1、一、定義一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法0 qyypy,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程特征根特征根,2422,1qppr

2、 特點(diǎn)特點(diǎn)未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于0即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子猜測(cè)猜測(cè)有特解有特解rxey 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根特征根為特征根為,2421qppr ,2422qppr 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解,11xrey ,22xrey 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根特征根為特征根為,221prr 一特解為一特解為,11xrey ,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為代入原方程并化簡(jiǎn)，代入原方程并化簡(jiǎn)，將將222y

3、yy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy )0( 為使比值不為常數(shù)為使比值不為常數(shù) 有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根特征根為特征根為,1ir,2ir,)(1xiey,)(2xiey)0( 由歐拉公式由歐拉公式xxxsinicosei (級(jí)數(shù)章節(jié)中已證級(jí)數(shù)章節(jié)中已證)，可得，可得),sini(cose1xxyx )sini(cose2xxyx 于是有于是有,cose)(2121xyyx .sine)(i 2121xyyx 由定理由定理 1 知，以上兩個(gè)函數(shù)知，以上兩個(gè)函數(shù) e

4、ax cosbx 與與 eax sinbx均為均為 此方程的解，此方程的解，).sincos(e21xCxCyx 且它們線性無關(guān)且它們線性無關(guān). 因而，這時(shí)方程因而，這時(shí)方程的通解為的通解為由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法確定其通解的方法稱為特征方程法. .方法步驟方法步驟寫出特征方程寫出特征方程02 qprr求出特征根求出特征根21,rr按特征根的三種不同情況依下表寫出齊通解按特征根的三種不同情況依下表寫出齊通解 特征根特征根 齊通解齊通解)(21實(shí)rr xrxrececY2121 21rr xrexccY1)(21 jr 2

5、 , 1)sincos(21xcxceYx 例例1 求通解求通解032 yyy解解 特征方程為特征方程為0322 rr特征根為特征根為3, 121 rr齊通解為齊通解為xxececY321 例例2. 求解初值問題求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為tets)24(22C例例 3 3求方程求方程 2y2y + 2y + 2y + 3y = 0 + 3y = 0 的通解的通解. .解該方程的特征方程為解該方程的特征方程為 2r2 +

6、2r + 3 = 02r2 + 2r + 3 = 0，它有共軛復(fù)根它有共軛復(fù)根424422, 1 r.52121i,21 即即,521 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的解為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的解為,25cose211xyx ,25sine212xyx .521sin521cose2121 xCxCyx例例 4 4求方程求方程 y y + 4y = 0 + 4y = 0 的的通解通解. .解該方程的特征方程為解該方程的特征方程為 r2 + 4 = 0r2 + 4 = 0，它有，它有共軛復(fù)根共軛復(fù)根 r1,2 = r1,2 = 2i. 2i. 即即a = 0a = 0，b = 2. b = 2. 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線

7、性對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的解無關(guān)的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解為所以方程的通解為.2sin2cos21xCxCy 三、三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個(gè)根個(gè)根, 而特征方程的每一個(gè)而特征方程的每一個(gè)根都

8、對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), 且每一項(xiàng)各含一且每一項(xiàng)各含一個(gè)任意常數(shù)個(gè)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211實(shí)重根實(shí)重根復(fù)單根復(fù)單根復(fù)重根復(fù)重根實(shí)單根實(shí)單根幾種情況幾種情況每個(gè)根對(duì)應(yīng)通解中的一項(xiàng)每個(gè)根對(duì)應(yīng)通解中的一項(xiàng)其寫法與二階方程的情形完全類似其寫法與二階方程的情形完全類似具體分為具體分為例例50)4( yy解解 特征方程為特征方程為014 r解得解得irr4 , 32 , 1, 1故所求通解為故所求通解為xcxcececyxxsincos4321 0) 1)(1(22 rr四、小結(jié)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1寫出相

9、應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程;（2求出特征根求出特征根;（3根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 0 qyypy02 qprr 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式 實(shí)實(shí)根根21rr 實(shí)實(shí)根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1 xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 那么那么, 0 zz特征根特征根1 通解通解

10、xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 練練 習(xí)習(xí) 題題一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. . 三、三、求作一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程求作一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . . 四、四、設(shè)圓柱形浮筒設(shè)圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當(dāng)稍當(dāng)稍向下壓后突然放開向下壓后突然放開, , 浮筒在水中上下振動(dòng)的浮筒在水中上下振動(dòng)的s2周期為周期為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)(