) × ×1一、 相鄰問題-捆綁法6人排成一隊，ab要排在一起： A22*A55（先排ab，再捆在一起與剩下的4人一起排隊）二、 不相鄰-插空法6人排隊，ab不排在一起：A44*A52（先排 除了ab之外的4人，4人排好后有5個空位，再選擇其中2個排ab兩人）三、 圍成一圈6人圍成一圈：A55（選定6人中其中一人標定位置，其余5人按順序排隊）四、 幾對夫妻排隊4對夫妻排隊：A88（相當于8人排隊）五、 夫妻要排一起4對夫妻排隊，并且夫妻要排在一起：（A22*A22*A22*A22）*A44(先把每對夫妻排好，再將每隊夫妻捆綁在一起排隊)六、 夫妻坐在一起圓桌吃

10、飯4對夫妻坐在圓桌上吃飯，并且每隊夫妻要坐在一起：（A22*A22*A22*A22）*A33）七、 錯位排列型N個封信和N個信封，每一封信都不裝在自己的信封里，可能的種數(shù)為Dn，則D1=0，D2=1，D3=2,D4=9,D5=44。八、 分配插板將8個蘋果，分給3個小朋友，每人至少一個，共有多少種分法？答：C72。（8個蘋果排成一排，除兩頭外共有7個空檔，選擇2個空檔插入）將8個蘋果，分給3個小朋友，每人至少2個，共有多少種分法？答：C42。（8個蘋果先給每個小朋友分1個，剩下5個蘋果排隊，除去兩頭外共有4個空檔，選擇2個空檔插入）3.牛吃草問題核心公式：y=(N-x)*T y代表草量，N代表

11、牛的數(shù)量,x代表草長的速度，T代表吃完草需要的時間表格法解牛吃草問題例：一片草地（草勻速生長），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，則這片草可供190只羊吃多少天？190 50 12 N3 N3-x T3 200 60 10 2000 N1 N1-x T1 N1*T1240 100 6 1440 N2 N2-x T2 N2*T2 140 4 560 x=右兩項之商 T1-T2 N1*T1-N2*T2 y= （N3-x）*T3 =（N1-x）*T1=（N2-x）* T2注：題目中有牛有羊時，可將其全部轉(zhuǎn)換成牛或羊；如果草場面積有區(qū)別，如M頭牛吃W畝草時，N可用M/W帶入，N代表單位面積

12、上的牛數(shù)。4.鐘表問題基本常識：時針每分鐘走0.5°，分鐘每分鐘走6°； 24h內(nèi)，時針和分鐘重合22次，垂直44次； 鐘表上每兩格之間為30° 鐘表問題追及公式：T=To+（1/11）To,其中T為追及時間，To為靜態(tài)時間，及假設時針不動，分針和時針達到條件要求時的虛擬時間。例：時針和分針在7點多少分重合？假設時針不動，分鐘需要走35分鐘才能與時針重合（7點時分鐘和時間間間隔35分鐘的空格），所以To為35分鐘，帶入公式，T=35+35/115.余數(shù)同于問題核心口訣：余同取余，和同加和，差同減差，公倍數(shù)作周期。（1）余同：一個數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1

13、，則取1，表示為60n+1。（60為4,5,6的最小公倍數(shù)，可取60的任意整倍數(shù)）（2）和同：一個數(shù)除以4 余3，除以5余2，除以6余1，則取7， 表示為60n+7。（3）差同：一個數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6 余3，則取3， 表示為60n-3。注：n的取值范圍為整數(shù)，可為負值，也可以取0。6.容斥原理兩集合標準型核心公式：滿足條件I的個數(shù)+滿足條件II的個數(shù)-兩者都滿足的個數(shù)=總個數(shù)-兩者都不滿足的個數(shù)三集合標準型核心公式： ABC=A+B+C-AB-AC-BC+ABC三集合整體重復型核心公式： BW=x+y+z A+B+C= x×1+y×2+z×3 A C

14、其中滿足三個條件的元素數(shù)量分別為A、B、C，而至少滿足三個條件之一的元素總量為W，滿足一個條件的元素數(shù)量為x，滿足兩個條件的元素數(shù)量為y，滿足三個條件的元素數(shù)量為y。例：一個班級共有55個學生，暑假參加特長培訓班，35人參加書法，28人參加美術，31人參加舞蹈，其中以上三種培訓班都參加的有6人，則有多少人只參加一種培訓班？22解答：W=55，z=6，A=35，B=28，C=31，代入公式 55=x+y+6 解得 x=22 35+28+31= x×1+y×2+6×3 y=277.幾何問題模塊周長計算公式：正方形周長=4a；長方形周長=2(a+b)；圓周長=2R；扇形

15、周長=2R×（n/360°）面積計算公式：正方形面積=a²；菱形面積=對角線乘積的一半；長方形面積=ab；圓面積=R²；扇形面積=R²×（n/360°）；三角形面積=1/2ah=1/2absinC；平行四邊形=ah；梯形面積=1/2（a+b）h；正方體表面積=6a²；長方體表面積=2ab+2ac+2bc；球表面積=4R²=D²體積計算公式：正方體體積=a²；長方體體積=ab；球體積=3/4R²；棱柱體積=sh；圓柱體積=sh=R²h；棱錐體積=1/3sh；圓錐體積=

16、1/3sh=1/3R²h勾股定理：a²+b²=c²幾何特性： 等比放縮一個幾何圖形，其尺寸變?yōu)樵瓉淼膍倍，則：1. 所有對應角度不發(fā)生改變2. 所有對應長度變?yōu)樵瓉淼膍倍3. 所有對應面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍4. 所有對應體積變?yōu)樵瓉淼膍³倍 幾何最值1. 平面圖形中，若周長一定，越接近于圓，面積越大。2. 平面圖形中，若面積一定，越接近于圓，周長越小。3. 立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越大。4. 立體圖形中，若體積一定，越接近于球，表面積越小。 三角形三邊關系兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。幾何邊端： 植樹型1.

17、單邊線型植樹公式：棵數(shù)=總長÷間隔 +1；總長=（棵數(shù)-1）×間隔2. 單邊環(huán)形植樹公式：棵數(shù)=總長÷間隔 ；總長=棵數(shù)×間隔3. 單邊樓間植樹公式：棵數(shù)=總長÷間隔 -1；總長=（棵數(shù)+1）×間隔4. 雙邊植樹問題公式： 響應單邊植樹問題所需棵數(shù)的2倍 方陣型（N為每邊人數(shù)）三角形方陣：總?cè)藬?shù)=3N-3 四邊形方陣：總?cè)藬?shù)=4N-4 五邊形方陣：總?cè)藬?shù)=5N-5 六邊形方陣：總?cè)藬?shù)=6N-6M排N列實心方陣：總?cè)藬?shù)=M×N，外圍人數(shù)=2M+2N-4N排N列實心方陣：總?cè)藬?shù)=N×N，外圍人數(shù)=4N-4規(guī)律總結(jié)：1.

18、無論是方陣還是長方陣，相鄰兩圈的人數(shù)都滿足：外圈比內(nèi)圈多8人。 2.在方陣中，總?cè)藬?shù)=N²=（外圈人數(shù)÷4+1）²8.其他一些常用公式： 1. 前n個奇數(shù)之和為n²；2. 等差數(shù)列公式：和=（首項+末項）×項數(shù)÷2=平均數(shù) （中位數(shù)）×項數(shù)；項數(shù)=（末項-首項）÷公差+13. 等比數(shù)列公式：an=a1×qn-1 ；sn=a1×(qn-1/q-1)4. 三位數(shù)的頁碼公式：頁碼=（數(shù)字+111）÷3-1=數(shù)字÷3+36（數(shù)字代表用了多少個數(shù)字，如115，用了2個1和1個 5，共3

19、個數(shù)字）5. 四位數(shù)頁碼公式：頁碼=（數(shù)字+1111）÷4-16. 如果所有的年不是閏年，那么N年之后星期幾相當于N天之后星期幾7. 空瓶換酒型，講M個空瓶換N瓶酒轉(zhuǎn)化為(M-N)個空瓶換N個（無瓶）酒例：超市規(guī)定每3個空汽水瓶可換一瓶汽水，小李有11個空汽水瓶，最多可以換幾瓶汽水？解析：3空瓶=1瓶汽水=1空瓶+1汽水，可得2空瓶=1汽水，11÷2=5.5，所以最多可換5瓶汽水。李委明老師懶人專供部分：1. ABCAC-相對效率問題例：小王和小劉一起手工制作一種工藝品，每個工藝品由甲部件和乙部件組成，小王每天可制作150個甲部件，或者制作75個乙部件，小劉每天可制作60個甲部件，或者制作24個乙部件。現(xiàn)兩人一起制作工藝品，10天時間最多可制造多少件工藝品？A660 B.675 C.700 D.900解析：先列表甲乙小王150 C75 A小劉 60 B24將表中的數(shù)字十字相乘并比較大小即：150×24 60×75=150×30，顯然60×75150×24，將相乘最大的兩個數(shù)，把大數(shù)設為A，小數(shù)設為B，A所在同一行（左邊或右邊）所在的數(shù)設為C，則得公式A(B+C)/(A+C)，代入可得75×210