1、合作探究探究點(diǎn)1 一元二次方程的定義情景激疑下列方程有什么特點(diǎn)？（1）；（2）；（3）.知識講解通過化簡后，只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)也不是0的整式方程是一元二次方程.整式方程是指方程兩邊是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程.典例剖析例1 判斷下列方程是不是一元二次方程，如果是，在題后的括號內(nèi)打“”；如果不是，在題后的括號內(nèi)打“×”（x為未知數(shù)）(1)( )(2)( )(3)( )(4)( )(5)( )解析(1)因?yàn)槭钦椒匠蹋赃@個(gè)方程可化簡為0=0或的形式，而這兩種形式都不符合一元二次方程的定義，因此，方程不是一元二次方程.(2)方程符合一元二次方程的定義，因此

2、，方程是一元二次方程.(3)方程符合一元二次方程的定義，因此，方程是一元二次方程.(4)因?yàn)榉匠讨泻瑑蓚€(gè)未知數(shù)，所以此方程不是一元二次方程.(5)當(dāng)m=0時(shí)，此方程中不存在二次項(xiàng)，所以此方程不一定是一元二次方程.答案 (1)× (2) (3) (4)× (5)×類題突破1 在方程，中，一定是一元二次方程的有( )A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè)答案 C點(diǎn)撥 一定是一元二次方程.方法提示判斷一個(gè)方程不是一元二次方程，不能只看形式，要先化簡，再看是否符合一元二次方程的定義.探究點(diǎn)2 元二次方程的一般形式 情景激疑通過變形，你能否把一個(gè)一元二次方程變成的形式

3、？這種形式有什么作用？知識講解一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理,都能化成如下形式.這種形式叫做一元二次方程的一般形式,其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng),叫做一次項(xiàng)系數(shù)；叫做常數(shù)項(xiàng).一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)， 所以，此方程就不是一元二次方程.典例剖析例2 寫出一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).解析 要確定二次項(xiàng)系教、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式，因?yàn)楦黜?xiàng)名稱都是在方程為一般形式的前提下定義的.答案 去括號，得,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得方程的一般形式為.所以，方程的二次項(xiàng)系

4、數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是3,常數(shù)項(xiàng)是一1.類題突破2 把方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).答案 去括號,得.移項(xiàng)、含并同類項(xiàng)，得.其中二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是36,常數(shù)項(xiàng)是-32.點(diǎn)撥 將方程整理成的形式，再確定二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)即可，注意每一項(xiàng)都包括它前面的符號.類題突破3 將方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).答案 去括號，得.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得.其中二次項(xiàng)是，二次項(xiàng)系數(shù)是2,一次項(xiàng)是2x，一次項(xiàng)系數(shù)是2,常數(shù)項(xiàng)是一4.點(diǎn)撥 利用完全平方公式和平方差公式先把化成的形式，再確定各項(xiàng)及

5、對應(yīng)的系數(shù).探究點(diǎn)3(高頻考點(diǎn)) 一元二次方程根的定義 情景激疑一元一次方程一定有解嗎？若定有，有幾個(gè)？一元二次方程呢？知識講解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是這個(gè)一元二次方程的解.又因只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.典例剖析 例3 下列是方程的根是( )A. B. C. D.解析當(dāng)時(shí)，原方程左邊右邊，滿足一元二次方程根的定義；當(dāng)時(shí)，原方程左邊右邊，滿足一元二次方程根的定義，所給的其他的解代入均不符合要求.故選項(xiàng)D正確.答案 D類題突破4 下列是方程的根的是 ( )A. B. C. D.答案 B點(diǎn)撥 根據(jù)一元二次方程的根的定義，

6、把選項(xiàng)中的值逐個(gè)代入方程，使方程左右兩邊相等的即為正確答案.類題突破5 若為關(guān)于x的一元二次方程的根，則的值為 ( )A.1 B.-1 C.2 D.-2答案 B點(diǎn)撥 因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程的根，所以把代入方程得,所以，,又因，所以.探究點(diǎn)4 從實(shí)際問題中找等量關(guān)系，列一元二次方程 情景激疑九章算術(shù)有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何?”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？你能列出方程解答嗎?知識講解在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出朱知數(shù)

7、，列出一元二次方程.典例剖析例1 某超市今年的營業(yè)額為280萬元，計(jì)劃后年的營業(yè)額為350萬元，求平均每年的增長率.（列出方程化為一般形式，不解答）答案 設(shè)平均每年的增長率為x,根據(jù)題意得.整理得.點(diǎn)撥 今年到后年間隔2年，問題所包含的相等關(guān)系為：今年的營業(yè)額×（1+年平均增長率）2=后年的營業(yè)額.類題突破6 某地區(qū)開展“科技下鄉(xiāng)“活動(dòng)三年來，接受科技培訓(xùn)的人員累計(jì)達(dá)95萬人次，其中第一年培訓(xùn)了20萬人次，設(shè)每年接受科技培訓(xùn)的人次的平均增長率都為x，根據(jù)題意列出的方程是_.答案 點(diǎn)撥 本題中的相等關(guān)系為：第一年培訓(xùn)人數(shù)+第二年培訓(xùn)人數(shù)+第三年培訓(xùn)人數(shù)=95萬.列方程得.重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)

8、1 一元二次方程概念的應(yīng)用一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件:整式方程,即等號兩邊都是整式，方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2.例1 已知關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值為_.解析 因?yàn)榉匠淌顷P(guān)于x的一元二次方程，所以m的值必滿足所以所以.答案 方法提示一元二次方程應(yīng)滿足：未知數(shù)的最高次數(shù)是2,二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.類題突破1 若是關(guān)于x的一元二次方程，則A. B. C. D.為任意實(shí)數(shù)答案 C點(diǎn)撥 判斷一個(gè)方程是一元二次方程要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.重難點(diǎn)2 元二次方程的一般形式的應(yīng)用 一元二次方程的一般形式是條件與一元二次方程有如下關(guān)系： 是一元二

9、次方程.另外a，b，c的符號一定要弄正確，這是以后正確解方程的基礎(chǔ).例2 元二次方程化成一般形式為，試求(2a+b) 3c的值.解析 將原方程進(jìn)行整理,從而得到關(guān)于a、b、c的方程組， 求出a、b、c的值再代入求值.答案 原方程整理為.解得類題突破2 當(dāng)m=_時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程.答案 1點(diǎn)撥 因?yàn)榉匠桃咽亲詈喰问剑惯@個(gè)方程是一元二次方程，則所以m=1。易錯(cuò)警示這個(gè)問題容易忽略二次項(xiàng)系數(shù)，只注重二次項(xiàng)的未知數(shù)的次數(shù)是2.由一元二次方程的定義可知，當(dāng)這兩個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，此方程才是一元二次方程.重難點(diǎn)3 元二次方程根的應(yīng)用 通過對一元二次方程的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)：一元一次方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)

10、解(根)，而一元二次方程有兩個(gè)解(根),如： 因?yàn)閤=2或x= 3都能使方程的左右兩邊相等，所以x=2和x=-3都是這個(gè)方程的根.記作，.(2) 元二次方程可化為，所以x+1=0，所以x= -1，規(guī)定記作，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(3) 方程也是一元二次方程,因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍不存在實(shí)數(shù)x,使方程的左右兩邊相等，所以這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根.但是，它在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然有兩個(gè)解(根)(進(jìn)人高中階段就能學(xué)到，現(xiàn)在知道即可).綜上所述，一元二次方程若有解一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.設(shè)是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩個(gè)等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量. 例3 關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)a

11、的值為 ( )A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或1解析 先把x=0代入方程求出a的值，然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，把a(bǔ)=1舍去.答案 A類題突破3 已知x=1是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為_.點(diǎn)撥 將x=1代入方程，得，.類題突破4 已知x=1是一元二次方程的一個(gè)解，且，求的值.答案 把x=1代入方程，得，又，所以.點(diǎn)撥 因?yàn)椋钥梢曰啚椋灾灰褁=1代入原方程確定a+b的值即可.歸納總結(jié)若，則是一元二次方程的一個(gè)根；反之，若是一元二次方程的一個(gè)根，則.重難點(diǎn)4 列一元二次方程 列出一元二次方程的關(guān)鍵是審清題意，辨明問題中的已知量和未知量,找出它們之間的數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出

12、未知數(shù).例4 如圖所示，MN是一面長10m的墻，要用長24m的籬笆，圍成一個(gè)一面是墻、中間隔著一道籬笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的設(shè)計(jì)面積為，花圃的寬應(yīng)當(dāng)是多少？若設(shè)花圃的寬為，則所列方程應(yīng)為_.（填一般形式）解析 設(shè)矩形花圃ABCD的寬AB為x m，那么它的長BC是.根據(jù)問題中給出的等量關(guān)系，得對方程.化為一般形式為.答案 類題突破5 根據(jù)下列問思列一元二次方程，并將方程化為一般形式.(1) 三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方和是251,求這三個(gè)數(shù)； (2) 一塊長方形花壇，長20m，寬8m，在它的四周有等寬的鵝卵石路，形成一個(gè)大長方形，其面積是花壇面積的1.8倍，求路的寬度；(3) 用一根長30 m的鐵

13、絲折成個(gè)斜邊長13 cm的直角三角形，求這個(gè)三角形的直角邊長.答案 (1) 解：設(shè)中間的奇數(shù)為x，則，化為-般形式.(2)解:設(shè)路的寬度為x m，則,化為一般形式,；(3)解：設(shè)一條直角邊長為x cm,則另一條直角邊長為，則，化為一般形式:.點(diǎn)撥 （1)設(shè)中間的數(shù)為x，然后表示出其他兩個(gè)數(shù)，然后求平方和即可確定方程；(2)設(shè)道路的寬為x米,然后表示出改造后的長方形的長和寬,從而利用面積公式列出方程即可；(3)設(shè)出其中一條直角邊長，然后表示出另一條直角邊的 長，利用勾股定理列出方程即可.易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1 對一元二次方程的定義理解不準(zhǔn)確例1 若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 ( )A. B. C. D. 錯(cuò)解 A錯(cuò)因分析 由方程為一元二次方程，有，錯(cuò)解錯(cuò)在沒有準(zhǔn)確把握一元二次方程的定義，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件.正解 C糾錯(cuò)心得 如果一個(gè)方程為一元二次方程，既要保證二次項(xiàng)的次數(shù)為2，又要保證二次項(xiàng)系數(shù)不為零，二者缺一不可.易錯(cuò)點(diǎn)2 忽略一元二次方程的一般形式 例