2024年武漢市中考數學真題試卷及答案解析親愛的同學：在你答題前，請認真閱讀下面的注意事項：1．本試卷全卷共6頁，三大題，滿分120分．考試用時120分鐘．2．答題前，請將你的姓名、準考證號填寫在“答題卡”相應位置，并在“答題卡”背面左上角填寫姓名和座位號．3．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆將“答題卡”上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答在“試卷”上無效．4．答非選擇題時，答案用0.5毫米黑色筆跡簽字筆書寫在“答題卡”上．答在“試卷”上無效．5．認真閱讀答題卡上的注意事項．預祝你取得優異成績！一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑．1.現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（）A.隨機事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.確定性事件3.如圖是由兩個寬度相同的長方體組成的幾何體，它的主視圖是（）A. B. C. D.4.國家統計局2024年4月16日發布數據，今年第一季度國內生產總值接近億元，同比增長，國家高質量發展取得新成效．將數據用科學記數法表示是（）A. B. C. D.5.下列計算正確的是（）A. B. C. D.6.如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是（）A. B. C. D.7.小美同學按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（）A B. C. D.8.經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小相同．若兩輛汽車經過這個十字路口，則至少一輛車向右轉的概率是（）A. B. C. D.9.如圖，四邊形內接于，，，，則的半徑是（）A B. C. D.10.如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數的圖象，發現它關于點中心對稱．若點，，，……，，都在函數圖象上，這個點的橫坐標從開始依次增加，則的值是（）A. B. C.0 D.1二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結果直接填寫在答題卡指定的位置．11.中國是世界上最早使用負數的國家．負數廣泛應用到生產和生活中，例如，若零上記作，則零下記作_________．12.某反比例函數具有下列性質：當時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的k的值是__________．13.分式方程的解是______．14.黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽．在一次綜合實踐活動中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得黃鶴樓的高度是__________m．（參考數據：）15.如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是___________．16.拋物線（a，b，c是常數，）經過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；③若，則關于x的一元二次方程無實數解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是__________（填寫序號）．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．17.求不等式組的整數解．18.如圖，在中，點，分別在邊，上，．（1）求證：；（2）連接．請添加一個與線段相關的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）19.為加強體育鍛煉，增強學生體質，某校在“陽光體育一小時”活動中組織九年級學生定點投籃技能測試，每人投籃次，投中一次計分．隨機抽取名學生的成績作為樣本，將收集的數據整理并繪制成如下的統計圖表．測試成績頻數分布表成績/分頻數根據以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出，的值和樣本的眾數；（2）若該校九年級有名學生參加測試，估計得分超過分的學生人數．20.如圖，為等腰三角形，是底邊的中點，腰與半圓相切于點，底邊與半圓交于，兩點．（1）求證：與半圓相切；（2）連接．若，，求值．21.如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．（1）在圖（1）中，畫射線交于點D，使平分的面積；（2）在（1）的基礎上，在射線上畫點E，使；（3）在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉到點C，再畫射線交于點G；（4）在（3）的基礎上，將線段繞點G旋轉，畫對應線段（點A與點M對應，點B與點N對應）．22.16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．（1）若火箭第二級的引發點的高度為．①直接寫出a，b的值；②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．（2）直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過．23.問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點是的中點，點在邊上，，與交于點，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．24.拋物線交軸于，兩點（在右邊），交軸于點．（1）直接寫出點，，的坐標；（2）如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點作直線，交y軸于點．若平分線段，求點的坐標；（3）如圖（2），點與原點關于點對稱，過原點直線交拋物線于，兩點（點在軸下方），線段交拋物線于另一點，連接．若，求直線的解析式．

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑．1.現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A，B，D選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．2.小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（）A.隨機事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.確定性事件【答案】A【解析】【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．根據事件發生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：兩人同時出相同的手勢，，這個事件是隨機事件，故選：A．3.如圖是由兩個寬度相同的長方體組成的幾何體，它的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三視圖的知識，熟知主視圖是從物體的正面看到的視圖是解題的關鍵．按照主視圖的定義逐項判斷即可．2024年武漢市中考數學真題試卷及答案解析【詳解】解：從正面看該幾何體，下面是一個大長方形，上面疊著一個小長方形，故選：B．4.國家統計局2024年4月16日發布數據，今年第一季度國內生產總值接近億元，同比增長，國家高質量發展取得新成效．將數據用科學記數法表示是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值大于與小數點移動的位數相同．【詳解】解：，故選：C．5.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了完全平方公式，積的乘方，冪的乘方，同底數冪的乘法等，根據同底數冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，完全平方公式運算法則分別判斷即可．【詳解】解：A.，故該選項不正確，不符合題意；B.，故該選項正確，符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．6.如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了函數圖象；根據題意，分3段分析，即可求解．【詳解】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，所以對應圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩．故選：D．7.小美同學按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，根據作圖可得四邊形是菱形，進而根據菱形的性質，即可求解．【詳解】解：作圖可得∴四邊形是菱形，∴∵，∴，∴，故選：C．8.經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，這三種可能性大小相同．若兩輛汽車經過這個十字路口，則至少一輛車向右轉的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是運用樹狀圖求概率，運用樹狀圖法確定所有情況數和符合題意情況數是解答本題的關鍵．運用樹狀圖法確定所有情況數和符合題意情況數，然后用概率公式解答即可．【詳解】解：列樹狀圖如圖所示，共有9種情況，至少一輛車向右轉有5種，∴至少一輛車向右轉的概率是，故選：D．9.如圖，四邊形內接于，，，，則的半徑是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，即可證得，進而可求得，再利用圓周角定理得到，結合三角函數即可求解．【詳解】解：延長至點E，使，連接，連接并延長交于點F，連接，∵四邊形內接于，∴∴∵∴，∴是的直徑，∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴∴，,∵∴又∵∴∴是等腰直角三角形∴∵∴∵∴∴故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，圓周角定理，銳角三角函數、等腰三角形的性質與判定等知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．10.如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數的圖象，發現它關于點中心對稱．若點，，，……，，都在函數圖象上，這個點的橫坐標從開始依次增加，則的值是（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】本題是坐標規律題，求函數值，中心對稱的性質，根據題意得出，進而轉化為求，根據題意可得，，即可求解．【詳解】解：∵這個點的橫坐標從開始依次增加，∴，∴，∴，而即，∵，當時，，即，∵關于點中心對稱的點為，即當時，，∴，故選：D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結果直接填寫在答題卡指定的位置．11.中國是世界上最早使用負數的國家．負數廣泛應用到生產和生活中，例如，若零上記作，則零下記作_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了正數和負數的意義，在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：零上記作，則零下記作．，故答案為：．12.某反比例函數具有下列性質：當時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的k的值是__________．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查的是反比例函數的性質，反比例函數的圖象是雙曲線，當，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小，當，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．直接根據反比例函數的性質寫出符合條件的的值即可．【詳解】解：∵當時，y隨x的增大而減小，∴故答案為：1（答案不唯一）．13.分式方程的解是______．【答案】【解析】2024年武漢市中考數學真題試卷及答案解析【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關鍵．首先等號兩邊同時乘以完成去分母，再按照去括號，移項、合并同類項的步驟求解，檢驗即可獲得答案．【詳解】解：，等號兩邊同時乘以，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，經檢驗，是該分式方程的解，所以，該分式方程的解為．故答案為：．14.黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽．在一次綜合實踐活動中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升至距水平地面的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得黃鶴樓的高度是__________m．（參考數據：）【答案】51【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關鍵．延長交距水平地面的水平線于點D，根據，求出，即可求解．【詳解】解：延長交距水平地面的水平線于點D，如圖，由題可知，，設，∵∴∴∴∴故答案為：51．15.如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是___________．【答案】【解析】【分析】作交于點，不妨設，設，通過四邊形是正方形，推出，得到，然后證明，利用相似三角形對應邊成比例，得到，從而表示出，的長度，最后利用和表示出正方形和的面積，從而得到．【詳解】解：作交于點，不妨設，設四邊形是正方形在和中，，由題意可知，正方形的面積，正方形的面積；故答案為：.【點睛】本題考查了弦圖，正方形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，正方形的面積，勾股定理，熟練掌握以上知識點并能畫出合適的輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．16.拋物線（a，b，c常數，）經過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；③若，則關于x的一元二次方程無實數解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是__________（填寫序號）．【答案】②③④【解析】【分析】本題考查了二次函數性質，根據題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據拋物線經過得出，代入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數，）經過，兩點，且．∴對稱軸為直線，，∵，∴，故①錯誤，∵∴m--1>1，即，兩點之間距離大于又∵∴時，∴若，則ax-12③由①可得，∴，即，當時，拋物線解析式為設頂點縱坐標為∵拋物線（a，b，c是常數，）經過，∴∴∴∵，，對稱軸為直線，∴當時，取得最大值為，而，∴關于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點，在拋物線上，，，總有，又，∴點離較遠，∴對稱軸解得：，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．17.求不等式組的整數解．【答案】整數解為：【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，進而求得整數解．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：，∴整數解為：18.如圖，在中，點，分別在邊，上，．（1）求證：；（2）連接．請添加一個與線段相關的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）【答案】（1）見解析（2）添加（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的判定；（1）根據平行四邊形的性質得出，，結合已知條件可得，即可證明；（2）添加，依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴即，在與中，，∴；【小問2詳解】添加（答案不唯一）如圖所示，連接．∵四邊形是平行四邊形，∴，即，當時，四邊形是平行四邊形．19.為加強體育鍛煉，增強學生體質，某校在“陽光體育一小時”活動中組織九年級學生定點投籃技能測試，每人投籃次，投中一次計分．隨機抽取名學生的成績作為樣本，將收集的數據整理并繪制成如下的統計圖表．測試成績頻數分布表成績/分頻數根據以上信息，解答下列問題：（1）直接寫出，的值和樣本的眾數；（2）若該校九年級有名學生參加測試，估計得分超過分的學生人數．【答案】（1），，眾數為分（2）該校九年級有名學生參加測試，估計得分超過分的學生人數為人【解析】【分析】本題考查了樣本估計總體，求眾數，頻數分布表與扇形統計圖；（1）根據成績為分的人數除以占比，求得的值，根據成績為分的人數的占比，求得，進而求得，即可得出的值；（2）根據得分超過分的學生的占比乘以，即可求解．【小問1詳解】解：依題意，（人），（人），（人），∴，∴，∵分的人數為個，出現次數最多，∴眾數為分，【小問2詳解】解：（人）答：該校九年級有名學生參加測試，估計得分超過分的學生人數為人.20.如圖，為等腰三角形，是底邊的中點，腰與半圓相切于點，底邊與半圓交于，兩點．2024年武漢市中考數學真題試卷及答案解析（1）求證：與半圓相切；（2）連接．若，，求的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，角平分線的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）連接、，作交于，根據等腰三角形三線合一可知，，平分，結合與半圓相切于點，可推出，得證；（2）由題意可得出，根據，在中利用勾股定理可求得的長度，從而得到的長度，最后根據即可求得答案．【小問1詳解】證明：連接、，作交于，如圖為等腰三角形，是底邊的中點，平分與半圓相切于點由是半圓的切線小問2詳解】解：由（1）可知，，，又，在中，，，解得：21.如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．（1）在圖（1）中，畫射線交于點D，使平分的面積；（2）在（1）的基礎上，在射線上畫點E，使；（3）在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉到點C，再畫射線交于點G；（4）在（3）基礎上，將線段繞點G旋轉，畫對應線段（點A與點M對應，點B與點N對應）．【答案】（1）作圖見解析（2）作圖見解析（3）作圖見解析（4）作圖見解析【解析】【分析】本題考查了網格作圖．熟練掌握全等三角形性質，平行四邊形性質，等腰三角形性質，等腰直角三角形性質，是解題的關鍵．（1）作矩形，對角線交于點D，做射線，即可；（2）作,射線于點Q，連接交于點E，即可；（3）在下方取點F，使，是等腰直角三角形，連接，，交于點G，即可；（4）作，交于點M，作，交于點N，連接，即可．【小問1詳解】如圖，作線段，使四邊形是矩形，交于點D，做射線，點D即為所求作；【小問2詳解】如圖，作,作于點Q，連接交于點E，點E即為作求作；【小問3詳解】如圖，在下方取點F，使，連接，連接并延長，交于點G，點F，G即為所求作；【小問4詳解】如圖，作，交射線于點M，作，交于點N，連接，線段即為所求作．22.16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．（1）若火箭第二級的引發點的高度為．①直接寫出a，b的值；②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．（2）直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過．【答案】（1）①，；②（2）【解析】【分析】本題考查了二次函數和一次函數的綜合應用，涉及待定系數法求解析式，二次函數的圖象和性質，一次函數的圖象與性質等知識點，熟練掌握二次函數和一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．（1）①將代入即可求解；②將變為，即可確定頂點坐標，得出，進而求得當時，對應的x的值，然后進行比較再計算即可；（2）若火箭落地點與發射點的水平距離為，求得，即可求解．【小問1詳解】解：①∵火箭第二級的引發點的高度為∴拋物線和直線均經過點∴，解得，．②由①知，，∴∴最大值當時，則解得，又∵時，∴當時，則解得∴這兩個位置之間的距離．【小問2詳解】解：當水平距離超過時，火箭第二級的引發點為，將，代入，得，解得，∴．23.問題背景：如圖（1），在矩形中，點，分別是，的中點，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點是的中點，點在邊上，，與交于點，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．【答案】問題背景：見解析；問題探究：見解析；問題拓展：【解析】【分析】問題背景：根據矩形的性質可得，根據點，分別是，的中點，可得，即可得證；問題探究：取的中點，連接，得是的中位線，根據已知條件可得平行且等于，進而可得是平行四邊形，得，則，根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進而可得，等量代換可得，等角對等邊，即可得證；問題拓展：過點作，則四邊形是矩形，連接，根據已知以及勾股定理得出；根據（2）的結論結合已知可得，證明垂直平分，進而得出，證明，進而證明，進而根據相似三角形的性質，即可求解．【詳解】問題背景：∵四邊形是矩形，∴，∵，分別是，的中點∴，即，∴；問題探究：如圖所示，取的中點，連接，∵是的中點，是的中點，∴，又∵，∴，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，∴∴又∵，是的中點，∴∴∴，∴；問題拓展：如圖所示，過點作，則四邊形是矩形，連接，

∵，∴，設，則，在中，，∵，由（2）∴，又∵是的中點，∴垂直平分∴，，在中，∴設，則∴，又∵∴∴又∵∴∴．【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，全等三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．2024年武漢市中考數學真題試卷及答案解析24.拋物線交軸于，兩點（在的右邊），交軸于點．（1）直接寫出點，，的坐標；（2）如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點作直線，交y軸于點．若平分線段，求點的坐標；（3）如圖（2），點與原點關于點對稱，過原點的直線交拋物線于，兩點（點在軸下方），線段交拋物線于另一點，連接．若，求直線的解析式．【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】（1）分別令，解方程，即可求解；（2）分別求得直線，根據得出的解析式，設，進而求得點的坐標，進而根據平分線段，則的中點在直線上，將點的坐標代入直線解析式，即可求解．（3）過點作軸，過點分別作的垂線，垂足分別為，證明，得出，先求得點的坐標，設直線的解析式為，直線的解析式為，聯立拋物線解析式，設，，根據一元二次方程根與系數的關系，得出，，，進而求得，代入，化簡后得出，即，進而即可求解．【小問1詳解】解：由，當時，，則當，解得：∵在的右邊∴，，【小問2詳解】解：設直線的解析式為將，代入得，解得：∴直線的解析式為∵設直線的解析式為∵在第三象限的拋物線上設，∴∴∴設的中點為，則由，，設直線的解析式為，將代入得，，解得：∴直線的解析式為，∵平分線段，∴在直線上，∴解得：（舍去）當時，∴；【小問3詳解】解：如圖所示，過點作軸，過點分別作的垂線，垂足分別為，∴∴∴∴即∵點與原點關于點對稱，∴,設直線的解析式為，直線的解析式為聯立直線與拋物線解析式可得，，即聯立直線與拋物線解析式可得，即設，，∴，，，∴，∵∴，將代入得：∴，∴，∴直線解析式為．【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，一次函數與二次函數綜合，中點坐標公式，相似三角形的性質與判定，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．良好的師生關系會產生好感效應。初中生的情感容易在行動中反映出來。如果一位學生因受到某位老師的斥責而產生畏懼感，那么，他對該老師所教的學科是不會感興趣的;反之，若一位學生因事受到有關老師的表揚和贊賞，那么他會喜歡這位老師而喜歡該老師所教的學科，而積極主動的學習。所以老師在教學中，在與學生交談中，應加強與學生的感情交流，增進與學生的關系，親近他們，愛護他們，對差生采取少一點“威嚴”，多一點“親切”的方法，保護學生學習的積極性。注意在教與學中產生和諧的共鳴，也能增進相互間的情感交流，使學生在融洽的師生關系和活躍的課堂氣氛中由喜歡“數學老師”而喜歡“學習數學，從而對數學產生學習興趣。

2、抓住學生的好奇心和“好勝心”，激發主動學習興趣

對于學生的應用意識和創新意識，它們分布于上述各個核心素養要素中，從中可以看出，初、高中核心素養內涵基本一致，只是要求和程度上有所差異．中學數學核心素養的基本特征可以歸結為綜合性、階段性.持久性和發展性等四個方面，具體來講這四方面：1.綜合性指的是對于數學基礎知識、基本解題技巧和解題技能，學習態度和思維能力等多方面的綜合體現，要求學生在學會了基本的運算方法、推理論證等基本能力之外還需要學習思考使用何種方法解決問題，這是一種綜合性的能力，數學核心素養也能促進學生對基礎知識的更進一步的理解和學習。

2.階段性指由于學生的學習能力的差異，在數學核心素養的表現方面也會出現不同水平、階段的差異，例如對待同一個問題，不同年級的學生解決的方法不同，解答起來也會有難有易，有快有慢，理解能力和思維能力也會有所差異，因此會出現不同層次的人形成不同階段的數學核心素養的理解的現象。3.持久性持久性不僅體現在學生學習數學知識的過程中，在以后的工作學習中同樣有著重要的作用，可以說數學的學習并不是一朝一夕就能夠學會的，需要長期的實踐積累和努力的演算思考才能獲得知識。4．發展性指學生學習數學過程中習得的基本技能及解決問題的思維方法，學生學習的數學知識隨著進入未來社會可能會忘記，但是學生學習數學所經歷的體驗是一生的財富，在數學核心素養的培養下可以幫助學生適應未來生活。知道了數學核心素養的基本內容和基本特征我們應該思考數學核心素養的教育價值，這里從四個方面分析：1：培養學生的數學核心素養可以有效幫助學生對于數學知識的理解和記憶，讓學生更好的理解掌握知識的基本表現形式和思維方法，讓學生自主的將知識聯系在一起，加深記憶，更好的掌握數學知識。1.創設生活情境：結合生活實例，如購物、旅行等，讓學生理解數學在實際生活中的應用。2.趣味故事引導：通過講述與數學相關的趣味故事，激發學生的學習興趣。3.競賽式學習：組織數學競賽或挑戰賽，激發學生的競爭意識和求知欲。4.游戲化教學：設計數學游戲，讓學生在游戲中學習數學知識。5.角色扮演：讓學生扮演數學家、科學家等角色，體驗數學的魅力。6.互動討論：鼓勵學生之間互相討論、分享解題思路，提高交流能力。7.實物展示：利用實物或模型展示數學原理，增強直觀理解。8.實驗操作：引導學生動手進行實驗，探究數學規律。9.多媒體輔助：利用多媒體教學工具，如幾何畫板、PPT、視頻等，豐富教學內容。10.思維導圖梳理：使用思維導圖幫助學生梳理數學知識體系，形成知識網絡。一直在這樣做。11.錯題集整理：鼓勵學生整理錯題集，定期回顧和反思。12.小組合作學習：通過小組合作，共同解決問題，培養學生的團隊協作能力。13.挑戰難題：提供具有一定難度的題目，激發學生的挑戰欲望。

好奇是青少年的天賦，“問題是數學的靈魂”。有意義、有趣味的問題有其獨特的魅力可誘發學生的