1、-1 - 第四部分：數列、不等式（8） （限時：時間 45 分鐘，滿分 100 分） 、選擇題 1.等差數列an的通項公式 an= 2n+1,數列 bn = ，其前 n項和為 S,則 S 等于（ ） a“an1 C若 D .以上都不對 【解【解析】 van= 2n+ 1, 1 111 n= =( 一 ) (2n + 1)(2 n 1) 2、2n 1 2n+ 1 八 1 11111 1 1 1 1 n = 2(1 一 3 + 3 一 5+ 5 一 7 + 2n 1 一 2n+ 1) = 2(1 一 2n + 1) n 2n+ 1. 【答案】 B m 1 * 2 .設函數 f(x) = xm+ a

2、x 的導函數 f (x) = 2x + 1,則數列f(n N)的前 n項和 是() n n+ 2 A. B. n +1 n+1 n n+ 1 C. D. n 1 n 【解析】 T f (x) = mx1 + a= 2x + 1, m= 2, a= 1, 2 / f(x) = x + x= x(x + 1), 1 1 1 1 f(n) = n(n + 1) = n n+ 1， 1 n n+ 1 = n + 1 【答案】 A 3. 已知數列a A. 2n 2n+ 1 B. n 2n+ 1 2 + 2 3 + 1 1 n n+1 -2 - n的前 n 項和 Sn= n 4n + 2,則 |a 1 +

3、 |a 2| + |a 1o| =( ) A. 66 B. 65 C. 61 D . 56-3 - 【解析】 當 n = 1 時，ai= S= 1; 當 n2時， an= S Sn- 1 2 2 =n 4n + 2 (n 1) 4(n 1) + 2 =2n 5. .a2= 1, a3= 1, a4 = 3,， ae= 15, 8(1 + 15) |a 11 + |a 2| + |a 倒=1 + 1 + =2 + 64= 66. 【答案】 A 4. (2012 年哈師大附中模擬)設 an= n2+ 17n + 18,則數列an從首項到第幾項的和最大 ( ) A. 17 B . 1 8 C. 17

4、 或 18 D . 19 【解析】 令 an0,得 K nw 18. a 18= 0, a170, a191 020，那么 n 的 最小值是( ) A. 7 B . 8 / 1+ 2+ 22+ 2n-1= = = 2n 1 , 1 2 n + 1 Sn= (2 + 22+ 2n) n = 12 n= 2n+1 - 2 n. n + 1 若 Sn1 020，貝y 2 2 n1 020 , n10. 【答案】 D 、填空題 【解析】 令 n= 1 ,得 = 4,.a1= 16. 當 n2時， a 1 +、.”; a + + Jan 1 = (n 1) + 3(n 1).C. 9 D . 10 【解

5、6若數列an是正項數列，且 *701 + 0 + a1 a2 則 2 + 3 + an n+ 1 =75, =75, -4 - 與已知式相減，得 .；a n= (n + 3n) (n 1) 3(n 1) = 2n + 2, 2 an = 4(n + 1) ,. n= 1 時，ai適合 an. 2 an = 4(n + an n+ 1 4n+ 4, a1 a2 an n(8 + 4n+ 4) + - + = 2 3 n+1 2 2 2n + 6n. 【答案】 2n2 + 6n =75, =75, -5 - 即 8a + b= 57.有限數列an中,S 為an的前 n項和，若把 S+ S2+ Sn

6、 n 稱為數列 a n 的“優化和” 現有一個共 2 009 項的數列；a1, a2, as,-, a2 009，若其“優化和”為 2 010，則有 2 010 項的數列：1, a1, a2, as,，a2 009的優化和為 _ . 【解析】 依題意，$ + S+ $ 009 = 2 010 , 2 009 S1 + $+ S2 009 = 2 009 X 2 010. 又數列 1, a1, a2,a2 009 相當于在數列 a1, a2, , a2 009 前加一項 1, 1 + (S 1 + 1) + (S2+ 1) + + (S2 009 + 1 ) 2 010 2 009 X 2 01

7、0 + 2 010 2 010 =2 010. 【答案】 2 010 8.已知 f(x)為一次函數, 7 且有 a f(i) 15 n =7，二.f(i) = 75,二.ai = m 表示 a1 + a2 + an= m i =1 i = 1 則 f(n)(n N) = _ . 【解析】 設 f(x) = ax+ b(a豐0), f(n) = an+ b, f(n)為等差數列. 7 八 f(i) = 7, i = 1 即 f(1) + f(2) + f(7) 即 4a + b= 1 7(a + b+ 7a+ b) 2 15 又 f(i) i = 1 15(a + b+ 15a+ b) 2 -6

8、 - 由，得 a = 1, b= 3 ,. f(n) = n 3. 【答案】 n 3 三、解答題 9. (2011 年蘇州模擬)數列an中,ai = 3, an+ an 1+ 2n 1 = 0(n N*且 n2). (1)求 a?、as的值； 證明：數列an+ n是等比數列，并求an的通項公式； 求數列an的前 n項和 S. 【解析】 (1) Ta1 = 3, an+ an 1+ 2n 1 = 0(n N*且 n2), a2= a1 4 + 1 = 6, a3 = a2 一 6 + 1 = 1. an + n ( an 1 2n + 1) + n an1 + (n 1) an 1 + n 1

9、數列a n+ n是首項為 a1+ 1 = 4,公比為一 1 的等比數列， a n+ n = 4X ( 1), 即 an = 4 x ( 1) n, a n的通項公式是 an= 4x ( 1)n 1 n(n N*). n 1 * Van = 4X ( 1) n(n N), Sn= a1+ a2+ an 0 1 2 =4( 1) 1 + 4( 1) 2 + 4( 1) 3 + n 1 4( 1) n 0 1 2 n1 =4( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) (1 + 2+ 3 + + n) 1 x 10. (2011 年河北衡水調研)設 A(X1, yd , B(X2,禹是函數 f

10、(x) = + log 2 的圖象上 2 1 x 的任意兩點，且 OM = 2(0 天+ OB)，已知點 M 的橫坐標為 夕 (1)求證：點 M 的縱坐標為定值； n 1 若 Sn= 7f(-)，其中 n N*且 n2,求 Sn； i =1 n 2 12 an 1 n + an1 + n 1 =1(n 2), =21 ( 1)n n(n + 1) 2 (n = 1) (n2) ，其中 n N,Tn為數列an的前 n項和, -7 - (3)已知 an= -(Sn + 1)(S n + 1+ 1)-8 - 若 Tn入（Sn+1+ 1）對于一切 n N*都成立，試求 入的取值范圍. 【解【解析】（1） 0帀 1= + OB），設 M（2，y），則 X1X2 y!+ y2 1 + lOg2(1 X1)(1 xj X1+ X2= 1，且 y = 2 X1X2 1 + lOg 21 -(X 1 + X2)+ X1X2 2 X1X2 1 + lOg2XX2 1 2 = 2. 即點 M 的縱坐標為定值. (2)由(1)可知，若 X1+ X2= 1,則 f(x 1)+ f(x 2) = 1. 1 2 n 1 “=f(n)+ f(n)+f(丁 2Sn = f( 1 + f(山山)+ + n n (3)當 n2 時, n 1 1 n 1 f(市)+f(-) =n-1,5=丁 1 a