1、第一節 解析函數的概念一、復變函數的導數與微分二、解析函數的概念三、小結與思考一、復變函數的導數與微分1.導數的定義導數的定義:, , , )( 00的范圍的范圍不出不出點點點點中的一中的一為為定義于區域定義于區域設函數設函數DzzDzDzfw , )( . )( 00的導數的導數在在這個極限值稱為這個極限值稱為可導可導在在那末就稱那末就稱zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 記作記作 , )()(lim 000存在存在如果極限如果極限zzfzzfz 在定義中應注意在定義中應注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都趨

2、于同一個數都趨于同一個數比值比值時時內以任意方式趨于內以任意方式趨于在區域在區域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可導可導在區域內在區域內就稱就稱我們我們內處處可導內處處可導在區域在區域如果函數如果函數DzfDzf例例1 .)(2的導數的導數求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 例例2 .Im)(的可導性的可導性討論討論zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(時時而而使使向向當當點點沿沿平平行行于于

3、實實軸軸的的方方 zyzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(時時而而使使向向當當點點沿沿平平行行于于虛虛軸軸的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0極限值不同極限值不同時時當點沿不同的方向使當點沿不同的方向使 z.Im)(在復平面上處處不可導在復平面上處處不可導故故zzf 例例3 是否可導？是否可導？問問yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設設

4、zxzz xyoz0 yxyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設設zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導數的導數所以所以.2)(yixzf 2.可導與連續可導與連續: 函數函數 f (z) 在在 z0 處可導則在處可導則在 z0 處一定連續處一定連續, 但但函數函數 f(z) 在在 z0 處連續不一定在處連續不一定在 z0 處可導處可導.證證 , 0可導的定義可導的定義根據在根據在 z, 0, 0 , |0 時時使得當使得當 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有

5、)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 則則 )()( 00zfzzf 因為因為 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0連續連續在在即即zzf證畢證畢 ,)( )(0zzzzf 3.求導法則求導法則: 由于復變函數中導數的定義與一元實變函由于復變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致數中導數的定義在形式上完全一致, 并且復變函并且復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣數中的極限運算法則也和實變函數中一樣, 因而因而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數中來到復變

6、函數中來, 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的.求導公式與法則求導公式與法則: . , 0)()1(為復常數為復常數其中其中cc .,)()2(1為正整數為正整數其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數函數兩個互為反函數的單值兩個互為反函數的單值是是與與其中其中4.微分的概念微分的概念: 復變函數微分的概

7、念在形式上與一元實變復變函數微分的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致函數的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000線性部分線性部分的的的改變量的改變量是函數是函數小小的高階無窮的高階無窮是是式中式中則則可導可導在在設函數設函數wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點在點稱為函數稱為函數定義定義. )( , 00可微可微在在則稱函數則稱函數的微分存在的微分存在如果函數在如果函數在zzfz特別地特別地, , )( 時時當當zzf zwdd

8、zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導與在可導與在在在函數函數zzzfw .)( ,)(內可微內可微區域區域在在則稱則稱內處處可微內處處可微區域區域在在如果函數如果函數DzfDzf二、解析函數的概念1. 解析函數的定義解析函數的定義. )( , )(000解析解析在在那末稱那末稱導導的鄰域內處處可的鄰域內處處可及及在在如果函數如果函數zzfzzzf).( )( .)( ,)(全純函數或正則函數全純函數或正則函數個解析函數個解析函數內的一內的一區域區域是是或稱或稱內解析內解析區域區域在在則稱則稱內每一點解析

9、內每一點解析區域區域在在如果函數如果函數DzfDzfDzf2. 奇點的定義奇點的定義.)( , )(00的奇點的奇點為為那末稱那末稱不解析不解析在在如果函數如果函數zfzzzf根據定義可知根據定義可知:函數在函數在區域內解析區域內解析與在與在區域內可導區域內可導是是等價等價的的.但是但是,函數在函數在一點處解析一點處解析與在與在一點處可導一點處可導是是不等不等價價的概念的概念. 即函數在一點處可導即函數在一點處可導, 不一定在該點不一定在該點處解析處解析.函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多得多.例例4 .)( 2)(,)( 22的解析性的解析性

10、和和研究函數研究函數zzhyixzgzzf 解解由本節例由本節例1和例和例3知知: ; )( 2在復平面內是解析的在復平面內是解析的zzf ; 2)(處處不解析處處不解析yixzg , )( 2的解析性的解析性下面討論下面討論zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 0000zxxkyyzz趨于趨于沿直線沿直線令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趨于一個確定的值不趨于一個確定的值kiki

11、zz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在復平面內處處不解它在復平面內處處不解根據定義根據定義不可導不可導而在其他點都而在其他點都處可導處可導僅在僅在因此因此 zzzh例例5.1 的的解解析析性性研研究究函函數數zw 解解 , 0 1 處處可導處處可導在復平面內除在復平面內除因為因為 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外處處解析外處處解析在復平面內除在復平面內除所以所以 zw . 0 為它的奇點為它的奇點 z例例6.)Re()( 的可導性與解析性的可導性與解析性研究函數研究函數zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0,

12、 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 處可導處可導在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因為因為,)()(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在復平面內處處不解它在復平面內處處不解根據定義根據定義可導可導而在其他點都不而在其他點都不處可導處可導僅在僅在因此因此 zzf , )( , 0 不可導不

13、可導時時即當即當zfz 課堂練習課堂練習.1 的的解解析析性性研研究究函函數數zw 答案答案處處不可導處處不可導, ,處處不解析處處不解析. .定理定理 . )( )( )( )1(內解析內解析在在除去分母為零的點除去分母為零的點和、差、積、商和、差、積、商的的與與內解析的兩個函數內解析的兩個函數在區域在區域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(內解析內解析在在那末復合函數那末復合函數于于都屬都屬的對應值的對應值函數函數內的每一個點內的每一個點對對如果如果內解析內解析平面上的區域平面上的區域在在函數函數內解析內解析平面上的區域平面上的區域在在設函數設函數DzgfwGhz

14、gzDGhhfwDzzgh 以上定理的證明以上定理的證明, 可利用求導法則可利用求導法則.根據定理可知根據定理可知:(1) 所有多項式在復平面內是處處解析的所有多項式在復平面內是處處解析的. , )()( )2(它的奇點它的奇點使分母為零的點是使分母為零的點是的的零的點的區域內是解析零的點的區域內是解析在不含分母為在不含分母為任何一個有理分式函數任何一個有理分式函數zQzP三、小結與思考 理解復變函數導數與微分以及解析函數的理解復變函數導數與微分以及解析函數的概念概念; 掌握連續、可導、解析之間的關系以及掌握連續、可導、解析之間的關系以及求導方法求導方法. 注意注意: 復變函數的導數定義與一元實變函數復變函數的導數定義與一元實變函數的導數定義在形式上完全一樣的導數定義在形式上完全一樣, 它們的一些求它們的一些求導公式與求導法則也一樣導公式與求導法則也一樣, 然而復變函數極限然而復變函數極限存在要求與存在要求與z 趨于