1、線性方程組的求解中國青年政治學院 鄭艷霞 使用建議：建議教師具備簡單的MATHMATICA使用知識。 課件使用學時：4學時 面向對象：文科經濟類本科生 目的：掌握線性方程組的知識點學習。0.80.40.7為民主黨投票為共和黨投票為自由黨投票0.30.10.10.30.10.2 LRD自自由由黨黨得得票票率率共共和和黨黨得得票票率率民民主主黨黨得得票票率率x05. 040. 055. 00 x假設在美國某一固定選區國會選舉的投票結果用三維向量表示為假設在美國某一固定選區國會選舉的投票結果用三維向量表示為假設一次選舉中結果為假設一次選舉中結果為確定下一次和再下一次可能結果。確定下一次和再下一次可能

2、結果。每次選舉得票情況的變化為每次選舉得票情況的變化為我們用上述類型的向量每兩年記錄一次國會選舉的結果，同時我們用上述類型的向量每兩年記錄一次國會選舉的結果，同時每次選舉的結果僅依賴前一次選舉的結果。每次選舉的結果僅依賴前一次選舉的結果。4 . 01 . 01 . 03 . 08 . 02 . 03 . 01 . 07 . 0P115. 0445. 0440. 005. 040. 055. 04 . 01 . 01 . 03 . 08 . 02 . 03 . 01 . 07 . 001Pxx 1345. 04785. 03870. 012Pxx,.3 , 2 , 1,1kPxxkk對于給出的選

3、舉變化情況，我們可以用一個矩陣進行表達對于給出的選舉變化情況，我們可以用一個矩陣進行表達一般地，總可以由這次的選舉結果和下一次選舉的轉移情況一般地，總可以由這次的選舉結果和下一次選舉的轉移情況得到下一次選舉的結果：得到下一次選舉的結果：于是下一次和再下一次可能結果為：于是下一次和再下一次可能結果為：表示第表示第j個黨向第個黨向第i個黨轉移的比例個黨轉移的比例 ija0.80.40.7為民主黨投票為共和黨投票為自由黨投票0.30.10.10.30.10.2假設選舉得票情況的變化是恒定假設選舉得票情況的變化是恒定P, 問從現在開始經過多年問從現在開始經過多年若干選舉之后若干選舉之后,投票者可能為共

4、和黨候選人投票的百分比是投票者可能為共和黨候選人投票的百分比是多少？多少？? ,:1向量序列極限如何確定一般做法kkkxPxx若若P是一個矩陣，滿足各列向量均非負，且各列向量紙盒等于是一個矩陣，滿足各列向量均非負，且各列向量紙盒等于1，則相對于，則相對于P的穩定向量必滿足：的穩定向量必滿足：Pq=q。可以證明每一個滿。可以證明每一個滿足上述條件的矩陣，必存在一個穩定向量；并且，若存在整足上述條件的矩陣，必存在一個穩定向量；并且，若存在整整數整數k，使得，使得Pk0,則則P存在唯一的向量存在唯一的向量q滿足條件。滿足條件。易見易見P20,滿足上述條件。于是上述問題轉化為滿足上述條件。于是上述問題

5、轉化為:如何求出滿如何求出滿足足的非的非0向量向量x。 x=Px即方程組即方程組(P-I)x=0的解，就是我們需要的結果。的解，就是我們需要的結果。齊次線性方程組齊次線性方程組110 (2)m nnmAx 1. 齊次線性方程組（齊次線性方程組（2）有解的條件）有解的條件定理定理1：齊次線性方程組齊次線性方程組 有非零解有非零解110m nnmAx r An定理定理2：齊次線性方程組齊次線性方程組 只有零解只有零解110m nnmAx r An 推論：推論：齊次線性方程組齊次線性方程組 只有零解只有零解110n nnnAx r An即即0,A 即即系數矩陣系數矩陣A可逆。可逆。1.有解的條件有解

6、的條件2.解的性質解的性質3.基礎解系基礎解系4.解的結構解的結構2. 解的性質解的性質（可推廣至有限多個解）（可推廣至有限多個解）解向量：解向量：每一組解都構成一個向量每一組解都構成一個向量性質：性質：若若 是齊次線性方程組是齊次線性方程組Ax=0的解，的解，12, 則則 仍然是仍然是齊次線性方程組齊次線性方程組Ax=b的解。的解。1122xkk解空間解空間:0AX 的所有解向量的集合，對加法和數乘的所有解向量的集合，對加法和數乘都都封閉，所以構成一個向量空間，稱為這個齊次封閉，所以構成一個向量空間，稱為這個齊次線性方程組的解空間。線性方程組的解空間。3. 基礎解系基礎解系設設12,n r

7、是是0AX 的的解，滿足解，滿足121 ,n r （ ）線性無關；線性無關；2 0AX （ ）的的任一解都可以由任一解都可以由12 ,n r 線性表示。線性表示。則稱則稱12,n r 是是0AX 的的一個一個基礎解系。基礎解系。定理：定理：設設A是是mn 矩陣，如果矩陣，如果( ),r Arn則則齊次線性方程組齊次線性方程組0AX 的的基礎解系存在，基礎解系存在，且且每個基礎解系中含有每個基礎解系中含有nr 個個解向量。解向量。證明分三步證明分三步: 1. 以某種方法找以某種方法找 個解。個解。nr 2. 證明這證明這nr 個解個解線性無關。線性無關。3. 證明任一解都可由這證明任一解都可由這

8、nr 個解個解線性表示。線性表示。注：注：0AX 的的基礎解系實際上就是解空間的一個基。基礎解系實際上就是解空間的一個基。(1)(2) 證明過程提供了一種求解空間基（基礎證明過程提供了一種求解空間基（基礎 解系）的方法。解系）的方法。(3) 基（基礎解系）不是唯一的。基（基礎解系）不是唯一的。(4) 當當( )r An 時，解空間是時，解空間是 0.當當( )r Arn時，求得基礎解系是時，求得基礎解系是12,n r 則則1122 n rn rxkkk是是0AX 的的解，解，稱為稱為通解。通解。4. 解的結構解的結構0AX 的的通解是通解是1122n rn rxkkk00075. 31025.

9、 2016 . 01 . 01 . 03 . 02 . 02 . 03 . 01 . 03 . 0IP最終大約有的選票被共和黨人得到最終大約有的選票被共和黨人得到.r(P-I)=20。再將求出的解進行歸一，。再將求出的解進行歸一，就得到了滿足條件的解，此時的解是唯一的。就得到了滿足條件的解，此時的解是唯一的。1321xxx一棟大的公寓建筑使用模塊建筑技術。每層樓的建筑設計由一棟大的公寓建筑使用模塊建筑技術。每層樓的建筑設計由3種設計中選擇。種設計中選擇。A設計每層有設計每層有18個公寓，包括個公寓，包括3個三室單元，個三室單元，7個兩室單元和個兩室單元和8個一室單元；個一室單元；B設計每層有設

10、計每層有4個三室單元，個三室單元，4個兩室單元和個兩室單元和8個一室單元；個一室單元；C設計每層有設計每層有5個三室單元，個三室單元，3個個兩室單元和兩室單元和9個一室單元。設該建筑有個一室單元。設該建筑有x層采取層采取A設計，設計，y層采層采取取B設計，設計，z層采取層采取C設計。設計。?873x(1)的實際意義是什么向量（2）寫出向量的線性組合表示該建筑包含的三室、兩室和一室單元）寫出向量的線性組合表示該建筑包含的三室、兩室和一室單元的總數。的總數。（3）是否可能設計出該建筑，使恰有）是否可能設計出該建筑，使恰有66個三室、個三室、74個兩室和個兩室和136一一室單元？如可能的話，是否有多

11、種方法？說明你的答案。室單元？如可能的話，是否有多種方法？說明你的答案。解答解答（1）表示當建筑）表示當建筑x層采取層采取A設計時，包括三室設計時，包括三室 單元，兩室單元和一室的公寓數目。單元，兩室單元和一室的公寓數目。1367466935844873zyx935844873)2(zyx （3）問題轉化為：求非負整數）問題轉化為：求非負整數x,y,z滿足：滿足： 也就是非求齊次線性方程組也就是非求齊次線性方程組 的解的問題。的解的問題。1367466zyx988347543 非齊次性線性方程組非齊次性線性方程組11 (1)m nnmAxb 1. 有解的條件有解的條件 定理定理3：非齊次線性方

12、程組非齊次線性方程組11m nnmAxb 有解有解 ,r Ar A b并且，當并且，當 ,r Ar A bn時，有唯一解；時，有唯一解；當當 ,r Ar A bn時，有無窮多解。時，有無窮多解。分析分析:3. 解的結構解的結構若若11 (1)m nnmAxb 有解，則其通解為有解，則其通解為*x 其中其中* 是（是（1）的一個特解，）的一個特解， 是（是（1）對應的齊次線性方程組）對應的齊次線性方程組 的通解。的通解。0Ax 1. 證明證明*x 是是解；解；2. 任一解都可以寫成任一解都可以寫成*x 的的形式。形式。2. 解的性質解的性質性質性質1：12, 是是 的解，則的解，則12 是是0Ax 11m nnmAxb 對應的齊次線性方程組對應的齊次線性方程組的的解。解。性質性質2：.0111111的解是則的解，是的解，是設mnnmmnnmmnnmbxAbxAxA1367466zyx98834754300001581310221011369887434766543),(bA32)(),(ArbAr 由此可得由此可得 ， 因此該非齊次線性方程組有因此該非齊次線性方程組有解，且基礎解系含有一個向量。解，且基礎解系含有一個向量。81340152*kx進