1、數(shù)理學(xué)期末試題一. 分析下列非線性系統(tǒng)方程組解的性和穩(wěn)定性ìx& = 1 - exíî1、y = 3x - y2&解：當(dāng)x& = y& = 0時(shí)，可得x = 0, y = 0æ- exöæ-10ö0= ç÷= ç0÷JE-1ø-1ø(0,0)è 6xètr (JE ) = -2det(JE ) = 1tr (JE ) - 4 det(J ) = 02E表示有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根tr (JE ) = -2 < 0d

2、et(J E ) = 1 > 0表示該系統(tǒng)星形結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定ìx& = 2x + yíî2、y = x + y2&11解：當(dāng)x& = y& = 0時(shí)，可得x = 0, y = 0或者x = - 4 , y = 2在點(diǎn)（0，0）處æ 21öæ 21öJE = ç1÷2 y= ç÷0è1ètr (JE ) = 2ø(0,0)ødet(J E ) = -1tr (JE ) - 4 det(J ) = 8 > 02E

3、表示有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根tr (JE ) = 2 > 0det(JE ) = -1 < 0表示該系統(tǒng)鞍點(diǎn)穩(wěn)定在點(diǎn)（- 0.25，0.5）處æ 21öæ 21öJE = ç1÷2 y= ç÷1è1ètr (JE ) = 3ø(-0 25,0 5)ødet(J E ) = 1tr (JE ) - 4 det(J ) = 5 > 02E表示有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根tr (JE ) = 3 > 0det(JE ) = 1 > 0表示該系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定二、求解微

4、分方程𝑑𝑘 = 𝑠 max*𝑎𝑘, 𝑏+ (𝑛 + 𝛿)𝑘k(0)=𝑘0給定，其中 s, a, b, n 和 𝛿 為正常數(shù)𝑑𝑡解：1、 當(dāng) ak<b 時(shí)，即k < 𝑏 時(shí)，（a>0）𝑎 𝑑𝑘 = 𝑠𝑏 (𝑛 + 𝛿)𝑘Ү

5、89;𝑡在上式兩邊同乘以 exp 𝑡(𝑛 + 𝛿) 𝑑𝑥0𝑠𝑏𝑐 k =+(𝑛+𝛿)exp,(𝑛+𝛿)𝑡-𝑠𝑏當(dāng) t=0 時(shí)， c = 𝑘0 (𝑛+𝛿),𝑘0 𝑠𝑏 -𝑠𝑏+(𝑛+𝛿)

6、 k =(𝑛+𝛿)exp,(𝑛+𝛿)𝑡-2、 當(dāng) akb 時(shí)，即k 𝑏 （a>0）𝑎 𝑑𝑘 = 𝑠 (ak) (𝑛 + 𝛿)𝑘𝑑𝑡 𝑑𝑘 = ,𝑠𝑎 (𝑛 + 𝛿)-𝑘𝑑𝑡 k = 𝑒,

7、9904;𝑎(𝑛+𝛿)-𝑡 𝑒𝑐當(dāng) t=0 時(shí)，k = 𝑘0 𝑒𝑐 = 𝑘0 k = 𝑘0 exp,sa (𝑛 + 𝛿)-𝑡三、對(duì)于方程 𝑎(𝑡) = 𝜔(𝑡) + 𝑟(𝑡)𝑎(𝑡) 𝑐(𝑡) 𝑛&#

8、119886;(𝑡)證明：在limt*𝑎(𝑡)exp, 𝑡(𝑟(𝑣) 𝑛) 𝑑𝑣-+ = 0的條件下，有下面的方程成立。0 𝑐(t)𝑒(𝑟(𝑡)𝑛)𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎(0) + 𝜔(t)𝑒(𝑟(𝑡)𝑛)𝑡 Ү

9、89;𝑡00其中𝑟(𝑡) = 1 𝑡 𝑟(𝑣)𝑑𝑣表示平均利率水平。0𝑡解： 將題中方程整理成為一階線性微分方程形式𝑑𝑎 + (𝑛 + 𝑟)𝑎 = 𝜔 𝑐，其中 a, r, , c 都是 t 的函數(shù)，n 為常數(shù)𝑑𝑡exp 𝑡(𝑛 r) 𝑑𝑣在上式兩

10、邊同時(shí)乘以因子,該線性方程可表示為0𝑑(aexp,𝑡(𝑛r) 𝑑𝑣-𝑡 0 0𝑑𝑡= (𝜔 𝑐)𝑒𝑥𝑝 (𝑛 r) 𝑑𝑣 對(duì)上式在（0, ）上進(jìn)行，左邊=,a exp,𝑡(𝑛 r) 𝑑𝑣-limt*𝑎(𝑡)exp, 𝑡(ү

11、03;(𝑣) 𝑛) 𝑑𝑣-+=000- limt0*𝑎(𝑡)exp, 𝑡(𝑟(𝑣) 𝑛) 𝑑𝑣-+0題設(shè)得 limt*𝑎(𝑡)exp, 𝑡(𝑟(𝑣) 𝑛) 𝑑𝑣-+ = 00 左邊 = 0 a(0) = a(0)而右邊=(𝜔 𝑐) (⻕

12、0;𝑥𝑝 𝑡(𝑛 r) 𝑑𝑣)𝑑𝑡(𝜔 𝑐)exp,(1 𝑡 𝑟(𝑣)𝑑𝑣 𝑛)𝑡-𝑑𝑡=0000𝑡令𝑟(𝑡) = 1 𝑡 𝑟(𝑣)𝑑𝑣0𝑡 右邊 =

13、(𝜔 𝑐)exp( 𝑟 𝑛)𝑡)𝑑𝑡0 a(0) = (𝜔 𝑐) 𝑒(𝑟𝑛)𝑡 𝑑𝑡0 𝑐 𝑒(𝑟𝑛)𝑡 𝑑𝑡 = 𝜔 𝑒(𝑟𝑛)𝑡 𝑑𝑡

14、; + 𝑎(0)00 命題得證四、求解最優(yōu)問題max 5(ux 𝑢2 𝑥2)𝑑𝑡s t:𝑥 = 𝑥 + 𝑢, 𝑥(1) = 21解： 定義 Hamilton 函數(shù)H=( ux 𝑢2 𝑥2)+(x + u)最優(yōu)性條件： H = (𝑥 2𝑢) + = 0u方程： = H = ,(u 2x) + -x可行性條件：𝑥 = 𝑥 + 𝑢, ⻖

15、9;(1) = 2橫截性條件：(5) = 0條件：2H = 2 0u2符合條件，下面求解。1 (𝑥 + )方程和最優(yōu)性條件可得 = 3x 3u由, u=2分別代入方程和可行性條件𝑥 = 3 𝑥 + 1 3122即系數(shù)矩陣A = (22 ) = 3 𝑥 3 32 3222而(A-I) = 0 1,2 = ±3x(t) = 𝐴1𝑒3𝑡 + 𝐴2𝑒3𝑡 (t) = (23 3)𝐴1𝑒3𝑡

16、; (23 + 3)𝐴2𝑒3𝑡將橫截性條件與可行性條件代入上式x(1) = 2(5) = 0𝐴1𝑒3 + 𝐴2𝑒3 = 2 (23 3)𝐴1𝑒53 (23 + 3)𝐴2𝑒53 = 02(7+43)𝑒103𝐴 =1(7+43)𝑒93+𝑒32 𝐴2 =(7+43)𝑒93+𝑒3x(t) = 2(7+43)Ү

17、90;103𝑒3𝑡+2𝑒3𝑡綜上：(7+43)𝑒93+𝑒3(t) = 2(23+3)𝑒103𝑒3𝑡+2𝑒3𝑡(7+43)𝑒93+𝑒31u(t)= (x(t) + (t)2五、求解最優(yōu)問題1𝑇2min0 (1 + 𝑢)2𝑑𝑡s t:𝑥 = 𝑢, 𝑥(0) = 0, 𝑥

18、;(𝑇) = 𝐵T, B 為正常數(shù)解：定義 Hamilton 函數(shù)12H=(1 + 𝑢 )2 + uH =u+ = 0最優(yōu)性條件：12u(1+𝑢 )2方程： = H = 0x可行性條件：𝑥 = 𝑢, 𝑥(0) = 0, 𝑥(𝑇) = 𝐵2H 1 3122條件：= (1 + 𝑢 ) 2 u(1 + 𝑢 )u22下面求解2方程： = 0 即 是常數(shù)由設(shè) = c 代入最優(yōu)性條件，得1)2u21=c 即u = c

19、 (1 + 𝑢(1+𝑢2)2𝑐21𝑐2 𝑢2 = 𝑐2 (1 + 𝑢2) 𝑢2 =同樣得出 u 也是一個(gè)常數(shù) 設(shè) u=k𝑥 = 𝑘 即 x = kt + n利用可行性條件 𝑥(0) = 0, 得 n = 0𝑥(𝑇) = 𝐵 得 k = 𝐵𝑇 X = 𝐵𝑡 而u = 𝐵𝑇w

20、879;uB c =11(1+𝑢2)2(𝐵2+𝑇2)2條件：對(duì)于2Hu211 1 3 12222 1= (1 + 𝑢 ) 2 2 u(1 + 𝑢 ) 2 = (1 + 𝑢 ) 2 1 2 u(1 + 𝑢 ) 1,2(1+𝑢2)𝑢-2= (1 + 𝑢 )2 2(1+𝑢2)關(guān)鍵只需2(1 + 𝑢2) 𝑢 符號(hào)即可(1 + 𝑢2 1)𝐵2而u = 𝐵

21、; 2 .1 +/ 𝑇2𝑇𝐵𝑇 原式 = 2𝑇2+2𝐵2BT = 2(𝐵𝑇)2+4BTBT = 2(𝐵𝑇)2+3BT𝑇2𝑇2𝑇2由于 T 與 B 均是正常數(shù) 2(1 + 𝑢2) 𝑢 0條件2H 0符合這表明條件u2符合題意的 求出的綜上， = B,u = 𝐵 ,𝐵𝑡x= 𝑇12𝑇

22、2(𝐵 +𝑇 )2六、假設(shè)消費(fèi)者具有無限生命期，效用函數(shù) U(𝐶𝑡)=𝐶𝑡資本折現(xiàn)率為，初始資本為𝐾0.貼現(xiàn)因子為𝛽。生產(chǎn)函數(shù)為 AK 形式，請(qǐng)描述消費(fèi)者最大化一生效用的選擇問題，并利用動(dòng)態(tài)解：方法求解。max𝛽𝑡𝐶𝑡s.t: 𝐾𝑡+1 + 𝐶𝑡 (1 )𝐾𝑡 = 𝑓(𝐾

23、9905;) = 𝐴𝐾𝑡𝑡=0 𝑉(𝐾𝑡) = 𝐶𝑡 + 𝛽𝑉(𝐾𝑡+1) + 𝑡,𝑓(𝐾𝑡) 𝐶𝑡 𝐾𝑡+1 + (1 )𝐾𝑡-1V𝐶1V= 0, 2 𝐶𝑡= 𝑡 ;

24、= 0 , 𝛽 𝑉 𝐾𝑡+1 = 𝑡2𝐾𝑡𝑡+1根據(jù)包絡(luò)原理𝑉(𝐾𝑡) = 𝑡,𝑓(𝐾𝑡) + (1 )- , 𝑓(𝐾𝑡) = 𝐴11 𝛽 𝑡+1,𝐴 + (1 )- = 𝑡 = 2 𝐶𝑡211而&#

25、119905;+1 = 2 𝐶𝑡+1211 𝛽 𝐶𝑡+1 2 (𝐴 + 1 ) = 𝐶𝑡2而𝐶𝑡 = 𝑓(𝐾𝑡) 𝐾𝑡+1 + (1 )𝐾𝑡猜𝐾𝑡+1 = B𝐾𝑡 代入上式， 而𝑓(𝐾𝑡) = 𝐴&#

26、119870;𝑡 𝐶𝑡 = 𝐴𝐾𝑡 B𝐾𝑡 + (1 )𝐾𝑡 = (𝐴 + 1 B)𝐾𝑡𝐶𝑡+1 = (𝐴 + 1 B)𝐾𝑡+1 = (𝐴 + 1 B)B𝐾𝑡111 𝛽 (𝐴 + 1 B) B 2 (𝐴 + 1 )

27、= (𝐴 + 1 B)22111 𝛽 B 2 (𝐴 + 1 ) = 1 B = 𝛽2 (𝐴 + 1 )2=𝐵𝛽(𝐴+1) 𝐶𝑡 = ,𝐴 + 1 𝛽2 (𝐴 + 1 )2 -𝐾𝑡𝐾𝑡+1 = 𝛽2 (𝐴 + 1 )2 𝐾𝑡七、問題：𝐶11max &

28、#120573;𝑡 𝑡, 𝛽 (0,1), > 01𝐾2𝑡+1 = 𝐾1𝑡 (0,1)s.t. 1 )111𝑌𝑡 = (𝐾1𝑡+ 𝐾2𝑡1、 利用動(dòng)態(tài)𝑌𝑡 = 𝐶𝑡+ 𝐾1𝑡+1K10, K20給定方法推導(dǎo)這一問題的一階條件。2、 證明問題的解K1𝑡+1 = SYw

29、905;，其中1S = (𝛽2 1+ 𝛽)𝐶11解：max 𝛽𝑡 𝑡= 𝑉(𝐾1𝑡, 𝐾2𝑡),𝐾2𝑡+1 = 𝐾1𝑡1𝐶11 1 )111𝑉(𝐾 , 𝐾 ) =+ 𝛽 𝑉(𝐾, 𝐾) + (𝐾+ 𝐾

30、2𝑡 𝑡1 𝐶𝑡 𝐾1𝑡+1 +1𝑡2𝑡1𝑡+12𝑡+11𝑡1𝑡2𝑡(𝐾1𝑡 𝐾2𝑡+1)𝑉(𝐾1𝑡,𝐾2𝑡) = 0,𝐶 = 1𝑡𝑡𝐶𝑡𝑉ҵ

31、73; 𝑉(𝐾1𝑡+1, 𝐾2𝑡+1) = 1𝑡= 0,𝐾1𝑡+1𝑉𝛽 𝑉(𝐾1𝑡+1, 𝐾2𝑡+1) = 2𝑡= 0,𝐾2𝑡+1 1𝑉(𝐾 , 𝐾 ) = + 𝐾,𝐾+ 𝐾-111𝑡2⻖

32、5;2𝑡1𝑡1𝑡1𝑡2𝑡 11𝑉(𝐾 , 𝐾 ) = 𝐾,𝐾+ 𝐾-121𝑡2𝑡1𝑡2𝑡1𝑡2𝑡 𝛽 2𝑡+1 + 1𝑡+1 𝐾(𝐾11+ 𝐾) = 11𝑡1𝑡+11𝑡+12w

33、905;+1(𝐾1 + 𝐾1 )1𝛽 1𝑡+1 𝐾= 2𝑡2𝑡+11𝑡+12𝑡+1(𝐾1 + 𝐾1 )1𝛽 1𝑡+2 𝐾= 2𝑡+1代入2𝑡+21𝑡+22𝑡+2𝛽 2𝑡+1 + 1𝑡+1 𝐾(𝐾11+ 𝐾) = 中11𝑡1𝑡+11𝑡+12𝑡+1(𝐾1 + 𝐾1 )1 𝛽 𝛽 1𝑡+2 &#