1、初二數學同步輔導教材(第 3講)教學進度 § 8.2§ 8.3教學容1 運用公式法2 分組分解法 重點、難點剖析一、運用公式法1 常用的公式如下：平方差公式a -b =(a+b)(a-b) 完全平方公式a2 2ab+b2=(a b)22 運用公式分解因式(1) 要注意公式的特點2 2平方差公式a-b =(a+b)(a-b) 特點是：公式左邊的多項式形式上是二項式，且兩項的符號相反，每一項都可以化成某個 數或某式的平方的形式，左邊分解的結果：這兩個數或兩個式子的和與它們的差的積，相當于分解成兩個一次二項式的積。運用a2-b 2=(a+b)(a-b)分解因式已在上講中我們已講了

2、例題，做了練習。(2) 平方公式：a2 2ab+b2=(ab)2特點是：左邊相當于一個二次三項式，首末兩項是兩個數或某個式子的平方，且這兩項的符號相同，中間一項為哪一項這兩項兩個數或兩個式子的積的2倍，符號正負均可，公式右邊是某兩個數或某兩個式子的和或差的平方，完全平方公式分解之后，括號右上方的指數“2，不要忘記，要特另注意。(3) 運用公式法分解因式，對一些計算可以起到簡化的作用，例如：4282-328 2=(428+328)(428-328)=756 X 100=75600(4) 無法考慮使用哪一個公式，在此之前應先考慮是否可提取公式，因為它能使剩下的多項式因式簡化，另外要檢查分解后的多項

3、式因式能否再分解。二、分組分解法1 對于一個含有四項或更多項的多項式進行分解因式，一般采用分組分解法來進行。2 分組原那么(1) 分組后能提公因式；(2)分組后能運用公式；例如：分解因式x2-xz+xy-yz，把前兩項作為一組，后兩項作為一組，當組公因式提出后，同時組間產生了新的公因式，從而 到達分解因式的目的，x -xz+xy-yz=x(x-z)+y(x-z)=(x-z)(x+y)分組分解法分組并不是唯一的，對于x2-xz+xy-yz，可以把第一、三兩項作為一組，也可以把第二、四兩項作為一組，同樣可以到達因式分解目的：x2-xz+xy-yz=(x 2+xy)+(-xz-yz)=x(x+y)-

4、z(x+y)=(x+y)(x-z)例1 .分解因式：1(1)卅-1 (2) a2-a+(3) (x2+4x) 2+8(x 2+4x)+16 (4) x6-y 64分析：對(1)、(2)、(3)明顯可直接運用平方差公式或完全平方公式；對( 4)可將x6,y 6分別寫為(x3)2和(y3)2解(1) mi-1= (m2-1)(m 2+1)=(m+1)(m-1)(m 2+1) a 2-a+ 1 =a2-2.a. +( -)2(a - )2422 22 2 2 2(3) 1+6(x+y)+9(x+y)=1 +2X 3(x+y) X 1+3(x+y)=(1+3x+3y) x6-y 6=(x3) 2-(y

5、 3) 2=(x 3+y3)(x 3-y 3)=(x+y)(x 2-xy+y 2)(x-y)(x2+xy+y2)._422 如果分解因式 m-仁(m -1)(m +1)就叫做分解點評：1 .分解因式一定要徹底，即進行到每個多項式都不能再分解為止。如 因式不徹底。2 立方和(差)公式：a3 b3 (a b)(a2 ab b2),在分解因式的時候也經常用到，熟悉并掌握是有好處的。如(4)中就用到這個公式，以使分解因式到達徹底。例2 .分解因式n+1n n-166.(1) x -6x +9x(2) x(x+y-z)+y(z-x-y)分析：提取公因式后再運用公式解(1)原式=xn-1 (x 2-6x+

6、9)=x n-1 (x-3) 2(2) 原式=(x+y-z)(x6-y 6)3 23 2=(x+y-z)(x) -(y )=(x+y-z)(x3+y3)(x 3-y 3)=(x+y-z)(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2)例3 .分解因式33(1) x (x-2y)+y(2x-y)(2) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24分析：此題二個小題從原形式來既不能提取公因式入手來分解因式，又不能直接應用公式進行因式分解，為此先展開變形后 運用公式。解(1)原式=x4-2yx 3-2xy 3-y 4“4 4、 3 a3、=(x-y )-(2x y-2xy )2-y )

7、2 2 2 2=(x+y )(x -y )-2xy(x=(x2-y2)(x 2+y2-2xy) =(x+y)(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)(2)原式=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24=(x2 2+5x+4)(x +5x+6)-242設 x +5x+5=y那么原式=(y-i)(y+i)-24=y 2-25 =(y+5)(y-5)2 2=(x+5x+10)(x +5x)2=x(x+5)(x+5x+10)(2)展開時考慮到兩個二次三項式中二次項與一次項分別相等，這里引入輔助字母 y=x2+5x+5，而x2+5x+5是x2+5x+4與x2+5x+6的平均值，所以這種換元稱為均

8、值換元。例4.把 mx+ nx+my+ny因式分解分析：多項式共有四項，可按公因式分成兩組mx與nx, my與ny各一組。解：原式=(mx+ nx)+(my+ ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n) (x+y)點評：分組分解法的關鍵是適當、合理地分組，此題按公因式分組是一種常用的分組方法。2 2 . -例5 .把16x -9y -32x+16因式分解分析：先把一、三、四項分在一組，利用完全平方公式分解，再與第二項運用平方差公式分解。2解：原式=(16x -32x+16)-9y=(4x-4)2-(3y)=(4x-4+3y)(4x-4-3y)按能否使用公式分組是分組分解法中也是一種常用的方

9、法2 2例 6.分解因式 a -6ab+9b -4a+12b分析：將所有二次項作為一組，將所有一次項作為一組，第一組是一個完全平方，第二組有公因式 解：原式=(a2-6ab+9b 2)-(4a-12b)2=(a-3b)-4(a-3b)=(a-3b)(a-3b-4)例7.分解因式322333(1) 20y +6ax -8axy-15xy (2) a (b-c)+b (c-a)+c(a-b)(1) 式中y為3次，x為2次，a為一次，可依最低的a為主元重新排列。(2) 式中a、b、c的字母次數相同，可選一個字母為主來排列。解 (1)原式=6ax -8axy+20y -15xy2=2ax(3x-4y)

10、-5y(4y-3x)2=(3x-4y)(2ax+5y)(2) 原式=(b-c)a 3-(b 3-c3)a+(b 3c-bc 3)322 2 2=(b-c)a-(b-c)(b +bc+c )a+bc(b -c )3 2 2=(b-c)a-(b +bc+c )a+bc(b+c)2 2 2=(b-c)(c-a)b+(c-a)bc-a(c -a )2=(b-c)(c-a)b+bc-a(c+a)22=(b-c)(c-a)(b+bc-ac-a )2 2=(b-c)(c-a)(b-a )+c(b-a)=(b-c)(c-a)(b-a)(b+a+c)例&分解因式4 3(1) x +4(2) x-9x+8

11、分析：(1)只有兩項，這兩項是平方和(x 2) 2+22的形式，而公式中沒有平方兩項和的公式，只有平方差公式、完全平方公式、立方和(差)公式，要使用公式必須添一中項2 2x2,隨即將此項減去即可。8折成-1+9，即可運用公式了。(2)此題是三次三項式，顯然不能直接進行因式分解，可將解(1)原式=x4+4x2+4-4x2=(x42+4x +4)-4x=(x2+2) 2-(2x) 22 2=(x+2x+2)(x -2x+2)3(2) 原式=(x -1)+(-9x+9)2=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)2=(x-1)(x+x+1-9)=(x-1)(x2+x-8)點評：本例是先添(拆)項，后分

12、組穩固練習一、選擇題1 將x2(x-y) 2-y 2(y-x) 2因式分解的結果是()22222223(A) (x-y) (x +y ) (B) (x-y) (x -y ) (C) (x-y)(x-y)(x+y) (D) (x-y)(x+y)2 以下多項式中能運用公式法因式分解的是()(A) - a3-b3 (B) a2-ab+b2 (C) a2+b2 (D)- a-b3 用分組分解法把多項式ab-c+b-ac分解因式，分組的方法有()(A) 4 種(B) 3 種(C) 2 種(D) 1 種4用分組分解法分解多項式a2-b 2-c 2+2bc時，分組正確的選項是()2 2 2 2 2 2 2

13、2 2 2 2 2(A) (a -c )+(2bc-b ) (B) (a -b -c )+2bc (C) (a -b )-(c -2bc) (D) a +(2bc-b -c5 .多項式2x3-x2-13x+m有一個因式是2x+1，那么m的值是()(A) 0( B) 6(C) -1(D) -66 以下多項式按下面的分組不能分解的是()(A) (2ax-10ay)+(5by-bx)(B) (5by-10ay)+(2ax-bx)2 2 2 2(C) (x -y )+(ax+ay)(D) (x+ax)-(y -ay)二、填空題7利用公式填空1(1) m2 2mn ( ) 2=()24(2) 多項式 x

14、4-y ：x 4+2x+y4,x 3y+xy3,x 6+y6 的公因式是(3) 9x2+( )+16y2=()(4) 將-m4+m n2因式分解的結果是 (5) 分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3適當分組的方法是 2 2-4b +4b-1, 16a2-16b 2+8a+1中用分組分解法時，能夠分2 2 2 2 2 2 2 2& 在以下多項式 a -4b -a+2b, a b -4ab+4-c , 4a -9b +24bc-16c , a成三項一組和一項一組的多項式有 個。三、解答題33_9. 把x y-xy分解因式210. 把 16(x+y) -24(x+y)+9 分解因式11

15、 把 (x 2+y2) 2-4x 2y2 分解因式6n+23n+2 212. x +2x +x13. 9(a+1) 2(a-1) 2-6(a 2-1)(b 2-1)+(b+1) 2(b-1) 21_ 314. 2a42215 把 16x -8x-y +2y 分解因式16 .把x3+2x2-4x-8因式分解17. 把以下各式分解因式22232322n2n(1) x -y -z -2yz (2) a +a +b +b +2ab (3) 16-x-100y +20x y222232324(4) ab(c -d )-cd(a -b ) (5) x -x -x-y +y +y (6) 4x +118 .使多項式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值為3319 . x+y=1,求 x +3xy+y 的值參考答案一、1 . D;2. A;3 . C; 4 .5 .D; 6. D二、7. ( 1)2n、1m 2n9(2)2 2 2 2(x +y )(3) (3x+4y)(4)-mi(m+n)(m-n)(5) (8x3-y 3)-(12x 2y-6xy 2)8. 3三、解答題9 .xy(x+y)(x-y)10.(4x+4y-3)2 11222/ n2 /.(x-y)(x+y)12 . x (x +1) (x2nn2-x +1)13.2 2 2(3a -b -2)14 .1丄(1 2a)