1、1.7 1.7 定積分的簡單應用定積分的簡單應用 1.7.1 1.7.1 定積分在幾何中的應用定積分在幾何中的應用 1問題提出問題提出t57301p2 1. 1.定積分定積分 的含義及的含義及其幾何意其幾何意義分別是什么義分別是什么( )baf x dx1( )l i m( )nbinaibaf x dxfnx=-=x xy yab byf( (x) )O O( )baf x dx2 2. 2.微積分基本定理是什么？微積分基本定理是什么？ 如果如果f( (x) )是區(qū)間是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)， 并且并且 ，則，則 .( )( )Fxf x=( )( )( )( )bbaaf x

2、 dxFx dxF bF a=-蝌3 3. 3.用定積分可以表示曲邊梯形的面用定積分可以表示曲邊梯形的面積，微積分基本定理為定積分的計算提積，微積分基本定理為定積分的計算提供了一種有效的方法，二者強強聯(lián)合，供了一種有效的方法，二者強強聯(lián)合，可以解決平面幾何中曲邊圖形的面積問可以解決平面幾何中曲邊圖形的面積問題題. .45探究（一）：探究（一）：曲線曲線y2 2x與與yx2 2所圍成圖所圍成圖 形的面積形的面積 思考思考1：曲線曲線y2 2x與與yx2 2所圍成的圖形所圍成的圖形是什么？其交點坐標是什么？是什么？其交點坐標是什么？ 1 11 1x xy yO Oy y2 2x xy yx x2

3、2(0,0)(0,0)(1,1)(1,1)6思考思考2 2：如何將該圖形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊如何將該圖形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積？梯形的面積？x xy yO O1 11 1A AB BC CD Dy y2 2x xy yx x2 2S SS S曲邊梯形曲邊梯形OABCOABCS S曲邊梯形曲邊梯形OADC. OADC. 7思考思考3 3：該圖形的面積用定積分怎樣表示？該圖形的面積用定積分怎樣表示？ x xy yO O1 11 1A AB BC CD Dy y2 2x xy yx x2 211200Sxdxx dx=-蝌8思考思考4 4：利用微積分基本定理計算，該圖利用微積分基本定理計算，該圖形的

4、面積等于多少？形的面積等于多少？x xy yO O1 11 1A AB BC CD Dy y2 2x xy yx x2 23131200211|333Sxx=-=9探究（二）：探究（二）：直線直線yx4 4與曲線與曲線 及及x軸所圍成圖形的面積軸所圍成圖形的面積 2yx=思考思考1 1：直線直線yx4 4與曲線與曲線 及及 x軸所圍成的圖形是什么？各頂點的坐標軸所圍成的圖形是什么？各頂點的坐標是什么？是什么？2yx=8 84 44 4x xy yO Oy yx x4 42yx=(8,4)(8,4)(0,0)(0,0)(4,0)(4,0)10 x xy yO O4 48 8y yx x4 44

5、4A AB BC CD D2yx=思考思考2 2：如何將該圖形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊如何將該圖形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積？梯形的面積？ S SS S曲邊梯形曲邊梯形OABCOABCS S三角形三角形ABD.ABD.11思考思考3 3：該圖形的面積用定積分怎樣表該圖形的面積用定積分怎樣表示？示？ x xy yO O4 48 8y yx x4 44 4A AB BC CD D2yx=88042(4)Sxdxxdx=-蝌12思考思考4 4：利用微積分基本定理計算，該圖利用微積分基本定理計算，該圖形的面積等于多少？形的面積等于多少？x xy yO O4 48 8y yx x4 44 4A AB BC CD

6、 D2yx=38202 2140|44323Sx=-創(chuàng)=13理論遷移理論遷移 例例1 1 計算由直線計算由直線y y2 2x x， 和曲線和曲線 所圍成的平面圖形的面積所圍成的平面圖形的面積. .13yx= -yx=x xy yO O3 32 2y y2 2x x1 1A AB B1 11 1yx=136S=14 例例2 2 如圖，直線如圖，直線yk kx將拋物線將拋物線 yxx2 2與與x軸所圍成的平面圖形分成軸所圍成的平面圖形分成 面積相等的兩部分，求實數(shù)面積相等的兩部分，求實數(shù)k k的值的值. .x xy yO Oy ykxkxyxx21 11 1k k3112k=-15小結作業(yè)小結作業(yè)

7、 1. 1.定積分在幾何中的應用，主要用定積分在幾何中的應用，主要用于求平面曲邊圖形的面積于求平面曲邊圖形的面積. .解題時，一般解題時，一般先要畫出草圖，再根據(jù)圖形確定被積函先要畫出草圖，再根據(jù)圖形確定被積函數(shù)以及積分的上、下限數(shù)以及積分的上、下限. . 2. 2.定積分只能用于求曲邊梯形的面定積分只能用于求曲邊梯形的面積，對于非規(guī)則曲邊梯形，一般要將其積，對于非規(guī)則曲邊梯形，一般要將其分割或補形為規(guī)則曲邊梯形，再利用定分割或補形為規(guī)則曲邊梯形，再利用定積分的和與差求面積積分的和與差求面積. .對于分割或補形中對于分割或補形中的多邊形的面積，可直接利用相關面積的多邊形的面積，可直接利用相關面積公式求解公式求解. .16 3. 3.位于位于x x軸下方的曲邊梯形的面積，軸下方的曲邊梯形的面積，等于相應定積分的相反數(shù)等于相應定積分的相反數(shù). .一般地，設由一般地，設由直線直線xa，xb( (ab) )，y0 0和曲線和曲線yf( (x) )所所圍成的曲邊梯形的面積為圍成的曲邊梯形的面積為S S，則，則. .| ( )