1、第一章 勾股定理回顧與思考一、學生起點分析通過前面三節的學習，學生已經基本掌握了勾股定理及逆定理的知識，并能應用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎同時在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力八年級學生已初步具有幾何圖形的觀察，幾何證明的理論思維能力他們希望老師創設便于他們進行觀察的幾何環境，給他們發表自己見解和表現自己才華的機會，希望老師滿足他們的創造愿望，讓他們實際操作，使他們獲得施展自己創造才能的機會但對于勾股定理的綜合應用，還需要學生具備一定的分析、歸納的思

2、維方法和運用數學的思想意識，但學生在這一方面的可預見性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同學會有一些困難二、教學任務分析勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，將形與數密切聯系起來，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數學發展中起過重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用，勾股定理的應用蘊含著豐富的文化價值勾股定理也是后續有關幾何度量運算和代數學習必要的基礎，具有學科的基礎性與廣泛的應用本課時教學是復習課，強調讓學生經歷數學知識的形成與應用過程，鼓勵學生自主探索與合作交流，以學生自主探索為主，并強調同桌之間的合作與交流，強化應用意識，培養學生多方

3、面的能力讓學生通過動手、動腦、動口自主探索，感受數學的美，以提高學習興趣為此，本節課的教學目標是：讓學生回顧本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程，體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用在回顧與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡的樂趣通過對勾股定理歷史的再認識，培養愛國主義精神，體驗科學給人來帶來的力量三、教學過程設計本節課設計了六個環節第一環節：情境引入；第二環節：知識結構梳理；第三環節：合作探究；第四環節：拓展提升；第五環節：交流小結；第六環節：布置作業第一環節 情境引入勾股定理，我們把它稱為世界第一定理它的重要性，通過這一章

4、的學習已深有體驗，首先，勾股定理是數形結合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學知道，正是由于勾股定理得發現，導致無理數的發現，引發了數學的第一次危機，這一點，我們將在實數一章里講到，第三，勾股定理中的公式是第一個不定方程，有許許多多的數滿足這個方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的就是費馬大定理，直到1995年，數學家懷爾斯才將它證明勾股定理是我們數學史的奇跡，我們已經比較完整地研究了這個先人給我們留下來的寶貴的財富，這節課，我們將通過回顧與思考中的幾個問題更進一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應用目的：通過對勾股定理歷史及地位的解讀，讓學生了解知識脈絡及前后聯系，激發學習

5、探究熱情效果：從歷史的深度提出問題，學生探究熱情高漲，為下一環節奠定了良好基礎第二環節：知識結構梳理本章知識要點及結構：（第16題由學生獨立思考完成，小組代表展示）1勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用和分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么_ 2勾股定理各種表達式：在RtABC中，C=90°，A，B，C的對邊也分別為，則=_，=_，=_ 3勾股定理的逆定理：在ABC中，若三邊滿足_，則ABC為_ 4勾股數：滿足_的三個_，稱為勾股數5幾何體上的最短路程是將立體圖形的_展開，轉化為_上的路程問題，再利用_兩點之間，_解決最短線路問題6直角三角形的邊、角之間分別存

6、在著什么關系？（教師引導，小組討論、總結）從邊的關系來說，當然就是勾股定理；從角度的關系來說，由于直角三角形中有一個特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個銳角互余直角三角形作為一個特殊的三角形如果又有一個銳角是，那么的角所對的直角邊時斜邊的一半7舉例說明，如何判斷一個三角形是直角三角形判斷一個三角形是直角三角形可以從角、邊兩個方面去判斷（1）從定義即從角出發去判斷一個三角形是直角三角形例如：在ABC中，根據三角形的內角和定理，可得，根據定義可判斷ABC是直角三角形在ABC中，由三角形的內角和定理可知，ABC是直角三角形（2）從邊出發來判斷一個三角形是直角三角形其實從邊來判斷直角三角形它的理論依據

7、就是判定直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理） 例如：ABC的三條邊分別為，而，根據勾股定理的逆定理可知ABC是直角三角形，但這里要注意的是b所對的角在ABC三條邊的比為，ABC是直角三角形8通過回顧與思考中的問題的交流，由同學們自己建立本章的知識結構圖 （小組內展示自己總結的知識框圖，相互交流完善知識框圖；每個小組選取一名代表，展示本組的知識框圖）三邊的關系-勾股定理歷史、應用直角三角形 直角三角形的判別應用目的：復習與直角三有形有關的知識，加強知識的前后聯系，把勾股定理及判定納入直角三角形的知識體系中，把以前的零散的知識形成知識體系通過學生相互交流，整理知識框圖復習本章知識點，自覺內化到自

8、身的知識體系中效果：學生有獨立思考的空間，與有合作交流的舞臺，動靜結合，相得益彰第三環節：合作探究內容：探究一：利用勾股定理求邊長已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長的平方解：（1）當兩直角邊為3和4時，第三邊長的平方為25；（2）當斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長的平方為7注意事項：因學生習慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5但這一理解的前提是3、4為直角邊而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊探究二：利用勾股定理求圖形面積：1求出下列各圖中陰影部分的面積_(3)21圖（1）陰影部分的面積為；（答案：1）圖（2）陰影部

9、分的面積為；（答案：81）圖（3）陰影部分的面積為；（答案：5）2 已知RtABC中，若，求RtABC的面積探究三：利用勾股定理逆定理判定ABC的形狀或求角度1. 在ABC中，的對邊分別為，且，則（ ）.（A）為直角 （B）為直角 （C）為直角 （D）不是直角三角形解：，故選（A）.注意事項：因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標注為，因而有同學就習慣性的認為就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導致錯誤.該題中的條件應轉化為，即，因根據這一公式進行判斷2已知ABC的三邊為a，b，c，有下列各組條件，判定ABC的形狀（1）；（2）解：（1）（2）均為直角三角形探究四：勾股定理及逆定

10、理的綜合應用：B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時8 n mile的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15 n mile的速度前進，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34 n mile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=（n mile），乙船航行的距離為BP=（n mile），MBP為直角三角形，乙船是沿著南偏東方向航行的注意事項：勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對三角形做出判斷，判斷的依據是勾定理的逆定理，其形式為“若，則學生容易不先對三角形做出判斷而直接應用勾股定理進行計算目的：通過對四大問題的探究，培養同學們歸納知識的能力，并將各種

11、數學基本思想方法滲透其中，如對數形結合思想的滲透，鼓勵學生由代數表示聯想到幾何圖形，由幾何圖形聯想到有關代數表示，從而認識數學的內在聯系如對分類討論的滲透，培養學生嚴謹的數學態度效果：探究四綜合運用勾股定理及其逆定理解決實際問題，這種貼近生活的實例，訓練學生解決實際問題的能力，通過學生的解答和討論，讓學生自我解決疑難，既是對所學知識的鞏固應用，又讓學生體驗成功的喜悅第四環節：拓展提升內容：我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別

12、為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是 （答案為）目的：學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智，在我們的數學史上，好多結論的發現都是這樣一個過程，都是從幾個或大量的特例中發現規律，大膽猜想出結論，然后以前面的理論作為基礎，證明猜想，一個偉大的成果就誕生了，掌握這種研究數學的方法，大膽創新，刻苦鉆研，說不一定你就是未來的商高，第二個趙爽效果：運用勾股定理和方程思想解決實際問題，讓學生體會生活中處處皆數學，并且使新知得到了鞏固，能力得到了訓練，認識得到了升華第五環節：交流小結內容：師生相互交流總結：1.本章知識要點及在學習中用到了哪些數學思想

13、方法？2你在學習過程中是否積極參與？是否與同伴進行了有效的合作交流？目的：鼓勵學生結合本節課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結解決問題的思路與方法，并贊嘆我國古代數學的成就第六環節：布置作業1課本復習題2思考題：一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示正方形DEFH的邊長為2 m，坡角m當正方形DEFH運動到什么位置，即當AE m時，有（答案為：）四、教學設計反思本節課是復習課，利用勾股定理和勾股逆定理來解決實際問題勾股定理是在學生已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的，它揭示了一個三角形三條邊之間的數量關系，而勾股定理逆用的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形針對我班學生的知識結構和心理特征，本節課的設計思路是引導學生“做數學”，先由淺入深，在學生的自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學生的認知規律，又充分體現了“學生是數學學習的主人、教師是數學學習的組織者、引導者與合作者”的教學理念.本節課圍繞激趣引入，歸納知識-綜合練習，應用知識課堂小結三部分，發展學生應用數學的意識與能力，增強了學生學好數學的愿望和信心讓學生自己繪制知識網絡圖，進一步體會本章所學知識之間的前后聯系，并培養了學生這方面的能力設計的題目既考察了對基本知識的掌握情況，又注