1、章建躍 代數學習困難的心理學分析及解決措施數量關系的符號表示是代數的靈魂，它能使復雜的數量關系變化規律得到簡明表示，而且符號和表達式還能夠在探索解決問題的途徑中提供線索。代數學習中，學生通過式、方程、函數、不等式、數列等學習內容，接觸到語言的、數字的、符號的和圖像的等各種數學表示，在學習這些表示的過程中，體會和理解用符號語言、構造方程或函數的手段來表述各種關系、描述各種變化的方法。一、代數學習困難的心理學分析代數學習是在算術學習基礎上進行的。從心理學角度看，代數學習要以學生抽象邏輯思維的發展為基礎。學生在小學階段已經接觸過某些代數思想，例如用“設未知量為x”建立方程的方法解數學應用題，當然，對

2、“未知量x”含義的了解是非常膚淺的。進入初中后，學生要學習比較系統的代數內容，學習中會產生許多困難。1學生思維發展水平方面的原因。字母代數是由常量數學到變量數學轉變的開端。通過有關數、式、方程、函數等內容的學習，學生不但要掌握各種概念、運算法則，而且要學習各種代數變形的思想方法。通過代數學習，使學生的歸納、演繹、抽象、概括等思維形式都獲得發展。從運算的角度說，代數運算（特別是式的運算和函數運算）主要是一種形式化的符號變換，其抽象程度較高，不像小學數的運算那樣，有現實背景作為思維的強有力依托。因此，代數學習在促進學生邏輯思維發展的同時，又要以形式邏輯思維能力的發展作為基礎。心理學家曾經從（1）數

3、學概念形成水平的發展；（2）數學命題演算水平的發展和（3）數學推理能力水平的發展等三個方面研究了中學生形式邏輯思維水平的發展情況，研究表明：在概念形成水平的發展上，要經歷了解與認識概念、理解與掌握概念和靈活運用概念等階段。當前，學生（特別是初中學生）對概念的認識較多停留在感性的、初步的水平上，而對概念的發生發展過程、概念的內涵與外延，特別是對概念間的內在聯系的認識水平普遍較低。在數學命題演算水平的發展上，要經歷能對帶有全程量詞的簡單命題進行演算但不能理解命題演算過程中邏輯連接詞含義、能進行簡單命題的合并和否定演算、能進行符合命題的否定演算等三級水平。通過循序漸進的命題形式的演算，學生的命題演算

4、水平獲得了發展，而且呈現年齡特征。初二學生大都集中在第一級水平上，初三學生雖然在同一級水平層次上有所發展，但仍以第一級水平上的人數為多。進入高中后，第一級水平的發展似乎停止，后兩級有一個飛速發展。這與學生的思維水平趨向成熟有關，也與高中數學課程中直接學習集合、簡易邏輯等與命題演算直接相關的內容有關。所以，大多數初中學生的邏輯思維能力發展的水平較低。另外，學生掌握命題結構的能力普遍較低。數學推理可以分為似真推理和邏輯推理兩個方面。在解決問題的過程中，分析問題、選擇解法往往以似真推理為主，而解題方法的具體實施則多與邏輯推理相關。邏輯推理的發展要經歷四級水平：直接推理水平，即套用公式直接推出結論；間

5、接推理水平，即需要進行條件轉化、尋找依據、經過多個步驟得出結論；迂回推理水平，即需要深入分析條件及相互關系，提出假設，反復驗證后才得出結論；綜合性推理水平，即要按照一定的數理邏輯規則、格式進行推理，追求推理過程的簡練、合理。研究表明，中學生邏輯推理水平普遍較低，初一學生有一半以上不能套公式做題，高中學生還有人不能按公式進行一步推理；多步推理成為普遍難題，綜合性推理更是困難重重。由上所述可知，學生形式邏輯思維發展水平不夠是造成代數學習困難的主要原因之一。由于學生的思維發展有其自身的規律性，數學學習受到這種發展規律的制約，因此，在數學課程、教材和教學中，對學生提出恰當的要求是非常重要的。以下三條更

6、加直接針對了代數學習。2自然語言、數學語言的理解能力以及轉換能力方面的原因。數學知識使用專門的數學語言來表述，數學思維必須借助于數學語言才能進行。因此，數學語言既是數學思維的產物，又是數學思維的工具。數學學習的目的就是要學會一套具有一定系統性的數學語言符號體系，并能在遇到問題時采用恰當的數學符號對問題作出表示。這種學習是建立在自然語言能力基礎上的。研究表明，數學語言及自然語言理解能力低、數學語言與自然語言的相互轉換困難等都會導致代數學習的困難。首先，自然語言常常是模糊的，有不確定性。將自然語言不加限定而直接應用到數學中來，就有可能造成錯誤。有人舉過這樣一個例子：“一粒麥子構不成一堆，對于任何一

7、個數字n來說，如果n粒麥子構不成一堆的話，那么，n1粒麥子也構不成一堆。因此，任意多的麥粒都不能形成堆?！痹斐蛇@個悖論的原因就是因為用了自然語言中“堆”這個模糊概念。因為n粒麥子與n1粒麥子是否構成“堆”的界限是模糊的。為了克服這種模糊性，數學中常常對自然語言進行改造，加以限定、修飾，使其精確化，從而形成了數學語言簡練、明白、準確、形式化的特點。例如，“abba”表示交換律，“yf（x）”表示一元函數，等等。這些內容如果用自然語言來敘述的話，不僅復雜，而且還不一定準確。對數學語言表述的理解，學生之間有差異性。例如，有人以“2元紙幣的數目是5角紙幣數目的7倍，5角紙幣的總值比2元紙幣的中至多3.

8、60元，列方程求解2元、5角紙幣的數目”為題，要求學生列出方程，結果出現三種情況：（1）設x為5角紙幣的數目，方程為：5x20?x36；（2）設x為5角紙幣的數目，方程為：20?x5x36；（3）題目錯誤，不能求解。分析顯示，得出（1）的學生是根據語言表述的結構直接列方程；得出（2）的學生考慮了語言表述的實際內容，從符合實際的角度列出方程；得出（3）的學生綜合考慮了上述兩種情況。因此，心理學家認為，理解數學語言表述的句子，應從三方面進行：數學語言的句法結構、數學語言表達的實際內容（稱為語義內容）、句法與語義的關系。從學生代數學習的表現看，他們在上述三個方面都存在困難。3.數字運算不過關的原因。

9、小學學習的數字運算，即正有理數的加、減、乘、除等，是代數學習的必備基礎。所謂“數字運算過關”主要有三方面含義，一是能夠在一定算理的指導下，根據算法正確地完成運算任務；二是能夠根據題目特點，選擇恰當的算法，合理、迅速地進行運算；三是能夠對運算結果進行評估。這里特別強調正確前提下的運算速度問題，因為它不僅反映了學生對運算原理、法則理解的程度差異，而且還反映了運算習慣、思維概括能力等方面的差異。數字運算速度、運算習慣主要應當在小學階段培養。顯然，數字運算中內涵的這些關于運算的正確性、合理性、敏捷性、靈活性等品質，對于中學代數學習是至關重要。調查表明，由于小學數學教學中培養措施不當，導致許多學生錯過了

10、養成良好運算習慣、形成必備運算技能的機會，致使后續的代數運算出現困難。4.數字記憶廣度方面的原因。數字記憶廣度是指在一定的時間內所能夠記憶的數字容量，它反映了一個人對數字材料進行加工和處理、儲存和檢索的能力。數學學習要求學生能夠迅速而穩定地記憶學習材料。這里不僅需要他們能夠記住以往學過的定理、公式、法則等“結果”，而且還能夠對“結果”的來龍去脈、作用等有良好的記憶。做到這些的前提是在學習過程中對數學學習材料進行充分的加工，通過對數學語言的句法結構、語義及其兩者之間聯系的分析、對解題方案的深加工、挖掘數學思想方法等認知活動，盡量將學習材料中各種信息組合成“信息組快”，從而增加記憶容量、擴大記憶范

11、圍、延長記憶時間。研究表明，代數學習困難的學生普遍存在記憶容量少、記憶線索模糊、記憶層次不清、記憶順序混亂、記憶時間短等問題。造成這些問題的原因，主要是對數學學習材料中各種信息的組織、加工處理能力不足，長時記憶處于內容無序、結構混亂、提取線索不清晰的狀態等。二、解決代數學習困難的措施1.加強中小學數學的銜接。小學算術教學已經滲透了一些代數的基礎知識，不過，學生對這些知識的認識還非常膚淺。例如，許多學生認為，2x7與2y7的意義不同，因為它們所含的“未知數”不同。因此，初中代數入門教學，既要強調在學生已有代數知識基礎上開展新的代數教學，又要注意糾正學生在以往學習中形成的不恰當概念。負數的引入是代

12、數學習的第一個難點。解決這個難點的措施，一是讓學生從自己的生活經驗出發，充分認識到客觀世界中存在著許多具有相反意義的量，為了使它們在數學上得到準確的表示，就需要在已有正數的基礎上引進表示相反意義的量的方法負數；二是通過一定的數學運算，使學生感覺到只在正數的范圍內就不足以完成新的運算，從而產生引進負數的需要。在具體教學中，可以利用“數軸”這一有力工具，通過“順序”解決有理數的大小比較問題，在此基礎上，再解決“減去一個數等于加上這個數的相反數”這個難點。例如：計算2（5），由于2在（5）的右邊，比（5）大7，因此計算結果為7，相當于25。用字母表示數是從算術到代數的重要轉折點，但是，它的學習是建立

13、在算術學習基礎上的。教師應當通過具體數字運算，讓學生觀察，總結規律，形成對“用字母表示數”的必要性的認識。實際上，過去學過的運算律（交換律、結合律、分配律等）、簡單幾何圖形的面積、行程問題等知識，都能說明用字母表示數的重要意義：普遍性、應用的廣泛性等。初一教師還應當注意研究小學的教學方法。從思維發展角度看，初一學生的思維仍然處于直觀形象思維水平，與小學生基本上處于同一階段。教師應當充分注意這一特點，使教學符合學生的思維發展水平。教學中應充分利用學生已有的生活經驗，通過對典型的、數量足夠的實際事例的觀察、分析、概括等來理解抽象的數學內容，并讓學生有充分的反復練習機會。教學中還要注意數學思想方法的

14、銜接。例如，代數中的列方程解應用題是從小學的算術方法解應用題過渡而來的，它們的一個共同特點是尋找等量關系。這樣，本著比較兩種思想方法的目的，可以在開始階段讓學生用“算術法”和“代數法”解同一個問題。在教師的引導下逐漸使學生認識到，在“算術法”中，未知數處于特殊地位，解題時一般由已知數為先導，逐漸向前探索，在解題基本結束時才確立已知數與未知數之間的關系，這使題目的條件無法得到充分利用，導致解題困難。而“代數法”解題中，先用字母代替未知數，等于增加了一個條件，這個字母成為后續的分析和解決問題的有力“拐杖”。在尋找等量關系時，未知數始終和已知數處于同等地位，這就可以在解題過程中從整體出發，全面考慮情

15、況，這為等量關系的建立提供了極大方便。另外，未知數介入運算，在列式、計算上都比較簡捷。2.重視不同語言相互轉換的訓練。首先，教師應當注意學生在日常生活和語文學習中形成的自然語言對數學學習的影響。實際上，代數學習需要學生有較強的閱讀能力，代數知識的學習，首先是從對定義、定理、公式、法則等中的字詞含義的理解開始的，因此詞匯理解能力是代數學習的基礎（實際上也是整個數學學習的基礎）。教學中要注意讓學生辨析相同的文字、符號在自然語言和數學語言中語義上的差異。例如，代數中的主要概念“變量”，它不是用來表示某個具體的量，而是用來表示任意“可能的”量，字母“x”可以理解為任意實數。但在自然語言中，一個詞是否表

16、示變量則與具體語言背景有關。例如，“學生都學數學”這句話中的“學生”是一個變量，它是泛指在學校里學習的任意一個人的，但在“這個學生沒上數學課”這句話中的“學生”就不是變量了。其次，應當豐富學生的數學語言，培養學生理解數學語言的內涵和外延的能力，并逐漸使學生學會用數學語言表述思想。這里，數學概念的理解和掌握是豐富學生數學語言的主要途徑，教師應當要求學生不但記住數學概念的名稱，而且要掌握概念的產生背景和約束條件。數學原理、公式和法則等的學習則是建立數學語言句法結構的關鍵，因為數學是從數或形的角度對客觀事物進行研究的，形式化、符號化、模型化是數學研究的主要特征，這就使得數學日益成為形式系統，包括規定

17、數學詞匯，建立數學概念系統；規定數學詞匯如何構成公理的形成規則、公式變形的邏輯規則、以及作為推理的命題演算規則等，這些規則形成了數學語言的句法結構規則。而建立數學語言的語義與句法的邏輯聯系則主要通過數學知識的應用來完成，其中包含感知問題的視覺語言、將視覺語言轉化為數學文字符號或圖形、將數學文字符號依據一定的數學原理整合成數學語句、建立數學語句與數學定理、公式、法則等之間的聯系從而找到解決問題的關鍵等不同層次的認知活動。再次，要加強自然語言、數學符號語言、圖形語言相互轉換的實踐。例如，在代數入門階段，既可以讓學生由文字語言寫出代數式，也可以讓他們說出代數式所表達的意義；在應用題教學中，可以讓學生先用自然語言、圖表語言列式，然后引進代數符號建立等量關系，還可以讓學生用自己的語言（自然語言）敘述某個方程所表示的等量關系等。將抽象的數學語言轉化為自然語言（即用學生自己的語言闡述數學問題），把用符號或圖形、表格形式表示的關系轉化為自然語言的形式，把自然語言表述的關系轉化為數學符號、圖形、表格的表述形式，等等，都是非常重要的數學活動，也是解決代數學習困難的重要措施。最后，為學生提供數學交流的機會。讓學生“出聲