1、不定積分換元法第一頁，共46頁。第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設, )()(ufuF)(xu可導,xxxfd)()( ( )FxC)(d)(xuuuf)()(xuCuF)d(dFxx ( )( )fxx則有第二頁，共46頁。一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1.,)(有原函數設uf,)(可導xu則有換元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也稱也稱即xxxfd)()(湊微分法湊微分法)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三頁，共46頁。機動 目錄 上頁 下頁 返回

2、 結束 例例1 1 求求sin2.xdx解解（一）（一）sin2xdxsin2)2d(xx1cos2;2xC 解解（二）（二）sin2xdx2 sin cosxxdx2 sin(si)nxdx2ux令原式1sin2udu1cos2uC cos2xC 12第四頁，共46頁。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2sin;xC解解（三）（三）sin2xdx2 sin cosxxdx2 cos)cos(xdx 2cos.xC sinux令原式2 udu2uCcosux2 udu 第五頁，共46頁。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2 2 求求1.32dxx解解132dxx1(313222 ) d

3、xxx112duu1ln |2uC1ln |32 |.2xC()f axb dx1( )u ax bf u dua一般地一般地32ux() ()f axb d axb1321()322dxx=1a第六頁，共46頁。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3 3 求求1.(12ln )dxxx解解1(12ln )dxxx1()12l2 nn11l2dxxxuln21 112duu1ln |2uC1ln |12ln|.2xC第七頁，共46頁。22)(1d1axxa例例. 求求.d22xax解解:22dxax21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21duuCu

4、arctan)(ax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xua2d11 ( )xaxaa說明：熟悉第說明：熟悉第一類換元法之一類換元法之后，就沒有必后，就沒有必要寫出中間變要寫出中間變量的代換過程量的代換過程P160, 公式公式(18) SCU第八頁，共46頁。例例3. 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P160, 公式公式(21) SCU第九頁，共46頁。例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxx

5、xsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 類似P160, 公式公式(14, 15) SCUln secxC第十頁，共46頁。Caxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P160, 公式公式(19,20) SCU第十一頁，共46頁。常用的幾種湊微分形式常用的幾種湊微分形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a

6、1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬萬能能湊湊冪冪法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十二頁，共46頁。xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十三頁，共46頁。例例7. 求求.d3xxex解解: 原式原式 )3d(323xexCex332例例8. 求求.dsec6xx

7、解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十四頁，共46頁。例例9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結果一樣兩法結果一樣機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十五頁，共46頁。xxsin11sin1121例例10. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2x

8、x2sin1sinddsin xxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十六頁，共46頁。xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P199 例例18 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P160, 公式公式(16, 17) SCU第十七頁，共46頁。222d)(2123xax例例11. 求求.d)(23223xaxx解

9、解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十八頁，共46頁。)2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C機動 目錄 上頁 下頁 返回

10、結束 第十九頁，共46頁。例例13. 求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考：思考：34sincosd .xx x34tansecd .xx x46tansecd .xx x第二十頁，共46頁。xxexex111xexexxxd

11、d xexxd) 1(例例14. 求求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 分析分析: 第二十一頁，共46頁。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1515 求求解解21.4arcsin2dxxx21d4arcsin2xxx21d21arcsin22xxx1d(arcsin)2arcsin2xxln arcsin.2xC第二十二頁，共46頁。機動 目錄 上頁 下頁 返

12、回 結束 解解2cos1,xu ( )1,f uu ( )1f uu du21,2uuC21( ).2f xxxC例例14 設設 求求22(sin)cos,fxx( )f x2sin,ux令第二十三頁，共46頁。例例15. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式xxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()(xfxf22( )( )( ) ( )d( )( )f xfxfx f xxfxfx第二十四頁，共46頁。小結小結常用簡化技巧:(1) 分項積分:(2) 降低冪次:(3

13、) 統一函數: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用積化和差; 分式分項;利用倍角公式 , 如cos3 cos2 dxx xex13, P164, SCU第二十五頁，共46頁。思考與練習思考與練習1. 下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d2222

14、1)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二十六頁，共46頁。xxxd) 1(1102. 求求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作業 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二十七頁，共46頁。二、第二類換元法二、第二類換元法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一類換元法解決的問題難求易求xxxfd)()(uufd)()(

15、xu若所求積分xxxfd)()(易求,則得第二類換元積分法 .難求，uufd)(第二十八頁，共46頁。CxF)()()()(ttft定理定理2 . 設設)(tx是單調可導函數 , 且,0)( t)()(ttf具有原函數 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函數是其中txxt證證:的原函數為設)()(ttf, )(t令 )()(1xxF則)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則有換元公式第二十九頁，共46頁。例例16. 求. )0(d22axxa解解: 令令,

16、 ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三十頁，共46頁。例例17. 求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln機動 目錄 上頁 下

17、頁 返回 結束 xa1CP160, 公式公式(22) SCU第三十一頁，共46頁。例例18. 求. )0(d22aaxx解解:,時當ax 令, ),0(,sec2ttax則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22ax axa可以可以不管不管具體具體形式形式P160, 公式公式(22) SCU第三十二頁，共46頁。,時當ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時a

18、x 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 可以不管具體形式第三十三頁，共46頁。原式21) 1(22ta221a例例19. 求求.d422xxxa解解: 令令,1tx 則則txtdd21原式ttd12122 2(1)da ttt 42112tta Cata2223) 1(23Cxaxa32223)(23) 1(d22ta機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法一：三角代換解法一：三角代換解法二：倒代換解法二：倒代換第三十四頁，共46頁。小結小結:1. 第二類換元法常見類型第二類換元法常見類型: ,d),(

19、) 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第四節講第四節講31.(1)dxxx根式代換根式代換Ex21, P167, SCU第三十五頁，共46頁。(14)tandxx (15)cot dx x (16)sec dx x (17)csc dx x Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 常用

20、基本積分公式的補充常用基本積分公式的補充 (P205, P160(SCU)(7) 分母中因子次數較高時分母中因子次數較高時, 可試用可試用倒代換倒代換 ,d)()6(xafx令xat 第三十六頁，共46頁。221(18)d xax221(20)dxax221(21)dxxa221(19)dxxaCaxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22221(22)dxxaCaxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三十七頁，共46頁。222221(23)darcsin22axaxxx axCa22(24)dxax22222ln |22xaxaxxaC機動 目錄

21、 上頁 下頁 返回 結束 川大教材沒有公川大教材沒有公式式(24)第三十八頁，共46頁。.32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P205 公式 (20) )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例20. 求求例例21. 求求.94d2xxI解解:221d232xIx219ln24xxC(P206 公式 (23) )第三十九頁，共46頁。例例22. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x(P206 公式 (22) )2521xCx512arcsin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例23. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexarcsin(P206 公式 (22) )根式代換；三角代換第四十頁，共46頁。例例24. 求.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三角代換第四十一頁，共46頁。ttttd)1(12132例例25. 求求.2) 1(d23xxxx解解: 原式原式1) 1() 1(d23xxx令t