1、v 直角坐標情形直角坐標情形v 參數方程情形參數方程情形 第六章 定積分的應用 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 平面曲線的弧長平面曲線的弧長v 極坐標情形極坐標情形A0 xMxxyo在在曲曲線線上上取取基基點點00:(,),A xy設設為為曲曲線線上上任任意意一一點點( , ),M x y上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 稱它為曲線的弧長函數稱它為曲線的弧長函數.單調增函數單調增函數從點從點A 到點到點M 的曲線長度的曲線長度, 稱為曲線的弧長稱為曲線的弧長.一般地一般地, 弧長弧長 s = s(x),弧長函數的微分簡稱為弧微分弧長函數的微分簡稱為弧微分.或或21,dsy dx

2、22()() .dsdxdy 第三章第七節(jié)已導出第三章第七節(jié)已導出: 對于曲線對于曲線 y = f (x),弧微分弧微分sdyxabo( )()yf xaxb )(xfy xxxd21dyx 因此所求弧長因此所求弧長ds上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 設曲線為設曲線為, 求弧長求弧長.取取 x 為積分變量為積分變量, 積分區(qū)間為積分區(qū)間為 a, b. 與小區(qū)間與小區(qū)間x, x + dx對應的小段曲線的弧長對應的小段曲線的弧長21dbasyx 21( )dbafxx s 23(1)yx從點從點(2, 1)到點到點(5,8)之間的之間的一段弧的弧長一段弧的弧長. 解：解：ds 上頁上頁 下

3、頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例1. 計算曲線計算曲線y 21dyx (2,5),x 91(1) d4xxs 52 3(1) ,yx 31,2x195 d2xx 195 d2xx 52118 95 d(95)xx 1183(95)x 23 521(40 4013 13).27 21dbasyx 2cos dxytt 解解:()22x2221dsyx 的弧長的弧長.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例2. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段22 1 2( cos)xdxcos x202 2cosd2xx2 2 2sin2x 4. y cos x21dbasyx 20( )()( )x tty t

4、弧微分弧微分所求弧長所求弧長d d22( )( )tttds 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 曲線為曲線為22(d )(d )xy 22( )( ) dsttt 解解:例例3.求曲線求曲線 自自t=0 到到 t=1的的上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 21arctan ,ln(1)2xt yt一段弧的弧長一段弧的弧長. 22( )( ) dsttt x 21,1t y 2,1tt s 10 221(1)t 222(1)tt dt10 211dtt 2ln(1)tt ln(12)10( )()rr 則則( )cos,( )sin,xr yr 因此所求弧長為因此所求弧長為22( )(

5、 )xy 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 22d( )( ) dsx y ( )x ( )cosr ( )sinr ( )y ( )sinr ( )cosr 2( )r 2( )r 22d( )( ) dsx y 22( )( )drr 22( )( ) dsrr 解解:22( )( )rr 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 例例5. 求極坐標下曲線求極坐標下曲線的弧長的弧長.3sin(0) (03 )3raa22( )( )srr d r 23sin3a 1cos3 3 2sincos,33a 62sin3a422sincos33a 42sin3a 30s 2sin3ad3t

6、0a 2sint3dt 2206sinatdt 3.2a 162 2a 平面曲線的弧長平面曲線的弧長曲線方程曲線方程參數方程參數方程極坐標方程極坐標方程22d(d )(d )sxy 弧微分弧微分:直角坐標方程直角坐標方程求弧長時積分限求弧長時積分限必須是上大下小必須是上大下小上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 21dbasyx 22( )( ) dsttt 22( )( ) dsrr 用定積分表示圖中陰影部分的面積用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長及邊界長 s .提示提示: 交點為交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分弧線段部分直線段部分直線段部分)5