1、圓錐曲線與平面向量交匯問題熱點透視由于平面向量具有代數(坐標)表示和幾何(有向線段)表示的特點，這 就使其成為表述圓錐曲線問題的重要載體。圓錐曲線與平面向量的交匯問題是 近幾年各省市新課程高考考查的熱點之一， 這類問題往往與向量、函數、方程、 不等式、數列等知識相融合，具有知識點多、覆蓋面廣、綜合性強的特點，能 有效考查學生的思維水平和綜合能力。下面結合近幾年的部分高考題，介紹高 考對這類問題考查的六大熱點，供復習參考。熱點1求圓錐曲線的方程例1如圖1, A,B,C是長軸為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點,BC過橢圓的中心，AC丄BC，|BC|=2|AC|，求橢圓的方程。宀思路：建系，設

2、點C的坐標，將向量間的關系(垂直關系、長度關系)轉=1。設點C的坐標化為代數表達式，從而確定橢圓的方程。解：建立如圖所示的直角坐標系，則 A(2,0)，橢圓方程為 為(m,n)，則點B的坐標為(一m, n). / AC 丄 BC， AC .BC=0，即(m 2, n) (2m,2n)=0，圖 12 2二 m2 2m+n2=0(*)» |BC|=2|AC|,. |CO|=|AC|,即,m2 n2(m匚2)2n2, m=1將m=1代入(*)得，n=1，二C(1,1).將x=1，y=1代入橢圓方程得,4 ”，. if.故橢圓方程為手乎汀例2已知 OFQ的面積S=2、6,且OFFQ二m。設以

3、O為中心，F為焦 -'6 點的雙曲線經過Q, |OF|=c,m = (1)c2，當| OQ |取得最小值時，求此雙4曲線方程。思路：設點Q的坐標，將向量的數量積、長度轉化為代數表達式，再求目 標函數的最小值，從而確定雙曲線的方程。2 2解：設雙曲線方程為務-爲/， Q(xo, yo)a bFQ =(x° -c, yo)，1Sofq= | OF | y0 |= 21 6 ，2 ：，62 .6OF FQ =(c,O)(Xo c,yo)=c(xo c)=(1)c = xoc。3c5 * * * 9 * * 12? 2 3,8c2442 所以g2 b2二©2 +b2 =16

4、a2b24 故所求的雙曲線方程為=12當且僅當3c2 =8=尊，即c =4寸,|OQ |最小,此時 QG.6, . 6)或(、.6, . 6)， c2丄 2 oyo類型2求待定字母的值2例3設雙曲線C:篤-y2 =1(a o)與直線L : x+y=1相交于兩個不同的點a A、B是不同的兩點,1 -a2 式0,4224 a + 8a (1 _ a ) > 0, 0<a< 2 且 a".于是X1+X2 =2a21 - a2且 X1 X2=-2a21 - a22 2即護2&，且討呂，消去X2 得,2a21289-a2 藥，-a= ,°.° 0&

5、lt;a<F2 且 a= 1 , a=。1313類型3求動點的軌跡y2 = x- 3交于不例4如圖2，動直線y = kx 1與y軸交于點A，與拋物同的兩點B和C,且滿足BP=入PC, AB= *AC ,共中R. FA POA的重 心Q的軌跡。思路：將向量表達式轉化為坐標表達式，消去參數 入獲得重心Q的軌跡方程，再運用判別式確定實數k的取值范圍，從而確定軌跡的形狀解:y = kx +1八x-3得,2 2k2x2+(2k 1)x+4=0.出J"。由丿 二A >0設 P(x',y'), B(X1, y1), C(x2,y2),貝 U X1+X2=1 -2kk2X

6、1 X2=由 BPPC 二(x' -冷，y" -yj = ' (x2 -x： y2 - y )二 x _ 片=(x2 _ x )由 AB =，AC =(為,y1) = ' (x2, y2 -1) = x1 =，x2。x"-x1 x2 -x2x1x28 耳 7 Xx1x2x1 x2 1 -2k，丄8k丄6k+1=y = kx 11 =1 -2k 1 -2k消去 k 得，x2 y' 6=0 (*)設重心Q(x,y)，則«x =3y 1yr 3xy" = 3y -1,代入(*)式得，3x 6y 4=0因為一 -:k .-且k =

7、 0 = 4 . x ：. 12且x = 8= 4 : x : 4且x = 82 633故點Q的軌跡方程是3x 6y 4=0( - < 4且xh8)，其軌跡是直線3x3 34 48 26y 4=0 上且不包括點 A(,0), B(4,),C(,)的線段 AB。333 3類型4證明定值問題例5已知橢圓的中心在坐標原點 O,焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，OA OB與a=(3,-1)共線。設M為橢圓上任意一點，且OM =，OAiOB，其中 R.證明：，2I2為定值。思路：設A、B、M三點的坐標，將向量間的共線關系、和差關系轉化為 代數關系，再利用方程組、韋達定

8、理、點在橢圓上滿足方程等證明定值。2 2解：設橢圓方程為 務篤(a b 0),F(c,0).則直線AB的方程為a by=x-c.代入橢圓方程中，化簡得，(a2 b2)x2 -2a2cx a2c2-a2b2 =0.設 A(X1,y”，B(X2,y2)，則洛X22a2ca2 b2a2c2 -a2b2b2由 OA OB 與 a=(3,-1)共線，OA OB=(X1 X2，% y2)得,3(y1y2) (X1X2) =0。又 y1 工為-c, y2 =X2 -c,23c r 2a c 3c 22-3(X1 x _2c) (X1 X2) = 0,. X1X2 ，即 2, a 3b .2 a +b 23

9、2,21:而 c=a-b,于是 a c ,b c。2 22 2因此橢圓方程為'芯=1,即x2 3y2 =3b13b b設 M(x, y),由 OM = 0A： .二OB得，(x, y) - (x1, y1 ._j(x2, y2),.x =x2且y = -yi y2.因 M 為橢圓上一點，所以( x-' x2 )2 3( y .' y2 )2 = 3b2.2 22, 2a c - a bX1X22a +b即 X2(x； +3yf) +2(x； +3y；) +2久丄(XjX2 +3yj y2) =3b2 又 Xi X2 =3c，a|c2,b PQF2，| HQ h (x-1

10、)2 y2c22 2 2則 x1x2 3y1y2 = x1x2 3(Xj - c)(x2 - c) = 4xjX2 - 3(論 x2)c 3c2= -c2 -9c2 3c2 =0.而Xi2 3y/ =3b2, x?2 3y?2 =3b2,2 2代入得，22=1, ，2 -i2為定值。類型5探索點、線的存在性例6在厶ABC中，已知B( 2, 0), C(2, 0), AD丄BC于D, ABC的垂心H分有向線段AD所成的比為飛設P( 1, 0), Q(1, 0),那么是否存在點H，使 311|HP| PQ| HQ|成等差數列，為什么?|HP|= .(X 1)2 y2，假設成等差數列，則21|HP|

11、PQ| |HQ| PQ| |HP| |HQ |思路：先將AC丄BH轉化為代數關系，由此獲得動點 H的軌跡方程；再將向量的長度關系轉化為代數(坐標)關系，通過解代數方程組獲解。 解：設H(x, y),由分點坐標公式知A(x,j4y)3 H 為垂心 二 AC 丄 BH，二 &-2,負)& 2,y)=0，32 2整理得，動點H的軌跡方程為沽亍二1(廠0)1(x 1)2 y21(X -1)2 y2 H在橢圓上 a=2, b=、3, c=1, P、Q是焦點,HP + HQ =2a=4，即二 J(x+1)2 + y2 + J(x _1)2 + y2 = 4由得，.(x 1)2 y2 . (

12、x -1)2y2 = (x 1)2y2. (x -1)2 y2 =4 聯立、可得，.（x 1）2 y2 = （x -1）2y2 =2，2 2 x =0,八_.3,顯然滿足H點的軌跡方程 1，43故存在點H （0,±島），使,成等差數列|HP| |PQ|HQ|類型6求相關量的取值范圍例7給定拋物線C: y2 =4x，F是C的焦點，過點F的直線I與C相交于A B兩點，且FB AF,4,9 1,求I在y軸上截距的變化范圍。思路：設A、B兩點的坐標，將向量間的共線關系轉化為坐標關系，再求出 l在y軸上的截距，利用函數的單調性求其變化范圍。解：設 A(x 1,y1)， B(x2,y2)，由 F

13、B = AF 得，(X2 -1, y2) = ' (1 - X1, - yj，即x? 1 =九(1 xj72丁 y2 = 4x1,最=4x2，二 X2 = X2 捲。 聯立、得， X2 = X。而-0r B（',2）,或B（',-2、. ）.當直線I垂直于x軸時，T,不符合題意因此直線 I 的方程為(' -1) y = 2 i(x -1)或(-1) y = 2 (x -1).直線I在y軸上的截距為或-.由-22 知，在1 11 J 二1、 -1 1-4,9 1上遞減的，所以-4,-3.4-133 丸一14于是直線I在y軸上截距的變化范圍是-4,-3-,-.3, 4町3由上可見，解圓錐曲線與平面向量交匯題的關鍵是：設相關點的坐標，將 平面向量用坐標表示，運用相應的平面向量坐標運算法則（加、減、乘、數乘 向量）或運算律或數量積的意義，將問題中向量間的關系（相等、 垂直、平行、 和差、數量積等）轉化為代數關系。當然，在解題過程中還要涉及到圓錐曲線 問題中一些常見方法，如解方程組、解不等式（組）、消元、利用根的判別式求字母的取值范圍、利用韋達定理建構方程等等。這種問題有一定的難度，必 須加強訓練才能逐漸把握