1、高等數學教 案課程名稱微積分初步授課專業、班級08工程造價課程類型 專業基礎課 課程學時數68課程學分數4學分 教材版本_高等數學孫偉主編_考核方式 考勤、理論、平時成績、期末考試 授課教師授課時間 08.092008 2009 學年第 一 學期一 、課程單元、章節 第一章 函數、極限與連續二 、教學要求 1 理解函數的概念，掌握函數的表示方法。2 了解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。3 理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。4 掌握基本初等函數的性質及其圖形。5 會建立簡單應用問題中的函數關系式。三、 重點和難點 1 . 重點： 基本初等函數的性質及其圖形 2 . 難

2、點：復合函數及分段函數的概念。四、教學進度：理解函數的概念，掌握函數的表示方法。1.了解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。2.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。3.掌握基本初等函數的性質及其圖形。4.會建立簡單應用問題中的函數關系式。五、課時數 4六、教學方式： 課堂講解，學生課堂課后練習七、作業：教材第9頁 1，3，4，7，10八、參考書籍：應用高等數學上， 翟向陽主編， 上海交通大學出版社高等數學盛驟 等編 ，浙江大學出版社九、教學小結：本章的主要內容在中學已講過，在教授時注意將以前所學的知識作系統的回顧，并作適當的加深，使學生對初等函數形成比較完整的概念，為學習

3、定積分奠定良好的基礎。學生對該章節的內容反映較好。十、教學過程及內容：§1.1 函數1。1。1 函數的概念定義設為點集，則映射：稱為定義在上的函數，記為，其中：稱為函數的定義域，稱為自變量，稱為因變量。稱為函數的值域。函數常用，等表示，如，等。函數的定義域：使得表達式（算式）有意義的全體實數。如， ，集合稱為函數的圖形。 函數的參數變形（復習）。例： 例： 函數的圖像 函數圖像的描繪。（描點法，舉例介紹） 函數圖像的平移： 例：平移一單位后，解析式是？ 函數的單調性則f(x)單增。反之單減。從圖像上看，單增的圖像在x 的正方向上往上。即例：判斷的單調性。（單增） 以后判斷函數的單調性

4、還有別的方法，例如利用復合函數地方法和導數地方法。 函數的奇偶性奇函數： ，偶函數：奇函數和偶函數定義域對稱。例：函數綜合復習題。1. 1.2 初等函數與復合函數1基本初等函數（要求能做出圖像，定義域。注意牢記。） 1）冪函數：，定義域 以為例2）指數函數：，定義域 例如：3）對數函數： 定義域4）三角函數：，5）反三角函數：，例題：1，做出函數的圖像。 2，做出函數的圖像。 3，求的定義域。 4，求的定義域。 注意分以及它的奇偶性討論。2初等函數: 由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合所構成并可由一個式子表示的函數稱為初等函數。如， 不是初等函數。是初等函數。注意，要能區分初等

5、函數和復合函數。例：3復合函數 設定義域為，定義域為，而且，則稱為由與復合而成的復合函數，記為（）為與可以復合的條件。如與不能復合。有時，與復合的定義域可能是的定義域的一部分，如與復合得的定義域為為的定義域的一 部分。 單調性相同的函數復合成增函數，單調性不同的函數復合成減函數。 例1. 求下列函數的定義域4。分段函數：不同的區間段對應不同的解析式，這時候往往用分段函數來表示。例如 常見的經濟函數 1 需求函數 Qd=Qd(p) 一般是減函數。 2 供給函數 Qs=Qs(p) 一般是增函數。 3 成本函數 C=C0+C1C0是固定成本，一般為常數，C1是變動成本，是產量的函數，即C1= C1(

6、q)。4 收入函數 R=pq=qp(q) q為產量,這里價格一般是產量的函數。5 利潤函數 L=R-C §1.2函數的極限1.2.1極限的概念 1 數列的極限數列是自變量為自然數的函數，.當時，若 稱是的極限，記為是一個有限的常數。 例：求下列數列的極限 ， ， 數列極限的基本性質數列若有極限，則極限唯一。有極限的數列一定有界，有界的數列不一定有極限。無界的數列一定無極限。注：有界例如： ，.都有界但無極限。對第二條簡要證明:只需考察當時，是否是個有限數。由 容易得到。 2 函數的極限（1）自變量趨向于無窮時函數的極限例，且時，時，.定義：當時，若 稱是當時的極限。 記為是一個有限的

7、常數。例： 求極限 ， ， ， 思考 是否存在？(2) 自變量趨向于某一個有限值時函數的極限 定義3：當時，若 稱是當時的極限。 記為是一個有限的常數例3：求 思考： 是否存在？(3)單側極限 思考？ 兩函數從左邊趨近0和從右邊趨近于0時，從左邊趨近0時 從右邊趨近于0時 當是從左邊趨近時，記為當是從右邊趨近時，記為 定義3 若時 稱是在時的左極限。記為時 稱是在時的右極限，記為左極限和右極限統稱單側極限。 在存在極限左右極限存在且相等。即 例2：判斷下列函數在是否有極限極限的運算法則 例4：求下列極限 一般地： 例5：練習 ：， 例6：求極限 ：1.2.3 無窮小量與無窮大量無窮小量 1 定

8、義：如果當（或）時，函數f(x)的極限為零，稱函數f(x)為（或）時的無窮小量，簡稱無窮小。 定理：若則。其中為時的無窮小. 例：2 。無窮小性質 性質1 有限個無窮小的代數和仍為無窮小。 性質2 有界函數與無窮小的乘積為無窮小。 例： 3 。無窮小的比較定義 設，為無窮小如果 ，則說是比高階的無窮小，記作；如果 ，則說是比低階的無窮小；如果 ，則說與是同階無窮小；如果 ，則說與是等價無窮小，記作；如果 ，則說是關于的階無窮小。無窮小替換方法：若，的極限存在，則的極限等于的極限。注意：替換時無窮小必須是因子。 常用的等價的無窮小量。, , 例3 ， 例4 因，故極限為零，解法是否正確？兩個重要

9、極限 與 1 夾逼定理和極限 定理： 若在某鄰域內 且 ，則存在，且。 證明： 所以 即 由于，得或 由于為偶函數，故在內，也有。由于當時由夾逼準則，得 ，由夾逼準則，得一般地：例1: , , ,3 單調數列極限和若 稱數列是單調增數列。稱數列是單調減數列。 定理：單調有界數列必有極限。 例2： 是單調增加數列。故 是存在的，令。 顯然定理： 證明：對于任何，存在正整數使得，因此有由于 得 一般地： 或者例3： 思考：§2.4 函數的連續性與連續函數的運算1 函數連續性概念 （1）連續性定義連續性即是當自變量作微小變動時，函數值也相應的做微小變動，體現在函數圖象上就是沒有斷點。 定義

10、.1：當時，若稱在連續。即. 顯然在連續的充要條件是若 在定義域內每一點連續，稱是連續函數。 例1： 在任意區間內連續。例.2：討論 ，和 在x=0的連續性。2 。函數的間斷點如果函數在處不連續，則稱為函數的一個間斷點。間斷點有三種情況： (1) 在處沒有定義；(2) 在處沒有極限； (3) ；例如在處沒有定義；當時沒有極限。當時定義2. 如果是間斷點，當在左右極限都存在時，稱為第一類間斷點。 其余稱為第二類間斷點。 例3：判斷，的間斷點是什么類型。 例4 ：指出的間斷點，及其類型。3.函數在一點連續的性質在連續 例5：，4.閉區域上連續函數的性質定理1: 最大最小值定理： 在閉區間上連續的函

11、數，在該區間上必有最大值和最小值。定理2：零點定理： 設函數在閉區間上連續，且，則必有，使得。 例6： 證明方程在區間內至少有一個根。定理3（介值定理）設函數在閉區間上連續，且在這區間的端點取不同的函數值，即，且，則對于介于與之間的任意一個數，在開區間內至少有一點，使得。證明：令，對應用零點定理，得存在，使得即或 一 、 課程單元、章節 第三章 導數與微分二 、 教學要求1 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。2 掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，

12、掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算和一階微分形式的不變性，會求函數的微分，了解微分在近似計算中的應用。3 了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。4 會求分段函數的一階、二階導數，會計算函數的相關變化率。5 會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一、二階導數，會求反函數的導數。三 、重點和難點 1 .點：四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算和一階微分形式的不變性，會求函數的微分，了解微分在近似計算中的應用。2.點：復合函數的求導法則，隱函數和由參數方程所確定的函數的導數四、教學進度：1導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾

13、何意義，會求平面的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。2.導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式。了解微分的四則運算和一階微分形式的不變性，會求函數的微分，了解微分在近似計算中的應用。3.高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。4.分段函數的一階、二階導數，會計算函數的相關變化率。5.隱函數和由參數方程所確定的函數的一、二階導數，會求反函數的導數。五、時數 10六、教學方式： 課堂講解七、作業：教材第48頁 1，2，5，11，14八、參考書籍：應用高等數學上， 翟向陽主編， 上海交通大學出版社高等數學盛

14、驟 等編 ，浙江大學出版社九、教學小結：本章主要內容是導數與微分的定義，計算以及應用。微分學有兩個基本概念：一個是導數，一個是微分，導數與微分有著密切的聯系，她們從不同的角度刻畫了兩個變量間的某種變化特征。十、教學過程 、內容：§3.1 導數概念1引例 (1)直線運動的速度一物體作直線運動，位置與時間的關系為，確定物體在某時刻的速度。從時刻到時刻，物體從運動到，在該時間段內物體運動的平均速度為物體在時刻的速度定義為 (2)曲線的切線函數的圖形一般為一條曲線，確定曲線在點處的切線。在的鄰近取一點，則割線的斜率為當點沿曲線趨向于，割線的極限位置稱為曲線在點的切線。因此，切線的斜率為2導數

15、的定義（1）導數的定義如果記，則相當于，因此定義3.1 設函數在的某鄰域內有定義，當自變量在處取得增量，相應地函數取得增量，如果極限存在，則說函數在處可導，極限值稱為函數在處的導數，記為，即函數在處的導數也可記為，或如果記，導數也可表示為及 如果函數在區間內的每一點都可導，則說函數在區間內可導，即對任何，有為的導函數（簡稱為的導數），而且（2） 運用定義求導數例1 求函數（為常數）的導數。例2 求函數（）在處的導數。解： 由于因此得更一般地，有（為實數）例如 例3.求函數的導數。解： 計算得3 。導數的幾何意義如果函數在可導，則在的導數值為曲線C：在點處的切線的斜率，即因此，曲線C：在點處的切

16、線的方程為過曲線C：的切點，與切線垂直的直線稱為曲線在點處的法線。如果，曲線C：在點處的法線方程為例4求曲線在點處的切線和法線的方程。 例5 求，在任一點的切線和法線方程，并觀察函數在極值處的切線和法線 的特點。4、函數可導與連續的關系定理3.1 函數在可導，則函數一定在連續。證明：因為存在，又，=0，故注：定理的逆命題不真，例如，在處不可導；單側導數如果極限存在，則稱為函數在處的右導數，記為。如果極限存在，則稱為函數在處的左導數，記為； 例6：求在x=0的左右導數。例7：求在x=0的左右導數。顯然由極限存在的充要條件可得到：定理3.2：函數在處可導的充要條件是函數在的左右導數存在且相等。 例

17、8：判斷函數 在x=0的可導性。練習：判斷在x=0的可導性。§3.2導數的運算1 。 初等函數的導數公式(1) , (2) ,(3) , (4) ,(5) , (6) , (7) , (8) ,(9), (10) (11), 2 。函數的和、差、積、商的求導法則定理3.3 如果函數及都在點具有導數，則(1) ；(2) ；(3) ()。證明：(2) 例1 求下列函數的導數(1)， (2)，(3) 3 。復合函數的導數對于復合函數，如 ，有求導法則，稱為鏈式法則。定理3.4 如果在點可導，在點可導，則復合函數在點可導，且導數為 或 證明：可導，故時必有，例2 求下列函數的導數(1) (2

18、) (3) (4) (5) 4 。隱函數的導數一般地，方程可確定一個函數或，稱為由方程確定的隱函數。現在來求隱函數的導數，通過例子來說明。例 設是由方程確定的隱函數，求。解：由于由方程確定，得 兩邊對求導數，得 解得 練習：設由方程確定，求解：方程兩邊對求導數，得解得由于時，得 例4 求（）的導數。解：兩邊取對數，得 兩邊對求導數，得解得 一般情況，對于冪指函數：（）求導數的方法為：先取對數，得 對求導數，得 解得 以上求導數方法稱為對數求導法。5 。高階導數 對于路程函數，為速度，為加速度，為二階導數，記成。對于一般函數，稱為的二階導數，記成，或，記 類似，可定義三階導數、四階導數乃至于階導

19、數，即 稱為一階導數，二階以及二階以上導數都稱為高階導數。例.5 設，求解：，例6 ，求思考： 1 設，求2 設，求§3.4 微分1微分的概念邊長為的正方形的面積 ，如果邊長從增加到時，面積的增量為包含兩部分，和。相對比較比小得多，而且這樣，當很小時，而且。對于一般的函數，當自變量從增加到時，函數增量定義：設函數在某區間內有定義，及屬于。如果函數的增量可表為其中為與無關的常數，則說函數在處是可微的，稱為函數在處的微分，記為，即下面論述函數在處是可微的條件。定理3.9在處是可微當且僅當它在可導。 證明：如果函數在處是可微，則即因此 即函數在處是可導，而且。反之，如果函數在處是可導，即因

20、此得 為時的無窮小。即綜上，函數在處是可微等價于函數在處是可微，而且。特別地，函數的微分為。因此，函數的微分為 例1 求函數在和的微分例2 求函數當，時的微分2微分的幾何意義設函數，當自變量從增加到，相應的函數增量為如圖，函數在處的微分為曲線的切線當從增加到時的增量，即3 參數方程所確定的函數的導數一般情況，平面曲線的參數方程 例3 設 ，求例4 求橢圓曲線在相應點的切線方程。練習：計算擺線 的二階導數。 特別對一元函數有：常用的近似公式：一 、程單元、章節 第四章 導數的應用二 、教學要求1 了解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理。2 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值

21、的方法，掌握函數最大值與最小值的求法及其簡單應用。3 會用導數判斷函數圖形的凹凸性和拐點，會求函數圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數圖形。4握用洛比達法則求未定式極限的方法。三、重點和難點 1 重點：洛比達法則求未定式極限，理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值與最小值的求法及其簡單應用。2 難點：會用導數判斷函數圖形的凹凸性和拐點，會求函數圖形的水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數圖形四、教學進度：按教學要求的過程五、課時數 6六、教學方式：課堂講解七、作業：教材第66頁 1，3，5，6八、參考書籍：應用高等數學上， 翟向陽主編， 上海交通大學出版社

22、高等數學盛驟 等編 ，浙江大學出版社九、教學小結：本章學習的三個中值定理是微分學的理論基礎。掌握函數單調性的判定是本章的重點。十、教學過程及內容：§4.1中值定理1.羅爾定理費馬引理 設函數在點的某鄰域內有定義，并且在處可導，如果對于任意的，有 （或）則。證明：不妨設時，。于是，對于，有從而當時 故 當時，故 由于在處可導，故羅爾定理 如果函數滿足(1) 在閉區間上連續；(2) 在開區間內可微；(3) 在區間端點處的函數值相等，即，則至少存在一點，使得。證明：由于在閉區間上連續，故在取得其最大值和最小值。分兩種情況：(1) 如果，則在上為常數，故。這樣，任取，都有。(2) 如果，則最

23、大值與最小值至少有一個不等于在區間端點處的函數值。不妨設，因此至少存在一點，使得。因此，對于任何，都有 ，由費馬引理。例在0,1上 是否滿足羅爾定理條件。例4.1.2，在取間上是否滿足 ？ 2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函數滿足（1）在閉區間上連續；(2) 在開區間內可微，則至少存在一點，使得 (1)或 證明：構造輔助函數在上滿足羅爾定理的條件，故至少存在一點，使得。又由于故即 公式(1)稱為拉格朗日中值公式。關于拉格朗日中值公式，有以下幾點說明：(1) 如果，則，即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例。(2) 當時，公式(1)也成立。(3) 如果在上滿足拉格朗日中值定理條件，有，介于

24、與之間或 （） (2)公式(2)稱為有限增量公式。定理 如果函數在區間上的導數恒為零，則在區間上是一個常數。證明：任取，由拉格朗日中值定理由于，故。由于，的任意性，得在區間上是一個常數。例 證明當時 證明：令，在上應用拉格朗日中值定理，得由于 得 例：證明:若,則3、柯西中值定理（略）如果曲線由參數方程表示，即：則但是，弦的斜率為因此，在點有注意，當時，柯西中值定理便轉化為拉格朗日中值定理。§4.2 洛必達法則羅必塔法則（）型 定理：若函數和滿足： （1） （2），在的某去心鄰域存在，且 則 證明：設，在的去心鄰域O存在，即,和在連續，在可導。由拉格朗日中值定理得到：存在 使，故 讓

25、，這時，則 ， , 而 故，例求下列極限 ， ，羅必塔法則（）型 定理：若函數和滿足： （1） （2），在的某去心鄰域存在，且 則 例 求下列極限 ， ，§4.3函數的單調性一元函數的單調性定理：在上可導，則在單增，在單減證明：取，由 可得結論。 例 試證： 在單增。 例 求的單調區間。思考：用單調性證明:若,則 證明：，時時，§4.4 函數的極值與最大、最小值1函數的極值例 在點的左側鄰近，單調增加；在點的左側鄰近，單調減少，即存在的去心鄰域，時，使得。同理，對于點，存在的去心鄰域，時，使得。定義 設函數在點某鄰域內有定義，如果對于任何，有（或）則稱為的一個極大值（極小值

26、）。極大值、極小值都稱為函數的極值，使得函數取得極值的點稱為極值點。定理1（必要條件）設函數在處可導，且在處取得極值，則。定理2（第一充分條件）設函數在處，且在某去心鄰域內可導，（1）若時，而時，則在處取得極大值；（2）若時，而時，則在處取得極小值；（3）若時，的符號保持不變，則在處沒有極值。如果某區間內連續，除個別點外處處可導，求在該區間內極值點和極值的方法如下：（1）求出導數（2）求出的全體駐點與不可導的點；（3）考察的符號在每個駐點和不可導的點的左、右鄰近的符號，以確定該點是否為極值點，如果是極值點，是極大值點還是極小值點；（4）對于極值點，求出極值。例 求函數的極值。解：；（）， 在內

27、，內，。 故在達極大值。定理3（第二充分條件）設函數在處具有二階導數且，則（1）當時，函數在處取得極大值；（2）當時，函數在處取得極小值。證明：由于 由極限的保號性，存在的鄰域，使得即 即在的兩側改變符號，且由正變負，故在處取得極大值。例1求函數的極值。解：，令 ，得駐點為，。計算得 由于，故為極小值。因為，故需用第一充分條件，得，都不是極值點。練習：求的極值。§4.5函數的凹凸性及拐點 以下考慮函數二階可導。 定理：在區間內，若，則在上凹，若，則在 下凹。上凹和下凹的分界點稱為拐點，顯然若是拐點，則§4.6函數圖形的描繪漸近線： 定義：，稱為垂直漸近線。稱為水平漸近線。

28、例如：的垂直漸近線為，的垂直漸近線的水平漸近線為 利用導數描繪函數圖形的一般步驟如下：（1）確定函數的定義域及函數所具有的特性（奇偶性，周期性），并求出，；（2）求出和在定義域內的全部零點及的間斷點和、不存在的點，并用這些點把函數的定義域劃分成幾個部分區間；（3）確定在這些部分區間內和的符號，并由此確定函數圖形在這些區間的升降和凸凹，極值點和拐點；（4）確定函數圖形的水平、鉛直漸近線及其他變化趨勢；（5）算出和的零點以及不存在的點所對應的函數值，定出函數圖形上相應的點，有必要時在補充一些點，結合（3）和（4）的結果，聯結這些點畫出函數的圖形。例.1 畫出函數的圖形。解：（1）函數的定義域為，；

29、（2）的零點為和，的零點為，用，和把定義域分成，；（3）在內，所以在上圖形是上升且凸的，在內，所以在上圖形是下降且凸的，在內，所以在上圖形是下降且凹的，在內，所以在上圖形是上升且凹的，列成表格為+00+0+圖形上升凸極大值下降凸拐點下降凹極小值上升凹（4）當時，；當時，故沒有漸近線；（5）算出 ，得到圖形上三個點為，再補充一些點為，結合（2），（3）畫出函數的圖形為4.4 函數的最值及其應用最大值最小值問題例1：求函數在的最大值和最小值。例2：做一個容積為V的有蓋的圓柱形桶，問底半徑和高為多少時，用料最少？ （就是使表面積最少）BMA例3：如圖修一條公路，將工廠A的商品運到M然后改用水運最后送

30、到B，已知水路運費為每噸6元, 公路為每噸10元，確定M的位置，使運費最少。 .一 、 課程單元、章節 第五章 不定積分二、 教學要求1 理解原函數的概念和不定積分的概念。2 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質，掌握換元積分法與分部積分法。3 會求簡單的有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分。4 會利用積分表計算不定積分。三、重點和難點 1 重點：原函數的概念和不定積分的概念，不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質，掌握換元積分法與分部積分法。2 難點：換元積分法與分部積分法。四、教學進度：按教學要求的過程。五、課時數 8六、教學方式： 課堂講解七、作業：教材第77頁 1，2，4

31、，5 八、參考書籍：應用高等數學上， 翟向陽主編， 上海交通大學出版社高等數學盛驟 等編 ，浙江大學出版社九、教學小結：理解不定積分的概念，熟練記憶積分基本公式，掌握各種積分法的適用范圍。對于積分方法盡量選擇簡單的方法。但是在積分方法的選擇上學生較吃力。十、教學過程及內容：§5.1 不定積分的概念1 原函數與不定積分定義1 如果對任一，都有 或 則稱為在區間I 上的原函數。例如：，即是的原函數。，即是的原函數。原函數存在定理：如果函數在區間I上連續，則在區間I 上一定有原函數，即存在區間I上的可導函數，使得對任一，有。注1：如果有一個原函數，則就有無窮多個原函數。設是的原函數，則，即

32、也為的原函數，其中為任意常數。注2：如果與都為在區間I 上的原函數，則與之差為常數，即 （C為常數）注3：如果為在區間I 上的一個原函數，則（為任意常數）可表達的任意一個原函數。定義2 在區間I上，的帶有任意常數項的原函數，成為在區間I上的不定積分，記為。如果為的一個原函數，則，（為任意常數）例1.因為 ， 得 例2.因為，時，；時，得，因此有顯然由原函數與不定積分的概念可得：1)2)3)4)5)§5.2不定積分的基本積分公式及性質1.不定的基本積分公式1) (為常數)2) ()3) 4) 5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)例3不定積分的性質性質1性質2，（為

33、常數，）例5.3.4 求例求解：例1. 求解：例2求解：例3求解：例4求解：§5.3積分法1 第一類換元法設為的原函數，即 或 如果 ，且可微，則即為的原函數，或因此有定理 設為的原函數，可微，則(2-1)公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。例1 求 解：例2 求 解：例3 求 解：原式= 類似可得例4 求 ， 解：例5 求 解：例6 求 解： 例7 求 解： 例8 求 解：例9 求 解 由于因此得例10 求 解： 例11 求 解 由于因此例12 求 解 2第二類換元積分法定理 設是單調的可導函數，且，又設 具有原函數，則(2-2)其中為的反函數。公式(2-2)稱為第二類換元積分公

34、式。例13 求 ， 解：令 ，則，因此有例14 求 ，解：令 ，則，因此有其中。例15 求 解 當 時，設 ，則因此又由于，得其中。當時，令，則，因此其中 。綜合得例16 求 解： 3分部積分法設 ，則有或 兩端求不定積分，得 或 即(3-1)或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。例1 求 解： 例2 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，當被積函數是冪函數與正弦（余弦）乘積或是冪函數與指數函數乘積，做分部積分時，取冪函數為，其余部分取為。例3 求 解： 例4 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，當被積函數是冪函數與對數函數乘積或是冪函數與反三角函數函數

35、乘積，做分部積分時，取對數函數或反三角函數為，其余部分取為。 例5 求 解： 因此得即 例6 求 解： 令 ，則 ，因此例7 求 解： 移項，得即例8 求，其中為正整數。解 用分部積分法，當時，有即注意到遞推可得。.一 、課程單元、章節 第六章 定積分二 、教學要求1 理解定積分的概念。2 理解變上限定積分定義的函數及其求導定理，掌握變上限定積分求導，掌握牛頓-萊布尼茨公式。3 掌握定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。三、重點和難點1 重點：定積分的概念，牛頓-萊布尼茨公式，求平面圖形的面積2 難點：換元積分法與分部積分法。四、教學進度：按教學要求的過程五、課時數12六

36、、學方式： 課堂講解七、作業：教材第88頁 3八、參考書籍：應用高等數學上， 翟向陽主編， 上海交通大學出版社高等數學盛驟 等編 ，浙江大學出版社九、教學小結：定積分概念的理解，對于我們解決一些問題是十分有幫助的。它的思想方法在很多領域是值得借鑒的。所以學生應多讀幾遍。其中牛頓-萊布尼茲公式揭示了定積分和不定積分之間的關系。學生學起來比較吃力，還是能做基本練習。十、教學過程及內容：§6.1定積分的概念1、定積分問題舉例：1、 曲邊梯形面積設在 上非負，連續，由直線，及曲線所圍成的圖形，稱為曲邊梯形。求曲邊梯形的面積。在區間中任意插入若干個分點把分成個小區間，,它們的長度依次為經過每一

37、個分點作平行于軸的直線段，把曲邊梯形分成個窄曲邊梯形，在每個小區間上任取一點，以為底，為高的窄邊矩形近似替代第個窄邊梯形（），把這樣得到的個窄矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積的近似值，即 =設時，可得曲邊梯形的面積2、 變速直線運動的路程設某物體作直線運動，已知速度是時間間隔上的連續函數，且，計算在這段時間內物體所經過的路程在內任意插入若干個分點把分成個小段， 各小段時間長依次為相應各段的路程為在上任取一個時刻，以時的速度來代替上各個時刻的速度，則得進一步得到 =設時，得6.1.2、定積分的定義由上述兩例可見，雖然所計算的量不同，但它們都決定于一個函數及其自變量的變化區間，其次它們的計算方法與

38、步驟都相同，即歸納為一種和式極限，即面積，路程.將這種方法加以精確敘述得到定積分的定義定義 設函數在上有界，在中任意插入若干個分點把區間a,b分成個小區間各個小區間的長度依次為.在每個小區間上任取一點),對應函數值為作小區間長度與的乘積并作出和.記,如果不論對怎樣分法,也不論在小區間上點怎樣取法,只要當時，和式S總趨于確定的極限,這時我們稱這個極限為函數在區間上的定積分(簡稱積分), 記作,即=,其中叫做被積函數,叫做被積表達式,叫做積分變量,叫做積分下限,叫做積分上限, 叫做積分區間.注意：積分與積分變量無關，即： 函數可積的兩個充分條件：定理1 設在上連續，則在上可積。定理2 設在上有界，

39、且只有有限個間斷點，則在上可積。 幾何意義：表示各個曲邊梯形正負面積的和。 例1：若是奇函數， 0 §6.2定積分的性質性質1 函數和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差），即證明： = =性質2 被積函數的常數因子可以提到積分號外面，即 (是常數)性質3 如果將積分區間分成兩部分，則在整個區間上的定積分等于這兩個區間上定積分之和，即設，則注意：我們規定無論的相對位置如何，總有上述等式成立。性質4 如果在區間上，則性質5 如果在區間上，證明：因故，又因，故設，時，得 。推論1 如果在上，則推論2 性質6 設與分別是函數在上的最大值及最小值，則§6.3定積分基本公式及積分法

40、1積分上限的函數及其導數設在上連續，并且設為上任一點，設函數具有如下性質：定理1 如果函數在區間上連續，則積分上限函數在上具有導數，并且它的導數是 = （）證明：(1) 時， = =在之間時，有(2) 其單側導數，可得，由定理1可得下面結論定理 如果函數在區間上連續，則函數是的一個原函數。積分上限函數的幾何意義如圖所示2、牛頓萊布尼茨公式定理 如果函數是連續函數在區間上的一個原函，則證明：因與均是原函數，故= （）令，得=即 =或 令，得 (1)為方便，可記作公式(1)稱為牛頓萊布尼茨（NewtonLeibniz ）公式，或微積分基本公式。例.1 例.2 計算 解：=例3 解：例.4 計算 在

41、上與軸所圍成平面圖形的面積。解：§6.4定積分的應用1.平面圖形的面積由曲線及直線與 ( ) 與軸所圍成的曲邊梯形面積。其中：為面積元素。由曲線與及直線，( )且所圍成的圖形面積。其中： 為面積元素。例1 計算拋物線與直線所圍成的圖形面積。解：1、先畫所圍的圖形簡圖解方程, 得交點：和。例2 求橢圓所圍成的面積。解：據橢圓圖形的對稱性，整個橢圓面積應為位于第一象限內面積的4倍。取為積分變量，則， 故( * )作變量替換 則， ( * * )2 旋轉體的體積旋轉體是由一個平面圖形繞該平面內一條定直線旋轉一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉軸。計算由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉

42、一周而生成的立體的體積。取為積分變量，則，對于區間上的任一區間，它所對應的窄曲邊梯形繞軸旋轉而生成的薄片似的立體的體積近似等于以為底半徑，為高的圓柱體體積。即：體積元素為所求的旋轉體的體積為例1 求由曲線及直線，和軸所圍成的三角形繞軸旋轉而生成的立體的體積。解：取為積分變量，則一 、 課程單元、章節 第八章 常微分方程初步二 、 教學要求1 理解常微分方程的概念。2.掌握簡單常微分方程的求法三、重點：分離變量法解常微分方程。四、教學進度：1.常微分方程的相關概念。2.變量分離法。五、 課時數 4六、 教學方式： 課堂講解七、作業：教材第105頁 1八、參考書籍：應用高等數學上， 翟向陽主編，

43、上海交通大學出版社高等數學盛驟 等編 ，浙江大學出版社九、教學小結：本章內容只涉及到了常微分方程的最簡單的概念，以及微分方程中最簡單的情形變量分離方程。學生對基本的解題步驟，能較簡單的掌握。十、教學過程及內容：§8.1 常微分方程的基本概念1常微分方程的概念例1 一曲線過點，且在該曲線上任一點處的切線的斜率為，求曲線的方程。解：設曲線方程為，則，且 解得，為任意常數又由于，得，即 為所求曲線。 例2 列車運行時速為，制動時加速度為，問從開始制動到停車，火車能運行多遠？解：設火車運行規律為，則制動時，運行規律滿足并滿足 時，。解得由于 ，得，即，再積分一次，得又由于時，得，即令，得，即

44、從制動到停車需，制動過程火車運行含有未知函數、未知函數的導數和自變量的等式稱為微分方程。例如， 未知函數為一元函數的微分方程稱為常微分方程；未知函數為多元函數的微分方程稱為偏微分方程；微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數稱為微分方程的階數。如:為三階微分方程；方程 為四階微分方程。2 微分方程的解階微分方程的一般形式為 (1)如果關于最高階導數可解出，即階微分方程可轉化為 (2)如果函數在區間具有階連續導數，且滿足則稱為微分方程(1)在區間的解。例如：為方程的解；為方程的解。如果微分方程的解中含有任意常數，且含有的任意常數的個數等于微分方程的階數，則這個解稱為微分方程的通解。例如：為微分

45、方程的通解。利用某些條件將通解中的任意常數確定后所等到的解稱為微分方程的滿足這些條件的特解。例如：為微分方程滿足條件，的特解；為方程滿足條件的特解。其中條件，和等稱為微分方程的定解條件或初值條件（初始條件）。求微分方程滿足初值條件的特解這一問題稱為一階微分方程的初值問題。二階微分方程的初值問題一般表示為例3 驗證：函數是微分方程的通解。§8.2 一階線性微分方程1 變量可分離方程一階微分方程 (1)或 （ ） (2)若方程(1)或(2)能寫成 (3)方程(3)稱為可分離變量的微分方程，簡稱變量可分離方程。例如：可化為對于變量可分離方程一般解法為兩邊積分，即得通解為 例1 設求通解。解

46、：分離變量得兩邊積分得或 例2 降落傘下落的運動規律滿足微分方程其中為下落物體的質量，為阻力常數。求降落傘下落的速度與時間的關系。解：將方程分離變量，得解得 （）或解得或注意到，得。因此一 課程單元、章節 第九章 空間解析幾何與向量代數二 教學要求1 理解空間直角坐標系的概念，理解向量的概念及其表示。2 掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、*混合積），了解兩個向量平行、垂直的條件。3 掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標的表達式，以及用坐標表達式進行向量運算的方法。三 重點和難點1 重點：向量的運算（線性運算、數量積、向量積、*混合積），了解兩個向量平行、垂直的條件四、教學進度：1.空間直角坐標系的