1、昌平區2021年高三年級第二次統一練習數學試卷理科2021.5本試卷共5頁，共150分考試時長120分鐘考生務必將答案作答在答題卡上，在試卷上作答無效.第一局部選擇題共40分一、選擇題共8小題，每題5分，共40分在每題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項.1.全集UR,集合A=x I x < 1或x> 1,那么匚U AA. U1， B U】口，C 1,1D 【"I42假設復數z cos isin ，當 二一 n時，那么復數z在復平面內對應的點位于3A.第一象限B第二象限C 第三象限 D 第四象限3等比數列an中,a1 27,* a3a5，那么 a7 =A.1271

2、a24設 a, b log23 , c 2 0.3，貝U2A. b c aB. a bcC. b a cD. a c b5 假設滿足條件x y 0x y 10的整點x, y恰有12個，其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點，那么整數a的值為A.3B.2C6設 x, y R，那么“x2+y2 2 是 “|x|1 且|y| 1 的A.充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件=2 2 -主視圖左視圖俯視圖7某四棱錐的三視圖如下列圖，那么該四棱錐的所有面中最大面的面積是A. 4B. .5C. 2D. .2& 2021年7月執行的?中華人民共和國個人所得稅法?規定：公民全

3、月工資、薪金所得不超過3500元的局部不必納稅，超過3500元的局部為全月應納稅所得額.此項稅款按下表分 段累進計算:全月應納稅所得額含稅級距稅率%不超過1500元3超過1500元至4500元的局部10超過4500元至9000元的局部20某調研機構數據顯示，納稅人希望將個稅免征額從3500元上調至7000元假設個稅免征額上調至7000元其它不變，某人當月少交納此項稅款332元，那么他的當月工資、薪金所得介于A. 50006000 元 B. 60008000 元 C. 80009000 元 D. 900016000 元第二局部非選擇題共110分二、填空題共6小題，每題5分，共30分.9在二項式、

4、.X 16的展開式中，第四項的系數是.用數字作答10在 ABC 中，Sabc43，AB 3，AC1，貝U BC211.雙曲線C : x2a2y2 1(a 0)的漸近線方程為y1x，那么雙曲線C的離心率2是.12. 執行如下列圖的程序框圖，假設輸入那么輸出y值的取值范圍是.x值滿足213. 向量a, b在邊長為1的正方形網格中的位置如下列圖， 那么向量a, b所成角的余弦值是 ;向量a, b所張成的平行四邊形的面積是 .x2 2ax, x 1?14.函數f xalnx? x 1.x 當x 1時，假設函數f x有且只有一個極值點，那么實數a的取值范圍是; 假設函數f x的最大值為1,那么a .三、

5、解答題共6小題，共80分.解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15. (本小題13分)函數 f (x) 2sin(n x)cos( x)3sin2 x .44(I )求函數f(x)的最小正周期；II 求函數fx在區間0, n上的最值與相應的x值.16. 本小題13分為評估大氣污染防治效果，調查區域空氣質量狀況，某調研機構從A, B兩地區一年的數據中隨機抽取了相同 20天的觀測數據，得到 A, B兩地區的空氣質量指數AQI 如以下列圖所示：2501 B地區(AQI)(88,216)1(150,222)(201,248)200150(97,144)(153,145)100(120,115)(1

6、58,120)50(40,77) 1(45,54)(30,48)(51,77)(91 *(53,65)(54,49)0,78)(29,30)(27,27)/(4'宀 J、(25,25) (21,22) ' ''* (60,42),38)A地區(AQI)O50100150200250根據空氣質量指數，將空氣質量狀況分為以下三個等級:空氣質量指數AQI(0,100)100,200)200,300)空氣質量狀況"|優良輕中度污染重度污染I試估計 A地區當年365天的空氣質量狀況“優良的天數；H假設兩地區空氣質量狀況相互獨立， 記事件C: “A地區空氣質量等級

7、優于 B地區 空氣質量等級 根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求事件C的概率川假設從空氣質量角度選擇生活地區居住，你建議選擇A，B兩地區哪個地區只需 寫出結論17. (本小題14分)如圖1,在邊長為2的菱形ABCD中,BAD 60 , DE AB 于點 E，將 ADE沿DE折起到 ADE的位置，使AD BE，如圖2.(I )求證：AE 平面BCDE ;(II )求二面角E AD B的余弦值;(III )在線段BD上是否存在點P，使平面A,EP 值；假設不存在，說明理由.平面ABD ?假設存在，求出BPBD18. (本小題14分)2X橢圓E:石a1 a b 0經過點(0,1)

8、，且離心率為(I )求橢圓E的標準方程;(II )過右焦點F的直線l (與x軸不重合)與橢圓交于 代B兩點，線段AB的垂直平分 線交y軸于點M (0,m)，求實數m的取值范圍.19. (本小題13分)函數 f(x) ax2 ax xex, a 1 .(I )假設曲線f(x)在點(0, f (0)處的切線方程為y x,求a的值；1(II) 證明：當x 0時，函數f (x)存在唯一的極小值點為x0，且 x00 .220. (本小題13分)p正項數列an中，假設存在正實數 p，使得對數列an中的任意一項ak , 也是 ak數列an中的一項，稱數列an為“倒置數列，p是它的“倒置系數.(I )假設數列

9、：1,4,9, x(x 9)是“倒置系數為 p的“倒置數列，求 x和p的值；(II )假設等比數列an的項數是m ,數列an所有項之積是T ,求證：數列a.是“倒置數列，并用 m和T表示它的“倒置系數 p ；(iii )是否存在各項均為整數的遞增數列an，使得它既是等差數列，又是“倒置數列，如果存在，請寫出一個滿足條件的數列，如果不存在，請說明理由.昌平區2021年高三年級第二次統一練習數學試卷理科參考答案、選擇題共8小題，每題5分，共40分題號12345678答案DCACBBBC二、填空題共6小題，每題5分，共30分9. 2010.1 或.711._5212. 3,2 13 . 1; 314

10、.a 1 ;15三、解答題共6小題，共80分15.共 13 分解：1 f x sinn 2x 3sin 2x2cos2x 、.3sin 2x2sin(2 x+ n)8分6當 X 2時，fXmin -1.13(II )因為0 xn,所以0 2x n2所以n- n2x+7 n5666所以fx的最小正周期是 n當 x 三時，f(x)max 2.16.(共 13 分)解：I從A地區選出的20天中隨機選出一天，這一天空氣質量狀況為“優良的頻率為1 5 075，估計A地區當年365天的空氣質量狀況“優良的頻率為0.75 , A20地區當年(365天)的空氣質量狀況"優良的天數約為365 0.75

11、 274天.4分(n)記a表示事件：“A地區空氣質量等級為優良；A2表示事件：“ A地區空氣質量等級為輕中度污染；Bi表示事件：“ B地區空氣質量等級為輕中度污染；B2表示事件：“ B地區空氣質量等級為重度污染，那么Ai與Bi獨立，A與B2獨立，Bi與B2互斥，C AiBLAiBJ A2B2.所以 P(C) P(ABi I，AB2U A2B2)P(AiBJ P(Ab) P(A2B2)P(A)P(Bi)p(A)p(B2)P(A2)P(B2).由所給數據得A , A2 ,3Bi , B2發生的頻率分別為一，i i3? ? 45520故 P(Ai)3 ,4iP(A2)-5i，P(Bi)-53，P(B

12、2)20所以P(C)3 ( -3 ) i 30.2925.ii分4520520(川)從空氣質量角度，建議選擇A地區居住.13分:(I)因為DEAB ,所以BEDE .又因為BEAiD所以BE平面ADE .因為AE平面ADE ,所以AEBE.又因為AEDE , BEG DEE,所以AE平面BCDE .-i7.(共 i4 分)5證明:,DEgD D ,(II )因為 A,E平面 BCDE , BE DE ,所以以E為原點，分別以 EB ED EA為Cx, y, z 軸，建立空間直角坐標系，那么B(1,0,0) , D(0,.,3,0)，A1(0,0,1) 所以 BA ( 1,0,1), BD (

13、1, -3,0) 設平面A(BD的法向量n (x, y,z),由n號x n BD xz 0，得3y 0z3y令y 1，得n( .3,1, 3) 因為BE 平面ADE，所以平面ADE 的法向量 EB (1,0,0),所以 cos： n, EBn EB<347.217因為所求二面角為銳角,所以二面角EAD B的余弦值為21710(III )假設在線段BD上存在一點P，使得平面AEP 平面ABD 設 P(x, y,z),BP BD(01),那么(x 1,y,z)(1, 3,0) 所以 P(1，'一 3 ,o)所以 EA (0,0,1) , EP(1,、3 ,0) 設平面AEP的法向量m

14、(x,y,z),由 m EA zm EP (10)x 3，得y 0(1令x -.3，得m ( 3 ,1,0) 因為平面AEP平面ABD ,所以m n 310 ,解得0,1 ,所以在線段BD上存在點P，使得平面AEP 平面ABD，且匹丄BD 418. (共 14 分)(2)當直線與x軸不垂直時，設直線 AB的方程為y k(x x2 2y21)20，得 1 2k2 %2 必 2 k2所以(4k2)28(1 2k2)(k2X2,y2 ，那么X11) 0,得 k R.X24k22k2'X1X22(k211)2k2y1 y2 “為X2 2)2k1 2k2所以線段AB中點C的坐標為2k2- 2，k

15、1 2k2 1 2k2由題意可知,故直線MC的方程為y1 2k22k212 2k2令 x=0,yk1 2k2，即k2k2當k>0時，得ok_2?=!k2k，當且僅當k4成立.同理，當k<0時,1 2k2k2當且僅當k4 ，時“=2成立.綜上所述，實數m的取值范圍為14b 1I)由題意，得e C2a 2'2 , 2 2 a b ca 75 解得b 1.所以橢圓E的標準方程是2x2彳7 y 1.5分(II ) (1)當直線x軸時，m=0符合題意.19. (共 13 分) 解：(I)因為 f(x) ax ax xex,得 f (x) 2ax a ex xex，所以 f (0) a

16、 1.因為曲線在點(0, f(0)處的切線方程為y x ,所以 f (0) a 11,即 a 2 .(Il)設 h(x) 2ax a ex xex因為x 0 ,所以x 22, ex又因為a 1,所以h (x)0 ,故 h(x) a(2x 1) ex(1 x)在(又因 h(0) a 10 , h(丄)21x0( 2,0)，有 h(xj 0 .當 x (，x)時，h(x) f (x)5分,那么 h (x) 2a 2ex xex 2a (x 1.,0)上為增函數.1 -e 20,由零點存在性定理，20，即f(x)在(，燈上為減函數，2)ex.存在唯一的當x (x°,0)時，h(x) f (

17、x) 0,即f(x)在(，冷)上為增函數,所以x0為函數f (x)的極小值點. 13分20. (共 13 分)解：(I)因為數列：1,4,9, x(x 9)是“倒置系數為P的“倒置數列所以, ,p也是該數列的項，且上衛衛 p .x94x 94故-1,-4,x 9即 x p 36.aiam0,(II )因為數列an是項數為m項的有窮正項等比數列,對數列an中的任意一項ai(1 i m)，f亍氓amii也是數列 a"中的一項,ai由“倒置數列的定義可知，數列 an是“倒置數列又因為數列an所有項之積是T ,所以T2(aia2a3 " ""am)( a mam 1 am 2 "