1、第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，全集，則（ ）A B C D2.已知為虛數單位，若為純虛數，則復數的模等于（ ）A B C D3.已知，則下列結論正確的是（ ）A是偶函數 B是奇函數C是偶函數 D是奇函數4. 過雙曲線的一個焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，若垂線的延長線與軸的交點坐標為，則此雙曲線的離心率是（ ）A B2 C D5.現有4種不同的顏色為我校校訓四個主題詞（如圖）涂色，則相鄰的詞語涂色不同的概率為（ ）A B C D6.如圖所示的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成

2、，它們的圓心分別是，動點從點出發沿著圓弧按的路線運動（其中五點共線），記點運動的路程為，設，與的函數關系為，則的大致圖象是（ ）7.執行如圖所示的程序，若，則輸出的值是（ ）A3 B4 C5 D68.設，且，則（ ）A B C D9.不等式組的解集記為，有下面四個命題：；.其中的真命題是（ ）A B C D10.已知點是拋物線與圓在第一象限的公共點，且點到拋物線焦點的距離等于，若拋物線上一動點到其準線與到點的距離之和的最小值為，為坐標原點，則直線被圓所截得的弦長為（ ）A2 B C D11.已知函數，若對任意的，在區間總存在唯一的零點，則實數的取值范圍是（ ）A B C D12.如圖，網格紙上

3、小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球半徑為（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.在的展開式中，含項的系數為 .14.在一個俱樂部里，有老實人和騙子兩類成員，老實人永遠說真話，騙子永遠說假話，一次我們和俱樂部的四個成員談天，我們便問他們：“你們是什么人，是老實人？還是騙子？”這四個人的回答如下：第一個人說：“我們四個人全都是騙子”；第二個人說：“我們當中只有一個人是騙子”；第三個人說：“我們四個人中有兩個人是騙子”；第四個人說：“我是老實人”.請判斷一下，第四個人是老實人嗎？ .（請用“是”或“否”作答）1

4、5.已知分別是的中線，若，且，則與的夾角為 .16.在四邊形中，則的最大值為 .三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. （本小題滿分12分）設是數列的前項和，已知，.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.18. （本小題滿分12分）為評估設備生產某種零件的性能，從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件最為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：經計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零點中任意抽取一件，記其直徑為，并根據以下不等式進行評判（表示相應事件的頻率）；.評判規則為：

5、若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙，若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級.（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品（）從設備的生產流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數的數學期望；（）從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數的數學期望.19. （本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等比三角形，過作平面平行于，交于點.（1）求證：；（2）若四邊形是正方形，且，求二面角的余弦值.20. （本小題滿分12分）已知橢圓的左焦點為，離心率為，直線與橢圓相交于兩點，當軸時，的周長最大值為8.（1）求橢圓的

6、方程；（2）若直線過點，求當面積最大時直線的方程.21. （本小題滿分12分）已知函數.（1）若函數存在單調增區間，求實數的取值范圍；（2）若，證明：，總有.請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，四邊形是圓的內接四邊形，是圓的直徑，的延長線與的延長線交于點，過作，垂足為點.（1）證明：是圓的切線；（2）若，求的長.23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上.（1）若直

7、線與曲線交于兩點，求的值；（2）求曲線的內接矩形的周長的最大值.24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數，且關于的不等式對恒成立.（1）求實數的最大值；（2）若正實數滿足，求的最小值.參考答案CBDAC ACDCC BC13.45 14.是 15.120 16.817.（1）當時，由，得：，兩式相減，得：，.當時，則，數列是以為首項，公比為3的等比數列，.（2）由（1）得：，-得：.18（1）因為設備的數據僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙；（2）易知樣本中次品共6件，可估計設備生產零件的次品率為0.06.（）由題意可知，于是，（）由題意可知的分布列為故.19（1）證：連結，

8、設與相交于點，連接，則為中點，平面，平面平面，為的中點，又是等邊三角形，（2）因為，所以，又，所以，又，所以平面，設的中點為，的中點為，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.則，即，設平面的法向量為，由，得，令，得，設平面的法向量為，由，得，令，得，故所求二面角的余弦值是.20（1）設橢圓的右焦點為，由橢圓的定義，得，而的周長為，當且僅當過點時，等號成立，所以，即，又離心率為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立得.設，則，且，所以令，則式可化為.當且僅當，即時，等號成立.所以直線的方程為或.21（1）由已知得，因為函數存在單調增區間，所以方程有解.而恒成立，即有解，所以，又，所以.（2）因為，所以，所以，因為，所以，又對于任意，要證原不等式成立，只要證，只要證，對于任意上恒成立，設函數，則，當時，即在上是減函數，當時，即上是增函數，所以，在上，所以.所以，（當且僅當時上式取等號）設函數，則，當時，即在上是減函數，當時，即在上是增函數，所以在上，所以，即，（當且僅當時上式取等號），綜上所述，因為不能同時取等號，所以，在上恒成立，所以，總有成立.22（1）證明：連接，是圓的直徑，是圓的切線.（2）是圓的直徑，即.，點為的中點，.由割線定理：，且，得.在中，則為的中點.，在中，.的長為.