1、1.1.2 集合間的基本關系整體設計教學分析課本從學生熟悉的集合(自然數的集合、有理數的集合等)出發,通過類比實數間的大小關系引入集合間的關系,同時,結合相關內容介紹子集等概念.在安排這部分內容時,課本注重體現邏輯思考的方法,如類比等.值得注意的問題:在集合間的關系教學中,建議重視使用Venn圖,這有助于學生通過體會直觀圖示來理解抽象概念;隨著學習的深入,集合符號越來越多,建議教學時引導學生區分一些容易混淆的關系和符號,例如與的區別.三維目標1.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集,能判斷給定集合間的關系,提高利用類比發現新結論的能力.2.在具體情境中,了解空集的含義,掌握并能使

2、用Venn圖表達集合的關系,加強學生從具體到抽象的思維能力,樹立數形結合的思想.重點難點教學重點:理解集合間包含與相等的含義.教學難點:理解空集的含義.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.實數有相等、大小關系,如5=5,5<7,5>3等等,類比實數之間的關系,你會想到集合之間有什么關系呢？(讓學生自由發言,教師不要急于作出判斷,而是繼續引導學生)欲知誰正確,讓我們一起來觀察、研探.思路2.復習元素與集合的關系屬于與不屬于的關系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.類比實數的大小關系,如5<7,22,試想集合間是否有類似的“大小”關系呢？(答案：(1);(2);(

3、3)推進新課新知探究提出問題(1)觀察下面幾個例子:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;設A為國興中學高一(3)班男生的全體組成的集合,B為這個班學生的全體組成的集合;設C=x|x是兩條邊相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2.你能發現兩個集合間有什么關系嗎？(2)例子中集合A是集合B的子集,例子中集合E是集合F的子集,同樣是子集,有什么區別？(3)結合例子,類比實數中的結論:“若ab,且ba,則a=b”,在集合中,你發現了什么結論?(4)按升國旗時,每個班的同學都聚集在一起站在旗桿附近指定的區域內,從樓頂向下看,每位同學是哪個班的,一目了然.試想一下,根據從

4、樓頂向下看的,要想直觀表示集合,聯想集合還能用什么表示？(5)試用Venn圖表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB,試用Venn圖表示集合A和B的關系.(7)任何方程的解都能組成集合,那么x2+1=0的實數根也能組成集合,你能用Venn圖表示這個集合嗎？(8)一座房子內沒有任何東西,我們稱為這座房子是空房子,那么一個集合沒有任何元素,應該如何命名呢？(9)與實數中的結論“若ab,且bc,則ac”相類比,在集合中,你能得出什么結論?活動：教師從以下方面引導學生:(1)觀察兩個集合間元素的特點.(2)從它們含有的元素間的關系來考慮.規定:如果AB,但存在xB,且xA,我們稱集合A是集合B的真子集

5、,記作AB(或BA).(3)實數中的“”類比集合中的.(4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的,學生看成集合中的元素,從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內.教師指出:為了直觀地表示集合間的關系,我們常用平面上封閉曲線的內部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等,沒有限制.(6)分類討論:當AB時,AB或A=B.(7)方程x2+1=0沒有實數解.(8)空集記為,并規定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A).(9)類比子集.討論結果：(1)集合A中的元素都在集合B中;集合A中的元素都在集合B中;集合C中的元素都在集合D中;集合E

6、中的元素都在集合F中.可以發現:對于任意兩個集合A,B有下列關系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子中AB,但有一個元素4B,且4A;而例子中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若AB,且BA,則A=B.(4)可以把集合中元素寫在一個封閉曲線的內部來表示集合.(5)如圖1121所示表示集合A,如圖1122所示表示集合B.圖1-1-2-1圖1-1-2-2(6)如圖1-1-2-3和圖1-1-2-4所示.圖1-1-2-3圖1-1-2-4(7)不能.因為方程x2+1=0沒有實數解.(8)空集.(9)若AB,BC,則AC;若AB,BC,則AC.應用示例思路11.某工廠

7、生產的產品在重量和長度上都合格時,該產品才合格.若用A表示合格產品的集合,B表示重量合格的產品的集合,C表示長度合格的產品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)則下列包含關系哪些成立？AB,BA,AC,CA.(2)試用Venn圖表示集合A、B、C間的關系.活動：學生思考集合間的關系以及Venn圖的表示形式.當集合A中的元素都屬于集合B時,則AB成立,否則AB不成立.用相同的方法判斷其他包含關系是否成立.教師提示學生以下兩點:(1)重量合格的產品不一定是合格產品,但合格的產品一定重量合格;長度合格的產品不一定是合格產品,但合格的產品一定長度合格.(2)根據集合A、B、C間的關系來畫出Ven

8、n圖.解：(1)包含關系成立的有:BA,CA.(2)集合A、B、C間的關系用Venn圖表示,如圖1-1-2-5所示.圖1-1-2-5變式訓練課本P7練習3.點評：本題主要考查集合間的包含關系.其關鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么.判斷兩個集合A、B之間是否有包含關系的步驟是:先明確集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之間的關系,得:當集合A中的元素都屬于集合B時,有AB;當集合A中的元素都屬于集合B,當集合B中至少有一個元素不屬于集合A時,有AB;當集合A中的元素都屬于集合B,并且集合B中的元素也都屬于集合A時,有A=B;當集合A中至少有一個元素不屬于集合B,并且集合B中至少有一個

9、元素也不屬于集合A時,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.2.寫出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活動：學生思考子集和真子集的定義,教師提示學生空集是任何集合的子集,一個集合不是其本身的真子集.按集合a,b的子集所含元素的個數分類討論.解：集合a,b的所有子集為,a,b,a,b.真子集為,a,b.變式訓練2007山東濟寧一模,1 已知集合P=1,2,那么滿足QP的集合Q的個數是( )A.4 B.3 C.2 D.1分析:集合P=1,2含有2個元素,其子集有22=4個,又集合QP,所以集合Q有4個.答案：A點評：本題主要考查子集和真子集的概念,以及分類討論的思想.通常按子集中所含元

10、素的個數來寫出一個集合的所有子集,這樣可以避免重復和遺漏.思考:集合A中含有n個元素,那么集合A有多少個子集？多少個真子集？解：當n=0時,即空集的子集為,即子集的個數是1=20;當n=1時,即含有一個元素的集合如a的子集為,a,即子集的個數是2=21;當n=2時,即含有一個元素的集合如a,b的子集為,a,b,a,b,即子集的個數是4=22.集合A中含有n個元素,那么集合A有2n個子集,由于一個集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)個真子集.思路21.2006上海高考,理1已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,m2.若BA,則實數m=_.活動：先讓學生思考BA的含義,根據BA,

11、知集合B中的元素都屬于集合A,集合元素的互異性,列出方程求實數m的值.因為BA,所以3A,m2A.對m2的值分類討論.解：BA,3A,m2A.m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.m=1.答案：1點評：本題主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互異性.本題容易出現m2=3,其原因是忽視了集合元素的互異性.避免此類錯誤的方法是解得m的值后,再代入驗證.討論兩集合之間關系時,通常依據相關的定義,觀察這兩個集合元素的關系,轉化為解方程或解不等式.變式訓練已知集合M=x|2-x<0,集合N=x|ax=1,若NM,求實數a的取值范圍.分析:集合N是關于x的方程ax=1的解集,集合M=x

12、|x>2,由于NM,則N=或N,要對集合N是否為空集分類討論.解：由題意得M=x|x>2,則N=或N.當N=時,關于x的方程ax=1中無解,則有a=0;當N時,關于x的方程ax=1中有解,則a0,此時x=,又NM,M.>2.0<a<.綜上所得,實數a的取值范圍是a=0或0<a<,即實數a的取值范圍是a|0a<2.(1)分別寫出下列集合的子集及其個數:,a,a,b,a,b,c.(2)由(1)你發現集合M中含有n個元素,則集合M有多少個子集？活動：學生思考子集的含義,并試著寫出子集.(1)按子集中所含元素的個數分類寫出子集;(2)由(1)總結當n=0

13、,n=1,n=2,n=3時子集的個數規律,歸納猜想出結論.答案：(1)的子集有:,即有1個子集;a的子集有:、a,即a有2個子集;a,b的子集有:、a、b、a,b,即a,b有4個子集;a,b,c的子集有:、a、b、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c,即a,b,c有8個子集.(2)由(1)可得:當n=0時,有1=20個子集;當n=1時,集合M有2=21個子集;當n=2時,集合M有4=22個子集;當n=3時,集合M有8=23個子集;因此含有n個元素的集合M有2n個子集.變式訓練已知集合A2,3,7,且A中至多有一個奇數,則這樣的集合A有( )A.3個 B.4個 C.5個 D.6個分析:對集合A

14、所含元素的個數分類討論.A=或2或3或7或2,3或2,7共有6個.答案：D點評：本題主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力.集合M中含有n個元素,則集合M有2n個子集,有2n-1個真子集,記住這個結論,可以提高解題速度.寫一個集合的子集時,按子集中元素的個數來寫不易發生重復和遺漏現象.知能訓練課本P7練習1、2.【補充練習】1.判斷正誤:(1)空集沒有子集. ( )(2)空集是任何一個集合的真子集. ( )(3)任一集合必有兩個或兩個以上子集. ( )(4)若BA,那么凡不屬于集合A的元素,則必不屬于B. ( )分析:關于判斷題應確實把握好概念的實質.解：該題的5個命題,只有(4)是正

15、確的,其余全錯.對于(1)、(2)來講,由規定:空集是任何一個集合的子集,且是任一非空集合的真子集.對于(3)來講,可舉反例,空集這一個集合就只有自身一個子集.對于(4)來講,當xB時必有xA,則xA時也必有xB.2.集合A=x|-1<x<3,xZ,寫出A的真子集.分析:區分子集與真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一個含有n個元素的子集有2n個,真子集有2n-1個,則該題先找該集合元素,后找真子集.解：因-1<x<3,xZ,故x=0,1,2,即a=x|-1<x<3,xZ=0,1,2.真子集:、1、2、0、0,1、0,2、1,2,共7個.3.(1)下列

16、命題正確的是 ( )A.無限集的真子集是有限集B.任何一個集合必定有兩個子集C.自然數集是整數集的真子集D.1是質數集的真子集(2)以下五個式子中,錯誤的個數為 ( )10,1,2 1,-3=-3,1 0,1,21,0,2 0,1,2 0A.5 B.2 C.3 D.4(3)M=x|3<x<4,a=,則下列關系正確的是 ( )A.aM B.aM C.aM D.aM分析:(1)該題要在四個選擇肢中找到符合條件的選擇肢,必須對概念把握準確,無限集的真子集有可能是無限集,如N是R的真子集,排除A;由于只有一個子集,即它本身,排除B;由于1不是質數,排除D.(2)該題涉及到的是元素與集合,集

17、合與集合的關系.應是10,1,2,應是0,1,2,應是0.故錯誤的有.(3)M=x|3<x<4,a=.因3<a<4,故a是M的一個元素.a是x|3<x<4的子集,那么aM.答案：(1)C (2)C (3)D4.判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關系:(1)A=x|x=2k-1,kZ,B=x|x=2m+1,mZ;(2)A=x|x=2m,mZ,B=x|x=4n,nZ.解：(1)因A=x|x=2k-1,kZ,B=x|x=2m+1,mZ,故A、B都是由奇數構成的,即A=B.(2)因A=x|x=2m,mZ,B=x|x=4n,nZ,又x=4n=2·2n,

18、在x=2m中,m可以取奇數,也可以取偶數;而在x=4n中,2n只能是偶數.故集合A、B的元素都是偶數.但B中元素是由A中部分元素構成,則有BA.點評：此題是集合中較抽象的題目.要注意其元素的合理尋求.5.已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|ax+1=0滿足QP,求a所取的一切值.解：因P=x|x2+x-6=0=2,-3,當a=0時,Q=x|ax+1=0=,QP成立.又當a0時,Q=x|ax+1=0=,要QP成立,則有=2或=-3,a=或a=.綜上所述,a=0或a=或a=.點評：這類題目給的條件中含有字母,一般需分類討論.本題易漏掉a=0,ax+1=0無解,即Q為空集的情況,而當Q=時,滿

19、足QP.6.已知集合A=xR|x2-3x+4=0,B=xR|(x+1)(x2+3x-4)=0,要使APB,求滿足條件的集合P.解：由A=xR|x2-3x+4=0=,B=xR|(x+1)(x2+3x-4)=0=-1,1,-4,由APB知集合P非空,且其元素全屬于B,即有滿足條件的集合P為1或-1或-4或-1,1或-1,-4或1,-4或-1,1,-4.點評：要解決該題,必須確定滿足條件的集合P的元素,而做到這點,必須明確A、B,充分把握子集、真子集的概念,準確化簡集合是解決問題的首要條件.7.設A=0,1,B=x|xA,則A與B應具有何種關系？解：因A=0,1,B=x|xA,故x為,0,1,0,1

20、,即0,1是B中一元素.故AB.點評：注意該題的特殊性,一集合是另一集合的元素.8.集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,(1)若BA,求實數m的取值范圍;(2)當xZ時,求A的非空真子集個數;(3)當xR時,沒有元素x使xA與xB同時成立,求實數m的取值范圍.解：(1)當m+1>2m-1即m<2時,B=滿足BA.當m+12m-1即m2時,要使BA成立,需可得2m3.綜上所得實數m的取值范圍m3.(2)當xZ時,A=-2,-1,0,1,2,3,4,5,所以,A的非空真子集個數為2上標8-2=254.(3)xR,且A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,又沒有元素x使x

21、A與xB同時成立.則若B即m+1>2m-1,得m<2時滿足條件;若B,則要滿足條件有:或解之,得m>4.綜上有m<2或m>4.點評：此問題解決要注意：不應忽略;找A中的元素;分類討論思想的運用.拓展提升問題:已知AB,且AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,則滿足上述條件的集合A共有多少個？活動：學生思考AB,且AC所表達的含義.AB說明集合A是集合B的子集,即集合A中元素屬于集合B,同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.思路1:寫出由集合B和集合C的公共元素所組成的集合,得滿足條件的集合A;思路2:分析題意,僅求滿足條件的集合A的個數,轉化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個數.解法一：因AB,AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此,滿足AB,有:,0,1,2,3,4,0,1,0,