1、精選優質文檔-傾情為你奉上2019年普通高等學校招生全國統一考試數 學（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知復數z=2+i，則（A）（B）（C）3（D）5（2）執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）1 （B）2（C）3 （D）4（3）已知直線l的參數方程為（t為參數），則點（1，0）到直線l的距離是（A） （B） （C） （D） （4）已知橢圓（ab0）的離

2、心率為，則（A）a2=2b2（B）3a2=4b2（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x，y滿足，且y1，則3x+y的最大值為（A）7（B）1（C）5（D）7（6）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）1010.1（7）設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）數學中

3、有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）給出下列三個結論：曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3其中，所有正確結論的序號是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）函數f（x）=sin22x的最小正周期是_（10）設等差數列an的前n項和為Sn，若a2=3，S5=10，則a5=_，Sn的最小值為_（11）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示如果網格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為_（12）已

4、知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個論斷：lm；m；l以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：_（13）設函數f（x）=ex+aex（a為常數）若f（x）為奇函數，則a=_；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是_（14）李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促銷活動中，

5、為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為_三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（BC）的值（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E為PD的中點，點F在PC上，且（）求證：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）設點G在PB上，且判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由（17）（本小題13分）改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變近年來，移動支付已

6、成為主要支付方式之一為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000（1000，2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；（）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化現從樣本僅使用A的學生中，隨

7、機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由（18）（本小題14分）已知拋物線C：x2=2py經過點（2，1）（）求拋物線C的方程及其準線方程；（）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點A和點B求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點（19）（本小題13分）已知函數（）求曲線的斜率為1的切線方程；（）當時，求證：；（）設，記在區間上的最大值為M（a）當M（a）最小時，求a的值（20）（本小題13分）已知數列an，從中選取第i1項、

8、第i2項、第im項（i1<i2<<im），若，則稱新數列為an的長度為m的遞增子列規定：數列an的任意一項都是an的長度為1的遞增子列（）寫出數列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；（）已知數列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為，長度為q的遞增子列的末項的最小值為若p<q，求證：<；（）設無窮數列an的各項均為正整數，且任意兩項均不相等若an的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s1，且長度為s末項為2s1的遞增子列恰有2s-1個（s=1，2，），求數列an的通項公式2019年普通高等學校招生全國統一考試數學（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（

9、共8小題，每小題5分，共40分）（1）D（2）B（3）D（4）B（5）C（6）A（7）C（8）C二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）（10）0 （11）40（12）若，則.（答案不唯一）（13） （14）130 15三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（）由余弦定理，得.因為，所以.解得.所以.（）由得.由正弦定理得.在中，B是鈍角，所以C為銳角.所以.所以.（16）（共14分）解：（）因為PA平面ABCD，所以PACD又因為ADCD，所以CD平面PAD（）過A作AD的垂線交BC于點M因為PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD如圖建立空間直角坐標系A-xyz

10、，則A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）因為E為PD的中點，所以E（0，1，1）所以所以.設平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，則于是又因為平面PAD的法向量為p=（1，0，0），所以.由題知，二面角F-AE-P為銳角，所以其余弦值為（）直線AG在平面AEF內因為點G在PB上，且，所以.由（）知，平面AEF的法向量.所以.所以直線AG在平面AEF內.（17）（共13分）解：（）由題意知，樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人，僅使用B的學生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A，B兩

11、種支付方式都使用的學生有10030255=40人.所以從全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率估計為.（）X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”.由題設知，事件C，D相互獨立，且.所以，=0.4×（10.6）+（10.4）×0.6=0.52，.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數學期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=

12、1.（）記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.假設樣本僅使用A的學生中，本月支付金額大于2000元的人數沒有變化，則由上個月的樣本數據得.答案示例1：可以認為有變化.理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發生.一旦發生，就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數發生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機事件，P（E）比較小，一般不容易發生，但還是有可能發生的，所以無法確定有沒有變化.（18）（共14分）解：（）由拋物線經過點，得.所以拋物線的方程為，其準線方程為.（）拋物線的焦點為.設

13、直線的方程為.由得.設，則.直線的方程為.令，得點A的橫坐標.同理得點B的橫坐標.設點，則，.令，即，則或.綜上，以AB為直徑的圓經過y軸上的定點和.（19）（共13分）解：（）由得.令，即，得或.又，所以曲線的斜率為1的切線方程是與，即與.（）令.由得.令得或.的情況如下：所以的最小值為，最大值為.故，即.（）由（）知，當時，；當時，；當時，.綜上，當最小時，.（20）（共13分）解：（）1，3，5，6.（答案不唯一）（）設長度為q末項為的一個遞增子列為.由p<q，得.因為的長度為p的遞增子列末項的最小值為，又是的長度為p的遞增子列，所以.所以·（）由題設知，所有正奇數都是中的項.先證明：若2m是中的項，則2m必排在2m1之前（m為正整數）.假設2m排在2m1之后.設是數列的長度為m末項為2m1的遞增子列，則是數列的長度為m+1末項為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數都是中的項.假設存在正偶數不是中的項，設不在中的最小的正偶數為2m.因為2k排在2k1之前（k=1，2，m1），所以2k和不可能在的同一個遞增