1、一、函數的極限一、函數的極限二、函數的導數二、函數的導數三、函數的極值三、函數的極值四、函數的積分四、函數的積分3/13一一. 函數極限的實現函數極限的實現格式：格式：limit(F,x,a) 計算當計算當xa時時,F(x)的極限值，的極限值， limit(F,x,a,right) 計算當計算當xa+時時, F的右極限，的右極限， limit(F,x,a,left) 計算當計算當xa-時時, F的左極限，的左極限，2011.coslimxxx 求求例例特別地，當特別地，當a=0時有：時有：解：解： syms x %定義變量定義變量 limit(1-cos(x)*x(-2)x0limit Fli

2、mitF x()( ) 注意：求極限時，先要定義自變量，然后直接將函注意：求極限時，先要定義自變量，然后直接將函數放入數放入limit的括號內，不用引號的括號內，不用引號.ans =1/2省略了自變量省略了自變量的變化過程的變化過程4/131.一元函數的導數：計算一元函數的導數：計算y = f(x) 導數的命令為導數的命令為:diff(y)例例2.計算下列函數的導數計算下列函數的導數yxxxxxxy221.(1)ln(12)2 求求xxyyxx2arcsin112.ln211 求求y=sym(1+x)*log(1+x+sqrt(2*x+x2)-sqrt(2*x+x2);dy=diff(y);

3、b=simplify(dy); )x2(x(x1(log2/1 解解:syms x結果為：結果為：二二. 函數導數的實現函數導數的實現5/13例例2.計算下列函數的導數計算下列函數的導數yxxxxxxy221.(1)ln(12)2 求求xxyyxx2arcsin112.ln211 求求y=sym(asin(x)/sqrt(1-x2)+0.5*log(1-x)/(1+x);dy=diff(y);b=simplify(dy);解解:syms x高階導數可直接計算：高階導數可直接計算：diff(S,v,n) 求求S對對v的的n階導數階導數 6/132. 偏導數的計算偏導數的計算計算計算 z=f(x,

4、y) 的偏導數的方法為：的偏導數的方法為：首先定義自變量：首先定義自變量： syms x y; 然后建立函數：然后建立函數：z=sym(f(x,y)用用diff求導：求導：dzdx=diff(z,x) ，dzdy=diff(z,y)例例3. 求求 的一階偏導數的一階偏導數 y/xez 解：解：syms x y;z=sym(exp(x/y); dzdx=diff(z,x) ,dzdy=diff(z,y)7/13三三. 求函數的極大值與極小值求函數的極大值與極小值 在在Matlab中有求函數極小值的命令：中有求函數極小值的命令：計算計算F在在a, b之間取極小值時的之間取極小值時的x與與y(即即f

5、val). 命令：命令：x,fval = fminbnd(F,a,b)解：解：f=inline(2*x.3-6*x.2-18*x+7) 例例4. 求求 在區間在區間(-2,4)內極小值內極小值 718x-6x2x f(x)23 x,fval = fminbnd(f, -2, 4) 故故 函數在函數在x=3時，有極小值時，有極小值-47輸出結果為：輸出結果為：x = 3.0000 fval = -47.00008/13注意：如果計算極大值，可將注意：如果計算極大值，可將f(x)前面添負號，前面添負號，那么那么-f(x)的極小值點，即的極小值點，即f(x)的極大值點的極大值點.極大值為極大值為-f

6、val例例5. 求求 在區間在區間(-2,4)內極大值內極大值 718x-6x2x f(x)23 解：解：f=-2*x.3+6*x.2+18*x-7 ;x,fval = fminbnd(f, -2, 4) x = -1.0000fval = -17.0000故故f(x)在在x= -1時有極大值時有極大值17注意：計算函數極值時，不能用注意：計算函數極值時，不能用sym(f(x)表示法表示法但是可以用：但是可以用：y=f(x)注意符號！注意符號！9/13四、不定積分、定積分與廣義積分的計算四、不定積分、定積分與廣義積分的計算1.符號函數的積分符號函數的積分 格式格式 : int(s,v,a,b)

7、其中，其中，s積分表達式；積分表達式； v積分變量；積分變量； a積分下限，積分下限，b積分上限積分上限如果求不定積分，無窮積分請大家猜想格式如何？如果求不定積分，無窮積分請大家猜想格式如何？ 例例6. 計算計算 dxxex解：解：s=x*exp(-x)g=int(s,x)ans =-x*exp(-x)-exp(-x) 注意：計算結果只給出一個原函數，沒有任意常數注意：計算結果只給出一個原函數，沒有任意常數C10/132.梯形法數值積分梯形法數值積分 格式格式 : I=trapz(x,y)其中，其中，x是積分區間是積分區間a,b的取值的取值(向量向量),y是相是相應的函數值應的函數值3.辛普森

8、法辛普森法 格式格式 : I=quadl(fun,a,b)注意：注意：quadlquadl最后是字母最后是字母l, l, 不是數字不是數字1 1 例例7. 計算計算x201sinxe dx1cosx 方法方法1:1:輸入輸入 y=(1+sin(x)y=(1+sin(x)* *exp(x)/(1+cos(x);exp(x)/(1+cos(x);I1=int(y,x,0,pi/2)I1=int(y,x,0,pi/2)符號運算符號運算, ,不不要點乘除要點乘除11/13例例7. 計算計算x201sinxe dx1cosx 方法方法2:2:輸入輸入 x=0:0.01:pi/2;x=0:0.01:pi/

9、2; y=(1+sin(x).y=(1+sin(x).* *exp(x)./(1+cos(x);exp(x)./(1+cos(x); I2=trapz(x,y) I2=trapz(x,y)方法方法3:3:輸入輸入 x=0:0.01:pi/2;x=0:0.01:pi/2;I3=quadl(1+sin(x).I3=quadl(1+sin(x).* *exp(x)./(1+cos(x),exp(x)./(1+cos(x),0,pi/2)0,pi/2)結果為結果為:I1=exp(1/2:I1=exp(1/2* *pi) I2=4.8030 I3 =4.8105pi) I2=4.8030 I3 =4.8

10、10512/13五五 . 函數的級數展開式函數的級數展開式格式：格式：taylor(F,a) 功能：功能：F在在x=a處的泰勒級數前處的泰勒級數前5項項格式：格式：taylor(F,v) 功能：功能：F對變量對變量v的泰勒展式前的泰勒展式前5項項格式：格式：taylor(F,v,n) 功能：求功能：求F的的n 階泰勒展式階泰勒展式,且且 (n缺省時默認為缺省時默認為 5）例例8. 求求 的麥克勞林級數的麥克勞林級數xxey 解：解：syms x, y=x*exp(-x), taylor(y,9)ans=x-x2+1/2*x3+1/6*x4+1/24*x5+1/120*x6+1/720*x7+1/5040*x813/13simplify(y)，simple(y)化簡函數y=f(x)diff(y), diff(z,x)計算y = f(x) 導數, 偏導數diff(y,n)計算y = f(x) n階導數x,fval = fmin