1、常微分方程練習卷（一）微分方程的一般概論與一階微分方程選擇題：1.可分離變量的微分方程sinxcosxdy-dlnydx=0的通解是( )。(A)(B) (C) (D)2.微分方程是( )。(A)可分離變量的議程(B)齊次微分方程(C)線性非齊次方程(D)貝努利方程3.微分方程滿足初始條件的特解為y=( )。(A)(B)(C)(D)4.微分方程，滿足的特解為( )。(A)(B)(C)(D)5.下列微分方程不是微性微分方程式的是( )。(A) (B)(C)(D)6.若微分方程為，則其通解為( )。(A)(B)(C)(D)7.一階線性性分方程的通解為( )。(A)(B) (C)(D) 8.下列微分

2、方程不是全微分方程的是（ ）(A)(B)(C)(D)9.微分方程滿足初始條件的特解為（ ）(A)(B)(C)(D)10.微分方程的通解為（ ）(A)(B)(C)(D)11.若微分方程有積分因子，則滿足（ ）(A)(B)(C) (D)12.若有辦可積函數滿足關系式，則（ ）(A)(B)(C)(D)13.若是方程的滿足條件的解，則（ ）(A) ln6(B)ln3 (C) ln7(D) ln514.滿足方程的解是（ ）(A) (B) (C) (D) 15.設函數由方程確定，且知有一點，使，則（ ）(A) 在處取極大值(B) 在處取極小值(C) 在處不取極值(D) 不能確定在處是否取極值16.滿足，那

3、么（ ）(A) (B) (C) (D) 17.設可微函數滿足，那么等于是（ ）(A) (B) (C) (D) 答案：1.2. 3.4.5.6.7. 8.9. 10. 11. 12. 13.14. 15.16.17.1. 通解為的微分方程是_。2. 微分方程的通解為_。3. 微分方程的通解為_。4. 微分方程的通解為_。5. 以圓族為積分曲線族的一階微分方程是_。6. 方程族可稱為_方程，其中若_時，作變換，代入方程后，確定出、；變成含變量，齊次方程；若_時，作變換_可化成_的方程。7. 若，在單連能區域G內具有連續的一階偏導數，一階微

4、分方程為，則其為全微分方程的充要條件為_。8. 微分方程滿足初始條件的特解為_。9. 微分方程的通解為_。10. 微分方程的通解為_。11. 若已知，則_。12. 微分方程的通解為_。13. 微分方程滿足條件的特解為_。14. 微分方程滿足初始條件的特解為_。15. 若函數可導，且對任何有，則函數_。解答題：1 求下列微分方程，2 給定一階微分方程，試求：方程的通解；過點（2，5）的特解；與直線相切的曲線方程。3 物體在空氣中的冷卻速度與物體的溫差成正比，如果物體在20分釧內由100冷卻至60，那么在多長時間內這處物體的溫度達到30（假設空氣溫度為20）？4 求下列可分離變量微分方程的通解：5

5、 已知曲線過點（1，1/3），且在曲線上任何一點的切線斜率等于自原點到該切點的連線的斜率的兩倍，求此曲線方程。6 求下列齊次微分方程的通解：7 求下列一階線性方程的特解：8 飛機從地面起飛后，以速度v飛行，已知速度在垂直方向的公里/秒，其中H表示收音機與地面的距離，求上升高度H與時間的關系。9 設有微分方程，其中，試求在內的連續函數，使之在內和內都滿足所給方程，且滿足條件y(0)=0。10 求解下列微分方程：11 已知，求。12 求的通解。13 求方程滿足的特解。14 求曲線方程，使其切線長那切點和切線與x軸交點之間的線段長度為常數a。15 子彈以的速度打進厚度為h=20cm的培墻壁，穿過后以

6、的速度而飛出。假定墻壁對子彈運動阻力和速度平方成正比，求子彈穿過墻壁的時間。16 一質量為m的物體，在常力p的作用下沿直線運動，設開始時速度和路都等于零，而阻力與速度的平方成正比。試求速度、路程與時間的函數關系。17 已知曲線的切線和切點的矢徑相交成定角，求此曲線。18 求經過點（0，2）的曲線，使對應于區間0，x上的曲邊梯形的面積等于該段弧長的兩倍。19 求具有性質的函數，已知存在。20 設y(x)在x上連續可微，且，求證：。21 利用積分因子解伯努利方程：。22 設f(x)在x上連續且（b是某一常數）。求證：當a0時，方程的一切解當x時趨于b/a；而當a0時，方程有且只有一個解有此性質。23 當x1時，函數恒有，將曲線，二直線以及x軸這四者所圍成的圖形繞x軸放置一周所產生的立體體積設為，對于適合的一切a恒有 ，試解答下列各問：求關于的微分方程；設，利用求得的微分方程，試求關于z的微分方程；當時，求。24 設將質量為m的物體在空氣中以速度v0豎直上拋，空氣阻力為R=kv，試求速度與時間的函數關系。