1、；.北師大版高中數學選修2-2第四章定積分全部教案扶風縣法門高中 姚連省§1 定積分概念第一課時 曲邊梯形的面積一、教學目標：理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法。二、教學重難點：重點：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近（取極限）難點：對過程中所包含的基本的微積分 “以直代曲”的思想的理解三、教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程1、創設情景我們學過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學研究和實際生活中都有非常廣泛的應用。本節我們將

2、學習定積分的基本概念以及定積分的簡單應用，初步體會定積分的思想及其應用價值。一個概念：如果函數在某一區間上的圖像是一條連續不斷的曲線，那么就把函數稱為區間上的連續函數（不加說明，下面研究的都是連續函數）2、新課探析問題：如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計算這個曲邊梯形的面積？ 例題：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。 思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區別？（2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形

3、”的所有邊都是直線段“以直代曲”的思想的應用xxx1 x1 xy1 xyy 把區間分成許多個小區間，進而把區邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S也即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積解：（1）分割在區間上等間隔地插入個點，將區間等分成個小區間：， 記第個區間為，其長度為分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作： ，顯然，（

4、2）近似代替記，如圖所示，當很大，即很小時，在區間上，可以認為函數的值變化很小，近似的等于一個常數，不妨認為它近似的等于左端點處的函數值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）這樣，在區間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代取”，則有 （3）求和：由，上圖中陰影部分的面積為=，從而得到的近似值 （4）取極限：分別將區間等分8，16，20，等份（如圖），可以看到，當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有從數值上的變化趨勢： 3求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割在區間中任意插入各分點，將它們等分成個小區間，區間的長度，第二步：近似代替，“以直

5、代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四步：取極限。說明：1歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近2最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值練習：課本P76練習題：設S表示由曲線，x=1，以及x軸所圍成平面圖形的面積。四、課堂小結：求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）五、教學后記第二課時 汽車行駛的路程一：教學目標1、知識與技能目標：了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關汽車行駛路程問題的過程的共同點；感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。2、過程與方法：通過與求曲邊梯

6、形的面積進行類比，求汽車行駛的路程有關問題，再一次體會“以直代曲“的思想。3、情感態度與價值觀：在體會微積分思想的過程中，體會人類智慧的力量，培養世界是可知的等唯物主義的世界觀。二：教學重難點重點：掌握過程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）難點：過程的理解三：教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程（一）、創設情景復習：1連續函數的概念；2求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；利用導數我們解決了“已知物體運動路程與時間的關系，求物體運動速度”的問題反之，如果已知物體的速度與時間的關系，如何求其在一定時間內經過的路程呢？（二）、新課探析問題：汽車以速度組勻速直線運動時，經過時間所行駛的路程為

7、如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時間內行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題把區間分成個小區間，在每個小區間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個小區間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）解：（1）分割在時間區間上等間隔地插入個點，將區間等分成個小區間

8、： ， 記第個區間為，其長度為把汽車在時間段，上行駛的路程分別記作： ， 顯然，（2）近似代替當很大，即很小時，在區間上，可以認為函數的值變化很小，近似的等于一個常數，不妨認為它近似的等于左端點處的函數值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代取”，則有 （3）求和由，=從而得到的近似值 （4）取極限當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有 思考：結合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關系？結合

9、上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數據上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在ab內所作的位移例、彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解解： 將物體用常力沿力的方向移動距離，則所作的功為1分割在區間上等間隔地插入個點，將區間等分成個小區間： ， 記第個區間為，其長度為 把在分段，上所作的功分別記作：，（2）近似代替有條件

10、知： （3）求和=從而得到的近似值 （4）取極限所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為：（四）、課堂小結：求汽車行駛的路程有關問題的過程。（五）作業：課本P80A組2、3五、教學后記第三課時 定積分的概念一、教學目標：1.通過求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，了解定積分的背景；2.借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡單的定積分；3.理解掌握定積分的幾何意義二、教學重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義教學難點：定積分的概念、定積分的幾何意義三、教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程（一）、創設情景復習：1 回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路

11、程等問題的解決方法，解決步驟：分割近似代替(以直代曲)求和取極限（逼近） 2對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點（二）、新課探析1定積分的概念一般地，設函數在區間上連續，用分點將區間等分成個小區間，每個小區間長度為（），在每個小區間上任取一點，作和式：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數，那么稱該常數為函數在區間上的定積分。記為：，其中積分號，積分上限，積分下限，被積函數，積分變量，積分區間，被積式。說明：（1）定積分是一個常數，即無限趨近的常數（時）記為，而不是 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運

12、動路程；變力做功2定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區間上函數連續且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數的圖形以及直線之間各部分面積的代數和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號。分析：一般的，設被積函數，若在上可取負值。考察和式不妨設于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）思考：根據定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？3定積分的性質根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1；性質2（定積分的線性性質）；性質3（定積分的線性性

13、質）；性質4（定積分對積分區間的可加性）(1) ； (2) ； 說明：推廣： 推廣: 性質解釋：性質4性質1（三）典例分析例1、計算定積分12yxO分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰影部分面積，面積為。即：思考：若改為計算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數在上，出現了負值如何解決呢？（后面解決的問題）例2、計算定積分分析：利用定積分性質有，利用定積分的定義分別求出，就能得到的值。（四）課堂練習計算下列定積分1 2 3課本P80頁練習題(五)回顧總結：定積分的概念、用定義法求簡單的定積分、定積分的幾何意義(六)布置作業：課本P81頁習題4-1A組4、5 B組2五、教學后記：第四課

14、時 微積分基本定理一、教學目標：了解牛頓-萊布尼茲公式二、教學重難點：牛頓-萊布尼茲公式三、教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程（一）、復習：定積分的概念及計算（二）、探究新課我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時間間隔內經過的路程可用速度函數表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數S（t）在上的增量來表達，即 = 且。 對于一般函數，設，是否也有若上式成立，

15、我們就找到了用的原函數（即滿足）的數值差來計算在上的定積分的方法。定理 如果函數是上的連續函數的任意一個原函數，則證明：因為=與都是的原函數，故-=C（）其中C為某一常數。令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-= 令，有為了方便起見，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續函數定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯系的橋梁。例1 計算解：由于是的一個原函數，所以根據牛頓萊布尼茲公式有=例2 求解 因為=即 有一個原函數為，所以=例3 汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車

16、，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。當t=0時，汽車速度=32公里/小時=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,速度,故從解得秒于是在這段時間內,汽車所走過的距離是=米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.（三）、小結：本節課學習了牛頓-萊布尼茲公式.（四）、課堂練習：第47頁練習A、B（五）、課后作業：第48頁A:3，4五、教后反思：第五課時 微積分基本定理一：教學目標知識與技能目標：通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分過程與方法：通過實例體會用微積分基本定理求定積分的

17、方法情感態度與價值觀：通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。二、教學重難點重點通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。難點了解微積分基本定理的含義三、教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程（一）、復習：定積分的概念及用定義計算（二）、探究新課我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系設一物體沿直線作變速運動，在

18、時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時間間隔內經過的路程可用速度函數表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數S（t）在上的增量來表達，即 =而。 對于一般函數，設，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數（即滿足）的數值差來計算在上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數是上的連續函數的任意一個原函數，則證明：因為=與都是的原函數，故-=C（） 其中C為某一常數。 令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-=令，有此處并不要求學生理解證明的過程為了方便起見，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續函數定積分的一般方法，把求定積分的問

19、題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯系的橋梁。 它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。例1計算下列定積分：（1）； （2）。解：（1）因為，所以。（2）因為，所以。練習：計算解：由于是的一個原函數，所以根據牛頓萊布尼茲公式有 =例2計算下列定積分：。由計算結果你能發現什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發現的結論。解：因為，所以，. 可以發現，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是

20、0: ( l ）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數； ( 3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積 例3A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達途中C點，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點的速度為24m/

21、s，從C點到B點前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經ts后，速度為（24-1.2t）m/s，在B點恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時間。分析：作變速直線運動的物體所經過的路程s,等于其速度函數v=v(t)(v(t)0)在時間區間a,b上的定積分,即略解：（1）設A到C的時間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC（2）設D到B的時間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s),則DB（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320（s）微積分基本定理揭

22、示了導數和定積分之間的內在聯系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果四：課堂小結：本節課借助于變速運動物體的速度與路程的關系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函數的原函數，這就要求大家前面的求導數的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！五：教學后記：第六課時 定積分的簡單應用（一）3.1平面圖形的面積一、教學目標

23、：1、進一步讓學生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；2、讓學生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；3、初步掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見題型及方法。二、教學重難點： 曲邊梯形面積的求法及應用三、教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程1、復習：（1）、求曲邊梯形的思想方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ 2、定積分的應用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以兩曲線的交點為（

24、0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟：1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。鞏固練習 計算由曲線和所圍成的圖形的面積.例2計算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.分析：首先畫出草圖（圖1.7 一2 ) ，并設法把所求圖形的面積問題轉化為求曲邊梯形的面積問題與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2為了確定出被積函數和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點的橫坐標，直線與 x 軸的交點解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖1. 7一2 陰影部分的面積解方程組得直線與曲線的交點的坐標為（

25、8,4) . 直線與x軸的交點為（4,0). 因此，所求圖形的面積為S=S1+S2.由上面的例題可以發現，在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數以及積分的上、下限例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。 答案： 練習1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。答案：xyoy=x2+4x-32、求由拋物線及其在點M（0，3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、，則所求圖形的面積為3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為xxOy=x2ABC4、在曲線上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求

26、：切點A的坐標以及切線方程. 略解：如圖由題可設切點坐標為，則切線方程為，切線與軸的交點坐標為，則由題可知有，所以切點坐標與切線方程分別為（二）、歸納總結：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法：畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；確定被積函數；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。（三）、作業布置：課本P90頁習題4-3中

27、1、2、3、4五、教學反思：第七課時 定積分的簡單應用（二）3.1平面圖形的面積一、教學目標：1、了解定積分的幾何意義及微積分的基本定理；2、掌握利用定積分求曲邊圖形的面積。二、教學重點與難點：1、定積分的概念及幾何意義；2、定積分的基本性質及運算的應用三、教學方法：探析歸納，講練結合四、教學過程（一）練習1若dx = 3 + ln 2，則a的值為（ D ） A6B4C3D22設，則dx等于（ C ） ABCD不存在 3求函數的最小值解： 當a = 1時f (a)有最小值14求定分dx 5怎樣用定積分表示：x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所圍成圖形的面積？ 6 你能說說定積分的幾何意義嗎

28、？例如的幾何意義是什么?表示軸，曲線及直線，之間的各部分面積的代數和，在軸上方的面積取正，在軸下方的面積取負。（二）、新課探析例1講解教材例題例2求曲線y=sinx ,x與直線x=0 ,x軸所圍成圖形的面積。練習：1如右圖，陰影部分面積為（ B ） Adx Bdx Cdx Ddx2求拋物線y = x2 + 4x 3及其在點A（1，0）和點B（3，0）處的切線所圍成的面積（三）、歸納總結：1、求曲邊梯形面積的方法：畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；確定被積函數；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。2、幾種常見的曲邊梯形面積的計算

29、方法：（1）型區域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1）；由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2）；由兩條曲線與直線yabxyabxyabx圖（1） 圖（2） 圖（3）所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3）；（2）型區域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（4）；由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（5）； 由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，然后利用求出（如圖（6）；yabxyabxyabx圖（4） 圖（5） 圖（6）3、求平面曲線的弧長：設曲線AB方程為，

30、函數在區間上可導，且連續，則曲線AB的弧長為.（四）、作業：1、計算下列定積分。（1） （2）.解：(1) = += (2) 原式=12、求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積(畫出圖形)。解：五、教后反思：第八課時 定積分的簡單應用（三）3.2簡單幾何體的體積一、教學目標1、理解定積分概念形成過程的思想；2、會根據該思想求簡單旋轉體的體積問題。二、 學法指導本節內容在學習了平面圖形面積計算之后的更深層次的研究，關鍵是對定積分思想的理解及靈活運用，建立起正確的數學模型，根據定積分的概念解決體積問題。三、教學重難點：重點：利用定積分的意義和積分公式表解決一些簡單的旋轉體的體積問題；難點；數學模型的建

31、立及被積函數的確定。四、教學方法：探究歸納，講練結合五、教學過程（一）、復習：（1）、求曲邊梯形面積的方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ （二）新課探析問題：函數，的圖像繞軸旋轉一周，所得到的幾何體的體積 。 典例分析例1、給定直角邊為1的等腰直角三角形，繞一條直角邊旋轉一周，得到一個圓錐體。求它的體積。 Y分割近似代替(以直代曲)求和取極限（逼近） 學生閱讀課本P89頁分析，教師引導。解：圓錐體的體積為 O 1 X Y O X變式練習1、求曲線，直線， 與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。答案：；例2、如圖，是常見的冰激凌的形狀，其下方是一

32、個圓錐，上方是由一段拋物線弧繞其對稱軸旋轉一周所成的形狀，尺寸如圖所示，試求其體積。 分析：解此題的關鍵是如何建立數學模型。將其軸載面按下圖位置放置，并建立坐標系。則A，B坐標可得，再求出直線AB和拋物線方程， “冰激凌”可看成是由拋物線弧OB和線段AB繞X軸旋轉一周形成的。解：將其軸載面按下圖位置放置，并建立如圖的坐標系。則， ，設拋物線弧OA所在的拋物線方程為：，代入求得：拋物線方程為：（）設直線AB的方程為：，代入求得：直線AB的方程為：所求“冰激凌”的體積為：變式練習2如圖一，是火力發電廠煙囪示意圖。它是雙曲線繞其一條對稱軸旋轉一周形成的幾何體。煙囪最細處的直徑為，最下端的直徑為，最細

33、處離地面，煙囪高，試求該煙囪占有空間的大小。 （圖二） （圖一）（精確到） 答案： 歸納總結：求旋轉體的體積和側面積由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉而成的旋轉體體積為.其側面積為.求體積的過程就是對定積分概念的進一步理解過程，總結求旋轉體體積公式步驟如下：1先求出的表達式；2代入公式，即可求旋轉體體積的值。（三）、課堂小結：求體積的過程就是對定積分概念的進一步理解過程，總結求旋轉體體積公式步驟如下：1先求出的表達式；2代入公式，即可求旋轉體體積的值。（四）、作業布置：課本P90頁練習題中2；習題4-3中6、7五、教后反思第九課時 定積分的簡單應用一、教學目標：1、了解定積分的幾何意義及

34、微積分的基本定理.2、掌握利用定積分求變速直線運動的路程、變力做功等物理問題。二、教學重點與難點：1、定積分的概念及幾何意義；2、定積分的基本性質及運算在物理中應用。三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程（一）、復習：（1）、求曲邊梯形的思想方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ （二）、定積分的應用【定積分在物理中應用】1、求變速直線運動的路程我們知道，作變速直線運動的物體所經過的路程s，等于其速度函數v=v (t) ( v(t) 0) 在時間區間a,b上的定積分，即例 1。一輛汽車的速度一時間曲線如圖1.7 一3 所示求汽車在這1 min 行駛的路

35、程解：由速度一時間曲線可知：因此汽車在這 1 min 行駛的路程是：答：汽車在這 1 min 行駛的路程是 1350m .2變力作功一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移（單位：m)，則力F所作的功為W=Fs .探究如果物體在變力 F(x）的作用下做直線運動，并且物體沿著與 F (x) 相同的方向從x =a 移動到x=b (a<b) ，那么如何計算變力F(x）所作的功W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運動的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問題可以得到 例2如圖1·7一4 ，在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服

36、彈力所作的功解：在彈性限度內，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力 F ( x ）與彈簧拉伸（或壓縮）的長度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常數 k 是比例系數由變力作功公式，得到答：克服彈力所作的功為.例3A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達途中C點，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點的速度為24m/s，從C點到B點前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經ts后，速度為（24-1.2t）m/s，在B點恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時間。分析：作變速直線運動的物體所經過的路程s,等于其速度函數v

37、=v(t)(v(t)0)在時間區間a,b上的定積分,即略解：（1）設A到C的時間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC（2）設D到B的時間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s),則DB（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320（s）練習：如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J略解：設，則由題可得，所以做功就是求定積分。（三）、課堂小結： 本節課主要學習了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積，即定積分在幾何中應用，以及定積分在物理學中的應用，要掌握幾種常見圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何意義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應用與理解。（四）、作業：課本P86頁7 P95頁9、11五、教后反思根據定積分的定義，定積分既有幾何背景，又有物理背景，進而定積分與這些知識有著天然的聯系。譬如：求幾何圖形的面積，求路程、平均速度、電荷量、電壓、功、質量等。上述種種盡管形式相異，然而所采用的思想方法均是：化曲為直，以不變代變，逼近，從某個角度而言充分展現了數學思想方法的高度抽象性及應用的廣。第十課時 定積分復習小結一、教學目標：1、理解定積分的定義及幾何意義，