1、抽象函數問題的解決策略抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，但給出了函數滿足的一部分性質或運算法則的函數問題。抽象函數問題是高中數學函數部分的難點，也是高中與大學函數部分的銜接點。由于這類試題既能全面地考查學生對函數概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關系的認識，因而備受高考命題者的青睞。然而由于這類問題本身的抽象性及其性質的隱蔽性，大多數學生在解決這類問題時，感到束手無策。為使抽象函數問題解決有章可循，有法可依，本文主要介紹抽象函數問題的常見方法。一、“賦值” 策略 對于抽象函數，根據函數的概念和性質，通過觀察與分析，將變量賦

2、予特殊值，以簡化函數，從而達到轉化為要解決的問題的目的。【例1】若奇函數，滿足，則等于（）A0B1CD解：對于，令，得即，從而，所以，選D。【例2】設對任意實數、，函數滿足。 （1）求證：；（2）求證：為偶函數。解：（1）令，得，所以。 令，得，所以。（2）令，得，令，得，從而我們有：，所以，為偶函數。二、“穿脫”策略加上函數符號即為“穿”，去掉函數符號即為“脫”。對于有些抽象函數，可根絕函數值相等或者函數的單調性，實現對函數符號的“穿脫”，以達到簡化的目的。【例3】已知函數是定義在上的增函數，且滿足對于任意的正實數、，都有，且（1）求的值；（2）解不等式解：（1） （2）由函數是定義在上的增

3、函數，則即，依題設，有，從而不等式的解集為。點評：利用單調性，三、“模型”策略模型化策略，就是根據題目給定的關系大膽猜想抽象函數的生成原始模型，作出目標猜想，利用模型函數的有關性質去探索解題方法。對于選擇、填空題，可用模型函數解決；對于解答題則可以起到啟迪思路并起驗證作用。抽象函數是由特殊的、具體的函數抽象而成的。如正比例函數可抽象為。因此，我們可得知如下結論：（1）抽象函數可由一個特殊函數正比例函數抽象而成的；（2）抽象函數可由一個特殊函數冪函數抽象而成的；（3）抽象函數可由一個特殊函數指數函數抽象而成的；（4）抽象函數可由一個特殊函數對數函數抽象而成的。【例5】設定義在上的函數對于任意都有

4、成立，且，當時，。（1）判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；（2）試問：當-33時，是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由。分析：對于任意都有，可猜想抽象函數f(x)生成的原形函數：f(x)=kx，由x>0時，f(x)<0。知k<0，所以問題（1）、（2）的答案可大膽猜想如下：（1）函數f(x)是奇函數，（2）函數f(x)在R上是減函數。盡管這只是對問題的猜想不是嚴格的證明，但帶著結論去探求解答，思考線索明朗了，更加有的放矢了。解：令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，則f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)為奇函數設3x1x23，y=x1，

5、x=x2則f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因為x0時，f(x)0，故f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x)在區間3，3上單調遞減x=3時，f(x)有最大值f(3)=f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6。x=3時，f(x)有最小值為f(3)= 6。點評：思路明確，特別提示：這時需要強調的是，對于解答題，雖然我們知道題設條件中的相應的函數模型，但此時我們像處理選擇題或填空題那樣，直接寫出函數模型。例如，對于任意都有，而直接設f(x)=kx，這是沒有任何理論依據的。當然在思考問題的過程中，我們可

6、聯想正比例函數的有關性質，合理賦值。四、“數形”策略一般地講，抽象函數的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據題意作出n個孤立的點，但通過示意圖卻使抽象變形象化，有利于觀察、對比、減少推理、減小計算量等好處。【例6】若函數f(x)為奇函數，且在（0，+）內是增函數，又f(2)=0，則的解集為（ ）A（-2，0）（0，2） B（-，-2）（0，2）C（-，-2）（2，+） D（-2，0）（2，+）分析：因為f(x)是定義域上的奇函數，所以f(x)的圖像關于原點對稱。根據題設條件可以作出函數f(x)在R上的大致圖象，由得：x與f(x)異號。由圖像可得解集為（-2，0）（0，2），選擇（A）。點評

7、：奇函數偶函數的圖象特征，尋求解題思路。五、“換元”策略對于抽象函數，可以通過換元化抽象為具體，轉化為具體函數可求解，同時要注意新元的取值范圍。【例7】 已知函數f(x)的值域，試求的值域。解：由，得，于是，令，所以，因，則當t=1時，y不能取得最大值1，所以只能在函數圖象的對稱軸的左側取得最值。由對稱軸t=1及拋物線開口向下，函數在上是增函數，則時，y取最小值，當時，y取最大值故所求值域為，。點評：換元策略，一定要注意新元的取值范圍，【專項練習】1給出四個函數，分別滿足；，又給出四個函數圖象丁正確的匹配方案是（ ）（A）丁乙丙甲 （B）乙丙甲丁（C）丙甲乙丁 （D）丁甲乙丙2定義在R上的函數

8、f(x)滿足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，當x<0時，, f (x)>0，則函數f (x)在a,b上                                                (    )&

9、#160; A 有最小值f (a)     B有最大值f (b)     C有最小值f (b)    D有最大值f ()3 設函數的定義域為，且對恒有若（ ）4若偶函數在上是增函數，則下列關系式中成立的是（ ）A BC D5定義在R上的函數滿足：對任意實數，總有，且當 時，（1）試舉出一個滿足條件的函數；（2）試求的值；（3）判斷的單調性并證明你的結論；（4）若解不等式【參考解答】1-4 D C C D5（1）如，（2）在中，令得：因為，所以，（3）要判斷的單調性，可任取，且設在已知條件中，