1、江蘇省南京市四校2012屆高三12月月考試題數(shù) 學(xué) 試 題注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式：1樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中xi2球的表面積S4R2，其中R為球的半徑一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分1已知命題p：xR，x2x10，則命題p是 2設(shè)集合Ax|1x2，Bx|0x4，則AB 3設(shè)復(fù)數(shù)z112i，z2xi(xR)，

2、若z1z2為實數(shù)，則x 4一個正四面體的四個面分別涂有紅、黃、藍(lán)、白四種顏色，若隨機投擲該四面體兩次，則兩次底面顏色相同的概率是 a5，s1ssaaa1結(jié)束a4否是開始輸出s（第6題圖）5有一組樣本數(shù)據(jù)8，x，10，11，9，已知它們的平均數(shù)為10，則這組數(shù)據(jù)的方差s2 6在如圖所示的流程圖中，輸出的結(jié)果是 7已知數(shù)列an的前n項和Sn2nn1，則a1a3 8已知圓(x2)2y21經(jīng)過橢圓1(ab0)的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率為 9將函數(shù)ysin(x)的圖象上所有的點向左平移個單位，再將圖象上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），則所得圖象的函數(shù)解析式為y 10已知正四棱柱

3、的底面邊長為2，高為3，則該正四棱柱的外接球的表面積為 ABCD（第11題圖）11如圖，平面四邊形ABCD中，若AC，BD2，則()() 12若不等式4x2x1a0在x1，1上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為 13若f(n)為n21(nN*)的各位數(shù)字之和，如1421197，19717，則f(14)17記f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，kN*，則f2011(8) 14已知f(x)x3，g(x)x2xa，若存在x01，(a0)，使得f(x0)g(x0)，則實數(shù)a的取值范圍是 二、解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（

4、本小題滿分14分）已知ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m(sinA，1)，n(1，cosA)，且mn（1）求角A；（2）若bca，求sin(B)的值16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐OABCD中，AD/BC，ABAD2BC，OBOD，M是OD的中點OMDABC（第16題圖）（1）求證：MC/平面OAB；（2）求證：BDOA17（本小題滿分14分）某工廠去年新開發(fā)的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價為10元，固定成本為8元今年，工廠第一次投入100萬元的科技成本，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元，預(yù)計產(chǎn)量每年遞增10萬只，投入n次后，每只產(chǎn)品的固定成本

5、為g(n)（k為常數(shù)，nZ且n0）若產(chǎn)品銷售價保持不變，第n次投入后的年純利潤為f(n)萬元（年純利潤年收入年固定成本年科技成本）（1）求k的值，并求出f(n)的表達(dá)式；（2）問從今年起，第幾年純利潤最高？最高純利潤為多少萬元？18（本小題滿分16分）如圖，橢圓的中心為原點O，已知右準(zhǔn)線l的方程為x4，右焦點F到它的距離為2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓C經(jīng)過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程xyOlFC（第18題圖）19（本小題滿分16分）記公差d0的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a12，S312（1）求數(shù)列an的通項公式an及前n項和Sn；（2）記bnan，

6、若自然數(shù)n1，n2，nk，滿足1n1n2nk，并且，成等比數(shù)列，其中n11，n23，求nk（用k表示）；（3）試問：在數(shù)列an中是否存在三項ar，as，at(rst，r，s，tN*)恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由20（本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)axx2xlna(a0，a1)（1）當(dāng)a1時，求證：函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)y|f(x)t|1有三個零點，求t的值；（3）若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，試求a的取值范圍附 加 題注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將學(xué)

7、校、姓名、準(zhǔn)考證號寫在答題紙的對應(yīng)位置答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，請交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分請在答題紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟PCADBOA選修41：幾何證明選講如圖，PA切O于點，D為的中點，過點D引割線交O于、兩點求證：B選修42：矩陣與變換設(shè)M，N，試求曲線ysinx在矩陣MN變換下的曲線方程C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長D選修45：不等

8、式選講解不等式：|2x1|x4|2【必做題】第22、23題，每小題10分，計20分請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)22如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABBC=，BB13，D為A1C1的中點，F(xiàn)在線段AA1上（1）AF為何值時，CF平面B1DF？（2）設(shè)AF1，求平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值A(chǔ)BCC1B1A1FD（第22題圖）23一個袋中裝有黑球，白球和紅球共n(nN*)個，這些球除顏色外完全相同已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是現(xiàn)從袋中任意摸出2個球（1）若n15，且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是，設(shè)表示摸出的2個球中紅球的個數(shù)，求隨機

9、變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)n取何值時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為多少？參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分1$xR，x2x10 21，43 452 62077 89sin(x) 1017111 12(，11311 14(0，)二、解答題：本大題共6小題，共計90分15解：（1）因為mn，所以mn0，即sinAcosA02分所以sinAcosA，得tanA4分又因為0A，所以A6分（2）（解法1）因為bca，由正弦定理得sinBsinCsinA8分因為BC，所以sinBsin(B)10分化簡得sinBcosB，12分從而sinBcosB，即

10、sin(B)14分（解法2）由余弦定理可得b2c2a22bccosA，即b2c2a2bc 8分又因為bca ，聯(lián)立，消去a得2b25bc2c20，即b2c或c2b10分若b2c，則ac，可得B；若c2b，則ab，可得B12分所以sin(B)14分16證明：（1）設(shè)N是OA的中點，連結(jié)MN，NB因為M是OD的中點，所以MN/AD，且2MNAD2分又AD/BC，AD2BC，所以四邊形BCMN是平行四邊形，從而MC/NB4分又MC平面OAB，NB平面OAB，所以MC/平面OAB；7分（2）設(shè)H是BD的中點，連結(jié)AH，OH因為ABAD，所以AHBD又因為OBOD，所以O(shè)HBD9分因為AH平面OAH，O

11、H平面OAH，AHOHH，所以BD平面OAH12分因為OA平面OAH，所以BDOA14分17解：（1）由題意當(dāng)n0時，g(0)8，可得k82分所以，即，nZ且n07分（2）（解法1）由，11分當(dāng)且僅當(dāng)，即n8時取等號，13分所以第8年工廠的純利潤最高，最高為520萬元14分（解法2）令，x0，則，令，解得x89分當(dāng)x(0，8)，y遞增；當(dāng)x(8，)，y遞減11分所以當(dāng)x8時，y有最大值，即當(dāng)n8時，f(n)有最大值f(8)52013分所以第8年工廠的純利潤最高，最高為520萬元14分18解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由題意可得，2分解得a2，c24分從而b2a2c24所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

12、程為16分（2）設(shè)圓C的方程為(xm)2(yn)2r2，r0由圓C經(jīng)過點F(2，0)，得(2m)2n2r2， 7分由圓C被l截得的弦長為4，得|4m|2()2r2， 8分聯(lián)立，消去r得：n2164m10分所以O(shè)C12分因為由n20可得m4，所以當(dāng)m2時，OC長有最小值214分此時n2，r2，故所求圓C的方程為(x2)2(y2)2816分19解：（1）因為a12，S33a13d12，所以d22分所以ana1(n1)d2n，3分Snn2(1)n5分（2）因為bnan2n，所以2nk7分又因為數(shù)列的首項，公比，所以9分所以2nk，即nk10分（3）假設(shè)存在三項ar，as，at成等比數(shù)列，則，即有，整

13、理得12分若，則，因為r，s，tN*，所以是有理數(shù)，這與為無理數(shù)矛盾；14分若，則，從而可得rst，這與rst矛盾綜上可知，不存在滿足題意的三項ar，as，at16分20解：（1）3分由于，故當(dāng)時，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增5分（2）當(dāng)時，因為，且在R上單調(diào)遞增，故有唯一解7分所以的變化情況如下表所示：x00遞減極小值遞增又函數(shù)有三個零點，所以方程有三個根，而，所以，解得10分（3）因為存在，使得，所以當(dāng)時，11分由（2）知，在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，12分而，記，因為（當(dāng)時取等號），所以在上單調(diào)遞增而，故當(dāng)時，；當(dāng)時，即當(dāng)時，；當(dāng)時，14分當(dāng)時，由；當(dāng)時，由綜上可知，所求的取值范圍為16分

14、附加題參考答案21【選做題】A證明：因為與圓相切于，所以， 2分因為D為PA中點，所以DP=DA，所以DP2=DBDC，即 5分因為， 所以， 8分所以 10分BMN=, 4分設(shè)是曲線上的任意一點，在矩陣MN變換下對應(yīng)的點為則，所以即 8分代入得：，即即曲線在矩陣MN變換下的曲線方程為 10分C曲線C的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程為即 3分直線為參數(shù)）可化為，6分圓心到直線的距離，8分弦長10分D當(dāng)x4時，2x1x42，解得x3（舍去）；3分當(dāng)x4時，2x1x42，解得x，x；6分當(dāng)x時，2x1x42，解得x7，7x9分綜上，不等式的解集為（7，）10分22解：（1）因為直三棱柱ABCA1B1C1中，以B點為原點，BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因為AC2，ABC90，所以ABBC，ABCC1B1A1FDxyz從而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E所以，設(shè)AFx，則F(，0，x)，.，所以要使CF平面B1DF，只需CFB1F.由2x（x3）0，得x1或x2，故當(dāng)AF1或2時，CF平面B1DF 5分（2）由（1）知平面ABC的法向量為n1=（0，0，1）設(shè)平面B1CF的法向量為，則由得令z=1得，所以平面B