1、第五講 極限運算法則 一、極限運算法則 二、求極限方法舉例 三、小結 思考題一、極限運算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,

2、00時時當當 xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數數而而存存在在如如果果常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數數而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531li

3、m232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則則商商的的法法則則不不能能應應用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又,

4、03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時

5、x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結小結: :為為非非負負整整數數時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無窮小以分出無窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是無無

6、限限多多個個無無窮窮小小之之和和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.解解,1,為無窮小為無窮小時時當當xx .sin 是有界函數是有界函數而而x例例6 6.sinlimxxx 求求. 0sinlim xxxxxysin 例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩個單側極限為兩個單側極限為是函數的分段點是函數的分段點,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左

7、右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 時的極限也存在，且時的極限也存在，且當當則復合函數則復合函數，又，又的某去心鄰域內的某去心鄰域內但在點但在點，即，即時的極限存在且等于時的極限存在且等于當當運算法則）設函數運算法則）設函數定理（復合函數的極限定理（復合函數的極限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：例例8 8.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原

8、原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令三、小結1、極限的四則運算法則及其推論、極限的四則運算法則及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項式與分式函數代入法求極限多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限利用左右極限求分段函數極限.3、復合函數的極限運算法則、復合函數的極限運算法則思考題思考題 在某個過程中，假設在某個過程中，假設 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極

9、限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習習 題題._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、一一、1 1、- -5