1、溫控設(shè)備問題及答案在某一溫控設(shè)備中有一水平放置的彈性圓柱形細(xì)桿, 左端與壁垂直固聯(lián)(以固聯(lián)處為坐標(biāo)原點, 梁的中心軸線位于x軸上, 桿長L = 34mm, 抗彎剛度 EI = 1318.4 N·mm2（牛·毫米平方） 細(xì)桿右端與一豎直的鋼臂相連, 在臂的兩端對稱于細(xì)桿用兩根水平放置的相同彈簧(不受力時長度L0 = 21mm)與壁相連, 兩彈簧之間距 h = 11mm. 設(shè)兩根彈簧的剛性系數(shù)k與溫度T(ºC)有關(guān): 當(dāng)T在35ºC到60ºC之間時k = 0.034 + 0.0611+sin(0.04(T - 47.5) (N/mm), 其他溫度時

2、剛性系數(shù)不變, 即T > 60ºC時, k = 0.156 (N/mm), T < 35ºC時, k = 0.034 (N/mm). 問題是當(dāng)上彈簧溫度為60ºC, 下彈簧溫度為35ºC時, 畫出細(xì)桿的中心軸線的形狀并求出細(xì)桿的中心軸線右端坐標(biāo) (x0,y0) (mm) 以及轉(zhuǎn)角0 (弧度)的數(shù)值(假定鋼臂、鋼臂與細(xì)桿的夾角都沒有形變, 并且忽略重力及細(xì)桿的軸向形變) . 建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)細(xì)桿的中心軸線弧長s為自變量, 在坐標(biāo)原點弧長為零, z是曲線的切線的傾角, 由力學(xué)原理, 兩彈簧對彈性桿的拉力F1, F2作用在點上, 可歸結(jié)為以下常微分

3、方程組的初值問題： (1)其中M是兩個彈簧的拉力F1, F2作用在點上的總力矩, 逆時針方向為正. 由彈性力作用在壁上和鋼臂上是大小相等, 方向相反, 鋼臂和細(xì)桿的夾角也是直角. 如果把壁當(dāng)作鋼臂, 則由幾何的對稱性, 細(xì)桿關(guān)于中點應(yīng)是軸對稱的, 故兩彈簧應(yīng)當(dāng)是平行的, 兩端點的曲率相等, 因此由兩彈簧的平行性可得. (2)作坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn), . (3)使得細(xì)桿的兩個端點位于軸上, 彈簧的拉力平行于軸, 這樣容易計算力矩M, 方程組(1)化為 (4)其中, (5)分別是上、下彈簧拉力的大小., , (6)分別是上、下彈簧的長度對方程組(4)的第三個方程關(guān)于s求導(dǎo), 并利用(4)中的第2個方程,

4、得二階微分方程的邊值問題, , (7)這方程還要滿足條件, 才能確定未知參數(shù). 方程(7)的解要用橢圓函數(shù)來表示, 加上參數(shù)是未知的, 要求(7)的解析解是不容易的. 因此在大撓度的形變時, 還是要用數(shù)值計算來解決問題. 用坐標(biāo)變換(3)的逆變換, 得方程組(1)的具體形式 (8) 方程組(8)的解在右端點要滿足條件, , 以下是用數(shù)值求解方程組(1)的方法：任意給定細(xì)桿的右端點的值, 求解常微分方程組的初值問題的解, 可以得到一組新的右端點的值, 若, 則得到了解, 因此問題就轉(zhuǎn)化為求方程的根的問題, 可以用MATLAB的求根函數(shù)fsolve來求, 也可以用疊代法求方程的根, 對于本題用疊代

5、法較好. (2)式可以用來檢驗結(jié)果. 以下是MATLAB的疊代程序, 輸入上、下彈簧的溫度向量t=t1, t2, 畫出桿的中心軸線的形狀及給出右端坐標(biāo) (x0,y0)(毫米) 以及轉(zhuǎn)角0 (弧度)的數(shù)值, 輸出w=x0, y0,z0. 對于不太大的撓度, 初值可取為x0, y0,z0=L, 0, 0. 對于本題的數(shù)據(jù), 在疊代時w的三個分量都是單調(diào)變化而趨于有限的極限. 疊代7次就得到精度為5位有效數(shù)字的解.主程序function w,err=exliang(t) %t=t1, t2是上, 下彈簧的溫度, err是誤差T=satlins(0.08*t-3.8); % t的分量大于60時T的相應(yīng)

6、分量為 1, t小于35時為-1.k=0.034+0.061*(1+sin(0.5*pi*T); %上、下彈簧的剛性系數(shù) 上下溫差最大時k=0.156,0.034Y0=0,0,0; L=34; %常微分方程的初值條件, 桿長數(shù)據(jù)w0=L,0,0; %設(shè)定桿右端點的初值.options=odeset; options.RelTol=1e-10; options.AbsTol=1e-10; %ode45誤差設(shè)定for ii=1:100 %疊代, 最大疊代次數(shù)限制為100, 對于k的直到k=0.9,0.034,疊代都是收斂的, s,Y=ode45(liang,0 L,Y0,options,w0,k)

7、; %調(diào)用ode45數(shù)值求解常微分方程 w=Y(end,:); err= norm(w-w0,1); %桿右端點的新值及新、舊值的差的模 if err<1e-12; plot(Y(:,1),Y(:,2); axis equal; hold on; plot(0,w(1)-11*sin(w(3)/2; w(1)+11*sin(w(3)/2,0,11/2,w(2)+11*cos(w(3)/2, w(2)-11*cos(w(3)/2,-11/2,'r-'); return; endw0=w, %以桿右端點的新值代替桿右端點的初值, 循環(huán)end常微分方程向量場子程序functio

8、n F=liang(s,w,w0,k) %桿右端點的初值w0及剛度系數(shù)k為方程的參數(shù)h=11,-11; EI=1.3184e3; L0=21; % 已給數(shù)據(jù)u=cos(w0(3)/2); v=sin(w0(3)/2); % 為避免以后重復(fù)計算而設(shè)的中間變量L=w0(1)/u-h*v;%上、下彈簧長度F0=(L-L0).*k; %上、下兩彈簧的拉力的大小M=(F0(1)-F0(2)*u*h(1)/2+(w(1)*v-w(2)*u)*(F0(1)+F0(2); %總力矩, F=cos(w(3);sin(w(3);M/EI; % 微分方程向量場運行w, err=exliang(t)回車就得到溫度t=t1, t2時的梁右端坐標(biāo)(w0(1),w0(2)(單位mm)和轉(zhuǎn)角w0(3) (單位弧度), 誤差err, 并畫出桿的曲線圖.當(dāng)t=60, 35ºC, 精確到五位有效數(shù)字的w為w=33.700 3.8635 0.22829（mm, mm, rad）從圖上可見, 裝置不碰壁, 下彈簧也不會與細(xì)桿相碰, 故設(shè)計合理.圖像為：對于解是否是惟一是一個較困難的問題. 但是對于本問題, 由于溫度是連續(xù)變化的, 而且彈簧的力不是很大, 從物理上講這個解是惟一的. 對于疊代的收斂性, 如初值都取L,0,0, 當(dāng)剛性系數(shù)與溫度的關(guān)系公式中系數(shù)0.061增加到使得上下剛性系數(shù)為k=0.9, 0