1、第一節第一節 基本概念基本概念 1654年年,一個名叫一個名叫梅累的騎士就梅累的騎士就“兩個賭徒兩個賭徒約定賭若干局約定賭若干局, 且誰先贏且誰先贏 c 局便算贏家局便算贏家, 若在一賭若在一賭徒勝徒勝 a 局局 ( ac ),另一賭徒勝另一賭徒勝b局局(bc)時便終止賭時便終止賭博博,問應如何分賭本問應如何分賭本” 為題求教于帕斯卡為題求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡與費馬通信討論這一問題與費馬通信討論這一問題, 于于1654 年共同建立了年共同建立了概率論的第一個基本概念概率論的第一個基本概念數學期望數學期望.一、概率論的誕生及應用一、概率論的誕生及應用1. 概率論的誕生概率論的誕生2. 概率

2、論的應用概率論的應用 概率論是數學的一個分支概率論是數學的一個分支，它研究隨機現象它研究隨機現象的數量規律的數量規律， 概率論的應用幾乎遍及所有的科學概率論的應用幾乎遍及所有的科學領域領域，例如天氣預報例如天氣預報、 地震預報地震預報、產品的抽樣調產品的抽樣調查查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性擾性、分辨率等等分辨率等等.在一定條件下必然發生在一定條件下必然發生的現象稱為確定性現象的現象稱為確定性現象. . “太陽不會從西邊升起太陽不會從西邊升起”,1.確定性現象確定性現象 “同性電荷必然互斥同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處水從高處流向低

3、處”,實例實例自然界所觀察到的現象自然界所觀察到的現象: 確定性現象確定性現象 隨機現象隨機現象二、隨機現象二、隨機現象 在一定條件下可能出現也可能不出現在一定條件下可能出現也可能不出現的現象的現象稱為隨機現象稱為隨機現象.實例實例1 在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現的情況正反兩面出現的情況.2. 隨機現象隨機現象 “函數在間斷點處不存在導數函數在間斷點處不存在導數” 等等.結果有可能結果有可能出現正面出現正面也可能也可能出現反面出現反面.確定性現象的特征確定性現象的特征 條件完全決定結果條件完全決定結果結果有可能為結果有可能為:1, 2, 3,

4、 4, 5 或或 6. 實例實例3 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀觀 察出現的點數察出現的點數. 實例實例2 用同一門炮向同用同一門炮向同 一目標發射同一種炮彈多一目標發射同一種炮彈多 發發 , 觀察彈落點的情況觀察彈落點的情況.結果結果: 彈落點會各不相同彈落點會各不相同.實例實例4 從一批含有正品從一批含有正品和次品的產品中任意抽取和次品的產品中任意抽取一個產品一個產品.其結果可能為其結果可能為: 正品正品 、次品次品.實例實例5 過馬路交叉口時過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通可能遇上各種顏色的交通指揮燈指揮燈.實例實例6 出生的嬰兒可出生的嬰兒可能是能是男男,也可能是也可能是女女.實

5、例實例7 明天的天氣可明天的天氣可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.隨機現象的特征隨機現象的特征概率論就是研究隨機現象規律性的一門數學學科概率論就是研究隨機現象規律性的一門數學學科.條件不能完全決定結果條件不能完全決定結果2. 隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有偶然偶然性性, 但在大量試驗或觀察中但在大量試驗或觀察中, 這種結果的出現具有這種結果的出現具有一定的統計一定的統計規律性規律性 , 概率論就是研究隨機現象這概率論就是研究隨機現象這種本質規律的一門數學學科種本質規律的一門數學學科.隨機現象是通過隨機試驗來研究的隨機現象是通過隨機試

6、驗來研究的.問題問題 什么是隨機試驗什么是隨機試驗?如何來研究隨機現象如何來研究隨機現象?說明說明1. 隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯系系 , 其數量關系無法用函數加以描述其數量關系無法用函數加以描述. 1. 可以在相同的條件下重復地進行可以在相同的條件下重復地進行; 2. 每次試驗的可能結果不止一個每次試驗的可能結果不止一個,并且能事并且能事先明確試驗的所有可能結果先明確試驗的所有可能結果; 3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現會出現. 在概率論中在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱把具有以下三個

7、特征的試驗稱為為隨機試驗隨機試驗.定義定義三、隨機試驗三、隨機試驗說明說明 1. 隨機試驗簡稱為試驗隨機試驗簡稱為試驗, 是一個廣泛的術語是一個廣泛的術語.它包它包括各種各樣的科學實驗括各種各樣的科學實驗, 也包括對客觀事物進行也包括對客觀事物進行的的 “調查調查”、“觀察觀察”或或 “測量測量” 等等.實例實例 “拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣,觀觀察字面察字面,花面出現的情況花面出現的情況”.分析分析 2. 隨機試驗通常用隨機試驗通常用 E 來表示來表示.(1) 試驗可以在試驗可以在相同的條件下重復地進行相同的條件下重復地進行;1. 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀察出現的點數觀察出現的點數.2.

8、從一批產品中從一批產品中,依次任選三件依次任選三件,記記 錄出現正品與次品的件數錄出現正品與次品的件數.同理可知下列試驗都為隨機試驗同理可知下列試驗都為隨機試驗.(2) 試驗的所有可能結果試驗的所有可能結果:字面字面、花面花面;(3) 進行一次進行一次試驗之前不能試驗之前不能確定哪一個結果會出現確定哪一個結果會出現. 故為隨機試驗故為隨機試驗.3. 記錄某公共汽車站記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等某日上午某時刻的等車人數車人數.4. 考察某地區考察某地區 10 月月份的平均氣溫份的平均氣溫.5. 從一批燈泡中任取從一批燈泡中任取一只一只,測試其壽命測試其壽命. 問題問題 隨機試驗的結果隨機試

9、驗的結果?樣本空間的元素樣本空間的元素 , 即試驗即試驗E 的每一個結果的每一個結果, 稱為稱為樣本點樣本點.實例實例1 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣,觀察字面觀察字面,花面出現的情況花面出現的情況.,1THS 四、樣本空間四、樣本空間 樣本點樣本點 字面朝上字面朝上H花面朝上花面朝上T定義定義 隨機試驗隨機試驗 E 的所有可能結果組成的集合的所有可能結果組成的集合稱為稱為 E 的樣本空間的樣本空間, 記為記為 S或或 . 實例實例2 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子,觀察出現的點數觀察出現的點數.6, 5, 4, 3, 2, 12 S實例實例3 從一批產品中從一批產品中,依次任選三件依次任選三件,記錄出

10、記錄出 現正品與次品的情況現正品與次品的情況. , , , , , , 3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNNS 則則.,次次品品正正品品記記DN實例實例4 記錄某公共汽車站某日記錄某公共汽車站某日 上午某時刻的等車人數上午某時刻的等車人數. ., 2, 1, 04 S實例實例5 考察某地區考察某地區 12月份的平月份的平 均氣溫均氣溫.215TtTtS . 為平均溫度為平均溫度其中其中 t實例實例6 從一批燈泡中任取從一批燈泡中任取 一只一只, 測試其壽命測試其壽命.06 ttS.t的壽命的壽命為燈為燈其中其中泡泡實例實例7 記錄某城市記錄某城市120 急急 救電話臺一晝夜接救電

11、話臺一晝夜接 到的呼喚次數到的呼喚次數. . , 2, 1, 07 S答案答案.18 , ,5 ,4 ,3 .1 S. ,12 ,11 ,10 .2 S寫出下列隨機試驗的樣本空間寫出下列隨機試驗的樣本空間.1. 同時擲三顆骰子同時擲三顆骰子,記錄三顆骰子之和記錄三顆骰子之和.2. 生產產品直到得到生產產品直到得到10件正品件正品,記錄生產產品記錄生產產品 的總件數的總件數.課堂練習課堂練習 2. 同一試驗同一試驗 , 若試驗目的不同若試驗目的不同,則對應的樣則對應的樣 本空本空 間也不同間也不同. 例如例如 對于同一試驗對于同一試驗: “將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次”. 若觀察正面若觀

12、察正面 H、反面、反面 T 出現的情況出現的情況 ,則樣本空間則樣本空間為為若觀察出現正面的次數若觀察出現正面的次數 , 則樣本空間為則樣本空間為. 3, 2, 1, 0 S.,TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS 說明說明 1. 試驗不同試驗不同, 對應的樣本空間也不同對應的樣本空間也不同.說明說明 3. 建立樣本空間建立樣本空間,事實上就是建立隨機現事實上就是建立隨機現 象的數學模型象的數學模型. 因此因此 , 一個樣本空間可以一個樣本空間可以 概括許多內容大不相同的實際問題概括許多內容大不相同的實際問題.例如例如 只包含兩個樣本點的樣本空間只包含兩個樣本點的樣本空間它既可以

13、作為拋擲硬幣出現它既可以作為拋擲硬幣出現正面正面或出現或出現反面反面的的模型模型 , 也可以作為產品檢驗中也可以作為產品檢驗中合格合格與與不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排隊現象中又能用于排隊現象中有人排隊有人排隊與與無人排隊無人排隊的的模型等模型等.,THS 隨機事件隨機事件 隨機試驗隨機試驗 E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集稱的子集稱 為為 E 的隨機事件的隨機事件, 簡稱事件簡稱事件.試驗中試驗中,骰子骰子“出現出現1點點”, “出現出現2點點”, ,“出現出現6點點”,“點數不大于點數不大于4”, “點數為偶數點數為偶數” 等都為隨機事件等都為隨機事件. 實例實例 拋擲一枚骰

14、子拋擲一枚骰子, 觀察出現的點數觀察出現的點數.1. 基本概念基本概念五、隨機事件的概念五、隨機事件的概念實例實例 上述試驗中上述試驗中 “點數不大于點數不大于6” 就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 隨機試驗中必然會出現的結果隨機試驗中必然會出現的結果.不可能事件不可能事件 隨機試驗中不可能出現的結果隨機試驗中不可能出現的結果. 實例實例 上述試驗中上述試驗中 “點數大于點數大于6” 就是不可能事件就是不可能事件. 必然事件的對立面是不可能事件必然事件的對立面是不可能事件,不可能事不可能事件的對立面是必然事件件的對立面是必然事件,它們互稱為它們互稱為對立事件對立事件.實例實例 “出現

15、出現1點點”, “出現出現2點點”, , “出現出現6點點”.基本事件基本事件 由一個樣本點組成的單點集由一個樣本點組成的單點集.2. 幾點說明幾點說明例如例如 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現的點數觀察出現的點數. 可設可設 A = “點數不大于點數不大于4”,B = “點數為奇數點數為奇數” 等等等等. 隨機事件可簡稱為事件隨機事件可簡稱為事件, 并以大寫英文字母并以大寫英文字母 A, B, C, 來表示事件來表示事件,用用 表示必然事件，表示必然事件，用用 表示不可能事件表示不可能事件 F F(2) 隨機試驗隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系樣本空間與隨機事件的關系 每一個隨機試驗相

16、應地有一個樣本空間每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間, 樣樣本空間的子集就是隨機事件本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗隨機試驗樣本空間樣本空間子集子集隨機事件隨機事件隨機事件隨機事件 基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件復合事件復合事件 互為對立事件互為對立事件.), 2 , 1( , , ,的的子子集集是是而而的的樣樣本本空空間間為為設設試試驗驗SkABASEk 1. 包含關系包含關系若事件若事件 A 出現出現, 必然導致必然導致 B 出現出現 ,則稱事件則稱事件 B 包含事件包含事件 A,記作記作.BAAB 或或實例實例 “長度不合格長度不合格” 必然導致必然導致 “產品

17、不合產品不合格格”所以所以“產品不合格產品不合格” 包含包含“長度不合格長度不合格”.圖示圖示 B 包含包含 A.SBA三、隨機事件間的關系及運算三、隨機事件間的關系及運算 2. A等于等于B 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B， 而且事件而且事件B 包含事件包含事件 A，則稱事件則稱事件 A 與事件與事件 B 相等相等，記作記作 A=B.3. 事件事件 A 與與 B 的并的并(和事件和事件). 和和事事件件的的事事件件與與稱稱為為事事件件或或事事件件BABxAxxBA 實例實例 某種產品的合格與否是由該產品的長度與某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定直徑是否合格所決定,

18、因此因此 “產品不合格產品不合格”是是“長度長度不合格不合格”與與“直徑不合格直徑不合格”的并的并.圖示事件圖示事件 A 與與 B 的并的并. SBABA; , , , 211的的和和事事件件個個事事件件為為稱稱推推廣廣nknkAAAnA 4. 事件事件 A 與與 B 的交的交 (積事件積事件).ABBA或或積積事事件件也也可可記記作作 . , ,211的和事件的和事件為可列個事件為可列個事件稱稱AAAkk . 積事件積事件的的與事件與事件稱為事件稱為事件且且事件事件BABxAxxBA 圖示事件圖示事件A與與B 的積的積事件事件.SABAB實例實例 某種產品的合格與否是由該產品的長度某種產品的

19、合格與否是由該產品的長度 與直徑是否合格所決定與直徑是否合格所決定,因此因此“產品合格產品合格”是是“長度合格長度合格”與與“直徑合格直徑合格”的交或積事件的交或積事件.和事件與積事件的運算性質和事件與積事件的運算性質,AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA . A; , , ,211的的積積事事件件個個事事件件為為稱稱推推廣廣nnkkAAAnA . , ,211的積事件的積事件為可列個事件為可列個事件稱稱AAAkk 5. 事件事件 A 與與 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出現必然導致事件的出現必然導致事件 B 不出現不出現, B出現也必然導致出現也必然導致 A

20、不出現不出現,則稱事件則稱事件 A與與B互不相互不相容容, 即即. ABBA實例實例 拋擲一枚硬幣拋擲一枚硬幣, “出現花面出現花面” 與與 “出現字面出現字面” 是互不相容的兩個事件是互不相容的兩個事件.“骰子出現骰子出現1點點” “骰子出現骰子出現2點點”圖示圖示 A 與與 B 互斥互斥.SAB互斥互斥實例實例 拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現的點數觀察出現的點數 . 6. 事件事件 A 與與 B 的差的差 由事件由事件 A 出現而事件出現而事件 B 不出現所組成的不出現所組成的事件稱為事件事件稱為事件 A 與與 B 的差的差. 記作記作 A- - B.圖示圖示 A 與與 B 的差的差

21、.SABSABAB AB BA BA 實例實例 “長度合格但直徑不合格長度合格但直徑不合格” 是是 “長度合長度合格格” 與與 “直徑合格直徑合格” 的差的差. 設設 A 表示表示“事件事件 A 出現出現”, 則則“事件事件 A 不出現不出現”稱為事件稱為事件 A 的的對立事件或逆事件對立事件或逆事件. 記作記作.A實例實例 “骰子出現骰子出現1點點” “骰子不出現骰子不出現1點點”圖示圖示 A 與與 B 的對立的對立.SBA 若若 A 與與 B 互逆互逆,則有則有. ABSBA且且A7. 事件事件 A 的對立事件的對立事件對立對立對立事件與互斥事件的區別對立事件與互斥事件的區別SSABABA

22、 A、B 對立對立A、B 互斥互斥 ABSBA且且 AB互互 斥斥對對 立立事件間的運算規律事件間的運算規律.,)1(BAABABBA 交交換換律律),()()2(CBACBA 結合律結合律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律.,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德則則有有為為事事件件設設 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 例例1 設設A,B,C 表示三個隨機事件表示三個隨機事件, ,試將下列事件試將下列事件用用A,B,C 表示出來表示出來. .(1) A 出現出現 , B, C 不出現不出現;(5) 三個事件都不出現三個事件

23、都不出現;(2) A, B都出現都出現, C 不出現不出現;(3) 三個事件都出現三個事件都出現;(4) 三個事件至少有一個出現三個事件至少有一個出現;(6) 不多于一個事件出現不多于一個事件出現;(7) 不多于兩個事件出現不多于兩個事件出現;(8) 三個事件至少有兩個出現三個事件至少有兩個出現;(9) A, B 至少有一個出現至少有一個出現, C 不出現不出現;(10) A, B, C 中恰好有兩個出現中恰好有兩個出現.解解;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6

24、(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA (1)沒有一個是次品沒有一個是次品;(2)至少有一個是次品至少有一個是次品;(3)只有一個是次品只有一個是次品;(4)至少有三個不是次品至少有三個不是次品;(5)恰好有三個是次品恰好有三個是次品; (6)至多有一個是次品至多有一個是次品.解解;)1(4321AAAA:, )4, 3, 2, 1(,示示下下列列各各事事件件表表試試用用個個零零件件是是正正品品產產的的第第表表示示他他生生零零件件設設一一個個工工人人生生產產了了四四個個iiAiiA 2例例4321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA ,4321AAAA ;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321AAAA ;