1、 2015年中考解決方案旋轉3對角互補及最值問題學生姓名：上課時間：旋轉3中考說明內容基本要求略高要求較高要求旋轉了解圖形的旋轉，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，能依據旋轉前、后的圖形，指出旋轉中心和旋轉角能運用旋轉的知識解決簡單問題對角互補旋轉模型圖（全等型90°）（全等型120°）（全等型任意角）中考滿分必做題此類題目有角含半角的旋轉圖形轉化而來。去掉，五邊形 就是對角互補模型，此題關鍵是出現對角互補和連有公共頂點的想等線段，這是解題的關鍵。【例1】 如圖所示，在四邊形中

2、，、分別是、上的點，若的周長為的2倍，求的度數 【例2】 如圖所示，在五邊形中，求此五邊形的面積【鞏固】如圖，已知五邊形中，求該五邊形的面積 【例3】 五邊形中，已知，連接求證：平分【例4】 四邊形被對角線分為等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一條對角線的長度為，求四邊形的面積【例5】 如圖，已知，在的平分線上有一點，將一個三角板的直角頂點與重合，它的兩條直角邊分別與、(或它們的反向延長線)相交于點、當三角板繞點旋轉到與垂直時，如圖，易證：當三角板繞點旋轉到與不垂直時，在圖、圖這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段、之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜

3、想，不需證明（和第二問講義的某題一樣）【例6】 已知，平分（1）在圖1中，若，求證：；（2）在圖2中，若，則中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由;（3）在圖3中：若， ，則= _若，則= _（用含的三角函數表示），并給出證明 【例7】 已知， 點是的平分線上的一動點，射線交射線于點，將射線繞點逆時針旋轉交射線于點，且使（1）利用圖1，求證：PA=PB；（2）如圖1，若點是與的交點，當時，求PB與PC的比值；（3）若MON=60°，OB=2，射線交于點，且滿足且，請借助圖3補全圖形，并求的長 圖1 圖2 圖3最值問題與共用頂點，固定將繞點旋轉過程中的，會出現的

4、最大值與最小值，如圖【例8】 如圖所示，是等邊三角形，在中，問：當為何值時，、兩點的距離最大？最大值是多少？ 【例9】 已知：，以為一邊作正方形，使、兩點落在直線的兩側如圖，當時，求及的長；當變化，且其它條件不變時，求的最大值及相應的大小（09西城一模） 【例10】 已知：，以為一邊作等邊三角形ABC使C、D兩點落在直線的兩側（1）如圖，當ADB=60°時，求及的長；（2）當ADB變化，且其它條件不變時，求的最大值，及相應的大小（13年通州一模）【例11】 已知：中，中，, 連接、，點、分別為、的中點 圖1 圖2(1) 如圖1，若、三點在同一直線上，且，則的形狀是_，此時_；(2)

5、如圖2，若、三點在同一直線上，且，證明，并計算 的值（用含的式子表示）；(3) 在圖2中，固定，將繞點旋轉，直接寫出的最大值【例12】 如圖1，已知是等腰直角三角形，,點是的中點作正方形，使點、分別在和上，連接， （1）試猜想線段和的數量關系是_； （2）將正方形繞點逆時針方向旋轉， 判斷（1）中的結論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結論； 若，當取最大值時，求的值 （2014年燕山一模）【例13】 在中，將繞點按逆時針方向旋轉，得到（1）如圖1，當點在線段的延長線上時，求的度數；（2）如圖2，連接，若的面積為，求的面積；（3）如圖3，點為線段中點，點是線段上的動點，在繞點按逆時針方向旋轉的過

6、程中，點的對應點是點，直接寫出線段長度的最大值與最小值 (2013年昌平一模)費馬點與旋轉考點說明：到三個定理的三條線段之和最小，夾角都為°旋轉與最短路程問題主要是利用旋轉的性質轉化為兩點之間線段最短的問題，同時與旋轉有關路程最短的問題，比較重要的就是費馬點問題 皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業余數學家之所以稱業余，是由于皮耶·德·費馬具有律師的全職工作他的姓氏根據法文與英文實際發音也常譯為“費爾瑪”（注意“瑪”字）費馬最后定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名“最后”的意思是：其它猜

7、想都證實了，這是最后一個著名的數學史學家貝爾（E T Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費馬為”業余數學家之王“貝爾深信，費馬比皮耶·德·費馬同時代的大多數專業數學家更有成就，然而皮耶·德·費馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀是杰出數學家活躍的世紀，因而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給意大利數學家埃萬杰利斯塔·托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯

8、坦納重新發現了這個問題，并系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題這一問題的解決極大推動了聯合數學的發展，在近代數學史上具有里程碑式的意義結論：（1）平面內一點到ABC三頂點的之和為，當點P為費馬點時，距離之和最小特殊三角形中：(2)三內角皆小于120°的三角形，分別以,為邊，向三角形外側做正三角形, ,然后連接,則三線交于一點,則點就是所求的費馬點(3)若三角形有一內角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是所求的費馬點(4)當為等邊三角形時,此時內心與費馬點重合下面簡單說明如何找點使它到三個頂點的距離之和最小？這就是所謂的

9、費爾馬問題 圖1解析：如圖1，把繞A點逆時針旋轉60°得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC，所以= PP+ PB+ PC點C可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉60°而得的定點，BC為定長 ，所以當B、P、P、C 四點在同一直線上時，最小這時BPA=180°-APP=180°-60°=120°，APC=A PC=180°-APP=180°-60°=120°，BPC=360°-BPA-APC=360°-120°-120°=120&#

10、176; 因此，當的每一個內角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內的交點就是P點；當有一內角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換 【例14】 閱讀下列材料對于任意的，若三角形內或三角形上有一點，若有最小值，則取到最小值時，點為該三角形的費馬點若三角形內有一個內角大于或等于，這個內角的頂點就是費馬點若三角形內角均小于，則滿足條件時，點既為費馬點解決問題：(1)如圖，中，三個內角均小

11、于，分別以、為邊向外作等邊、，連接、交于點，證明：點為的費馬點(即證明)且(2)如圖，點為三角形內部異于點的一點，證明：(3)若，直接寫出的最小值【鞏固】若點P 為ABC所在平面上一點，且APB=BPC=CPA=120°, 則點P叫做ABC的費馬點（1） 若P為銳角ABC的費馬點，且ABC=60°，PA=3，PC=4, 則PB的值為_；（2）如圖8，在銳角ABC的外側作等邊ACB，連結BB求證：BB 過ABC的費馬點P，且BB=PA+PB+PC 圖8 【鞏固】如圖所示，在四邊形中，,，為四邊形內部一點，證明：【例15】 小華遇到這樣一個問題，如圖1, ABC中，ACB=30

12、º，BC=6，AC=5，在ABC內部有一點P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據“兩點之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，發現通過旋轉可以解決這個問題他的做法是，如圖2，將APC繞點C順時針旋轉60º，得到EDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求（1）請你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為_；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：圖2如圖3，菱形ABCD中，ABC=60º，在菱形ABCD內部有一點P，請在圖3中畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；若中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當PA+PB+PC值最小時PB的長圖3圖1【例16】 (1)如圖1，和都是等邊三角形，且、三點共線，聯結、相交于點，求證：（2）如圖2，在中，分別以、和為邊在外部作等邊、等邊和等邊，聯結、和交于點，下列結論中正確的是_（只填序號即可）；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證： （13年房山一模）圖2圖1