1、填空題。1.3 d2x 方程xdt210是階線性、非線性微分方程2.x dy方程y dxf(xy) 經(jīng)變換，可以化為變量別離方程3.3d y微分方程dx30滿足條件 y(o)i,y (0)4.設(shè)常系數(shù)方程yxe的一個(gè)特解y*(x)5.朗斯基行列式 W(t)0是函數(shù)組6.7.8.9.條件2方程 xydx (2xX A(t)X方程組x常微分方程練習(xí)試卷2的解有個(gè).2xexxe ，那么此方程的系數(shù)可用變換將伯努利方程i0 .是滿足方程yii.方程的待定特解可取3y2的基解矩陣為X1(t),X2(t),，Xn(t)在 ax20)dy0 的只與 y有關(guān)的積分因子為.(t)的,那么A(t)b上線性相關(guān)的0

2、x的基解矩陣為.5化為線性方程2y 5y y1和初始條件的唯一解.的形式:12.三階常系數(shù)齊線性方程y2y y0的特征根是計(jì)算題1.求平面上過原點(diǎn)的曲線方程該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直dy x y 12.求解方程dx x y 3d2x3. 求解方程x2dt4. 用比較系數(shù)法解方程.5.求方程 y y sin x 的通解.6.驗(yàn)證微分方程(cosxsinx xy2)dx y(1 x2)dy0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解7.8.求方程dydx9.10.假設(shè)三、證明題1.假設(shè)2x 1 3y2(鬻dx4xy色 dx(t),2.設(shè)(x)(的皮卡逐步逼近函數(shù)序列(t)是 XXo，

3、X1dX，試求方程組 一1dtAX 的一個(gè)基解基解矩陣通過點(diǎn) (1,0) 的第二次近似解.8y2的通解0試求方程組x Ax的解 (t),A(t)X 的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣)是積分方程y(x) yoX 22y( ) d ,x0 n(x) 在,上一致收斂所得的解，而(X)3.設(shè)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且是二階線性方程的一個(gè)根本解組.試證明：(i) 和都只能有簡單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零);(ii) 和沒有共同的零點(diǎn)(iii) 和沒有共同的零點(diǎn)4.試證：如果(t)是dtAX滿足初始條件(花)(t)，求dXdtAX 滿足初始條件 x(0)的解(0)，使得X°

4、;,X是這積分方程在(t)并求expAt(t)C.上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明：在,上(x)(x)的解，那么 (t) expA(t t0)答案一.填空題。1.二，非線性 2. Uxy，1duu(f (u) 1)1dx 3. 無窮多 4.x3,2,15.必要 6.“At(t)1(t)8.e2t門e 05t0 e10. 11.12. 1,、計(jì)算題1.求平面上過原點(diǎn)的曲線方程，該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)(1,0)的連線相互垂直解：設(shè)曲線方程為切點(diǎn)為(X,y),切點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的連線的斜率為，那么由題意 可得如下初值問題別離變量，積分并整理后可得代入初始條件可得因此得所求曲線為dyx y 1

5、2.求解方程dxx y 3解：由X y 10,求得xx y 3 01,y1,2,d那么有，解得(11z)dz2Z，積分得arcta n z丄1門(12z2)ln| | C故原方程的解為arcta n -_2x 1In ,(x 1)2 (y 2)2 C，故有或，積分后得，即，所以就是原方程的通解，這里為任意常數(shù)。d2x,dx、23.求解方程x()dtdt解 令，直接計(jì)算可得，于是原方程化為4.用比較系數(shù)法解方程.解：特征方程為，特征根為.對應(yīng)齊方程的通解為.設(shè)原方程的特解有形如代如原方程可得利用對應(yīng)系數(shù)相等可得，故.原方程的通解可以表示為(是任意常數(shù))5.求方程 y y si n x 的通解.解

6、：先解yxy得通解為y ce ,令y c(x)ex為原方程的解，代入得 c(x)ex c(x)ex c(x)ex si nx即有c (x)xe sin x積分得c( x)1e x(sin x cosx) c2所以yce(sin x cosx)為原方程的通解6.驗(yàn)證微分方程(cosxsinx xy2)dxy(1 x2)dy0是恰當(dāng)方程，并求出它的通解解：由于 M (x, y) cosxsinx xy2,N(x, y)y(ix2)，因?yàn)?xyN所以原方程為恰當(dāng)方程x2 2把原方程分項(xiàng)組合得cosxsin xdx (xy dx yx dy) ydy 0c2220,故原方程的通解為sin x x yy

7、2 c12 1 2 2 1 2或?qū)懗?d(sin x) d(x y ) d(y )2 2 2317設(shè)A241dXdX，試求方程組A X 的一個(gè)基解基解矩陣(t)，求AX滿足初始條件x(0)的解1dtdt解：特征方程為 det(A E)(2)(5)0,求得特征值2,5,對應(yīng)12,25的特征向量分別為V),V20).可得一個(gè)基解矩陣(t)2t e5t e2t2e5t(0)于是，所求的解為 (t)12t e5t e21112t ec 5t2e32t e2e 5t11132t e5t4e，又因?yàn)? 1(t)1(0)dy8.求方程 一dx22x 1 3y 通過點(diǎn) (1,0) 的第二次近似解1(x) y。

8、x12x 123 o(x)dx2x x,x21 233 43 52(x) y°1 2x 13 1 (x)dx一 x xxxx11025求(dy)3 求()/ dy4xy -8y2 0的通解dxdx解:令0(x)0，于是9.x解：方程可化為A 8y2 dx '4y業(yè) 魚 dx ，令 dxP x那么有32P 8y4yp *兩邊對y求導(dǎo)得2y(p34y2 )乎 dyP(8y3p )24y p即(p3 4y2)(2噹p) 0,由 2ydy12cy2，即(£)2c將y代入*得c2x即方程的含參數(shù)形式的通解為:3又由p4y210.假設(shè)解：特征方程由公式expAt：2pc22pc

9、2(P)2c1(4y2)3試求方程組,p為參數(shù);代入P(t)1e3texpAt三、證明題1.假設(shè)(t),證:那么所以y得Ax的解bA27x3(t),也是方程的解(0)，解得1,2并求expAt，此時(shí)k=1,n13E)ie3tt(t(2)2)'-(A0i!e3t E(t)是 X(t) 是基解矩陣，故t(AE)i3E)e3te3tA(t)X 的基解矩陣，求證：存在一個(gè)非奇異的常數(shù)矩陣1(t)存在，令X(t)X (t)可微且 detX (t)0，易知(t)(t)(t)X(t)(t)X (t)C，使得(t)(t)C(t) A(t) (t)，所以1(t) (t)，(t)X(t).A(t) (t)

10、X(t)(t)X (t)0,X (t)0, X(t) C 常數(shù)矩陣，故 (t)(t)C.(t)X (t) A(t) (t)(t)X (t)2.設(shè)(x) (X。，X) 是積分方程的皮卡逐步逼近函數(shù)序列證明：由題設(shè)，有o(x)下面只就區(qū)間因?yàn)樗云渲衴(x) n(X)(X) y。y。，Xq(X)X。y。X 22y(Xq上一致收斂所得的解，而)d ,Xo，X ,(x) 是這積分方程在上的連續(xù)解，試用逐步逼近法證明:(x)(X)n(X)y。X。1()d , Xo,x ，(n1,2,)上討論,對于X。的討論完全一樣。°(x)|Xq(X) i(x) I計(jì)2,(X)n(x)IXq2I設(shè)對正整數(shù)Xq

11、2I2I)|0(x)l)d)I)dXqi(x)IM (xx。),其中Mmax x2X , l(X)|X|M(MLnXo)dML藥(XXq)2,(xnXq),那么有l(wèi)()I)dXqMLn1xo)ndMLn(n 1)!(XXo)n 1故由歸納法，對一切正整數(shù) k，有I (X)i(x)Ik 1MLk!(XXo)kk 1MLk!)k.而上不等式的右邊是收斂的正項(xiàng)級數(shù)的通項(xiàng)，故當(dāng)時(shí)，它0,因而函數(shù)序列 n(X)在 Xq X上一致收斂于(x) .根據(jù)極限的唯一性,即得(X)(X), XqX3.設(shè)都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且是二階線性方程的一個(gè)根本解組試證明：(i)和都只能有簡單零點(diǎn)(即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零);(ii)和沒有共同的零點(diǎn)；(iii)和沒有共同的零點(diǎn).證明：和的伏朗斯基行列式為因和是根本解組，故.假設(shè)存在，使得,那么由行列式性質(zhì)可得，矛盾即最多只能有簡單零點(diǎn)同理對有同樣的性質(zhì),故(i)得證.假設(shè)存在，使得，那么由行列式性質(zhì)可得, 矛盾.即與無共同零點(diǎn).故(ii)得證.假設(shè)存在，使得,那么同樣由行列式性質(zhì)可得,矛盾.即與無共同零點(diǎn).故(iii)得證.4.試