1、含未知輸入的奇異 （廣義） 線性系統的能觀測性摘要本文解決了含未知輸入的一般類奇異線性系統的較強的能觀性和能測性。 解決了當矩陣束是非正則的情況（即，微分方程有多個解的情況） 。結果表明，在合適的假設下， 原來的問題可以通過含未知輸入的常規（非奇異）的線性系統和代數約束的方法進行研 究。因此，可以表明， 為了達到分析的目的， 代數方程組可作為擴展系統輸出的一部分。基于這種分析，我們根據系統矩陣零點得到保證系統能觀測性（或探測）的充分必要條 件。為測試系統的能觀測性給出了相應的代數條件。我們提供一個公式來表達輸出函數 具有高次導數的狀態，它允許實際狀態向量的重建。這表明未知輸入也可以重建。關鍵詞

2、 奇異系統 強能測性 強能觀性 代數能觀性1簡介對于部分被未知輸入（UI）驅動的多變量線性系統觀測器設計的問題已被廣泛研究（Darouach， Zasadz in ski，與徐，1994;弗羅奎茲&巴爾博特，2004;弗羅奎茲，愛德華茲，與司布真，2007;關與賽義夫，1992）。這些觀測器對系統受到干擾或無法輸入， 或當遇到故障診斷問題具有重要的用途。能觀測性和觀測器的設計問題在廣義系統完全 已知的模型上已被廣泛研究。1981年在Yip和Sincovec對這個問題的可解性，可控性 和可觀性已經進行了研究。在那里，可觀性分析已經解決并發現了其代數特性。通過使用分布式架構，1984年在科布能控性

3、和能觀性之間的對偶代數關系被證明。1992年在Paraskevopoulos和 Koumboulis發現了設計一類龍伯格狀態觀測器所需的充分必要條件。 在之前的提到的三項發現中，系統需要有一個正則矩陣束，即有一個特殊的狀態解決方 法。在沒有特殊假設的正則系統中偶爾的可觀性既不允許使用在輸入的衍生工具，也不 允許使用在輸出的衍生工具，這種能觀性（1999a）在Hou and Miller已經研究了。同一作 者（1999b）在Hou and Muller提出了觀測器的設計。它表明在這項工作中通過允許參與觀測器（稱為它有一個廣義觀測）的輸入和輸出的衍生物，可探測性是滿足觀測誤差的收斂性的。（1995

4、）在Darouach和Boutayeb設計了降階觀測器。2008年在Darouach和Boutat - Baddas,提出了非線性奇異系統的觀測器。盡管有大量文獻都關于綜合奇異系 統的可觀測性分析，但當包含未知輸入系統時成果卻很少。（1992）年在Paraskevopoulos， Koumboulis ， Tzierakis 和 Panagiotakis，針對包含未知輸入的奇 異線性系統的觀測器設計問題被考慮到，并且給出了設計一個Luenberger般的觀測器的 充分必要條件。（1996）年在Darouach， Zasadzinski和Hayar ，提出了降維觀測器。 在某些規律性的條件下，（

5、1999）年在Chu and Mehrmann觀測器的設計被研究過。其間，（2005）年在科尼格提出了成比例的多重積分的觀測器。用圖論的方法，在Boukhobza 和Hamelin （2007年）發現了可觀性條件。在這篇文章中，針對含未知輸入的一般類奇異線性系統的可觀測性問題進行了研 究。該系統不要求有正規矩陣束。我們得到了較強可觀測性和可探測性的充分必要條件。我們表明，該狀態的重建可以通過公式實現，這個公式表達了輸出函數具有高次導數的 實際狀態。4.1討論了有限時間重建（可觀察性）。4.2給出了緩慢重構（可測性）的過 程。在4.3匯總了所有的估計算法。要加強理論成果，我們在第5節提出了模擬的

6、例子。 下面的符號將被用于整篇文章。對于一個矩陣 X，我們用一個行滿秩矩陣X丄表示，使TT -rT得X1X=0，并且由行滿秩矩陣X且使得秩XHx=秩X (則矩陣(X丄)(XU)是非奇異的)。X的M P廣逆矩陣記為X中。X的秩記為W。我們通過L表示歐幾里德范數。C -表示嚴格負實部的復數集合。Ir是用r維的單位矩陣。Or迸是由sxr的零矩陣。x(0 + )=lim t_+(t )用來限制以上的狀態。2系統描述和問題公式化讓我們考慮一下SLSUI由以下方程,lx(0 = AU0 + Dfi (f)這里X(t)亡Rn是系統狀態向量，y(t)忘RP是系統輸出，u(t)是未知輸入向量。矩陣E,A亡Rn如

7、,C亡RP沖，F亡R卩都是恒量。矩陣E是假定是奇異的。給定X(t)亡Rn的 狀態，函數u(t)。我們通過心他小來定義t時刻系統送 的初始狀態xo和系統輸入向量u。由此,我們以一個簡單的方式 珈伽上泄定義輸出。我們感興趣的是能表示輸出信息的狀態向量x(t)的軌跡重建。系統2 沒 有定義一個常規的矩陣束，也就是對于所有的3 C都有血WE -人)=0，那么孤伽就 有多解。然而，卩(T)必須這樣使得x (t)是分段連續對所有的t 0,但可能發生在t=0的沖動。為了給代數條件允許 x的重建(T),我們認為下面的定義，它是基于經典 的定義為線性時不變系統(見，例如Trentelman, Stoorvoge

8、l和Hautus (2001)。u都滿足我們就稱系定義1 (強能觀性)如果系統力對任何百歐和輸入函數 統具有強能觀性。ytt xa- f) = 0 Vr OimpUes A(0) = 0.u都滿足我們就稱系定義2 (強能測性)如果系統對任何冷E 和輸入函數統具有強能測性。Yfi (Xq, f) = 0 Vf 0 implies lirn伽 * f) = 0”很顯然，強大的可觀察性是重構狀態x (t)整個軌跡的一個必要條件。事實上，讓我們假設 工是不是強可觀察的，那么就意味著有存在打wrn豐0，使得而表達式溝弘“ =OVf 0成立，然后，因為我們假設x (t)是分段連續的，那么用0心門三0 和冷

9、肉#0在開區間，然而，既產生系統輸出恒等于零。由此，它就不可能重構整個狀態的軌跡。下面將要證明，因此是一個必要的結構和充分條件，重構以x （t）的有限時間。類似地，它將被顯示，SD是x漸近重建的一個充分必要條件。3.能觀性分析由于E是奇異的，存在非奇異矩陣丁 IT*和5 R-使E可如下轉化因此，我們定義矢量疋N 41=廠,這里引苣R兀，工工總疋F。在這些新的定義下2可以重寫如下TESz (fj = 7X52 (f) + TPg U) yU) = CSzU) + f狀(0-(5)鑒于（4）, W采用下列形式2 (0 = liASZ, U + 7A隔 + TDp (t),0 = 丁牡+耳必2亞応)

10、+ HD# (n *y = cSiZi tn + csm2 + fm (f)(6a) (6b.) 他)其中勺和勺矩陣源于S的下列分區勺 切，其中勺“雄50類似地, 矩陣蘇和心來從分區T J 耳 可，其中珀直乍-，宦駛-小化很顯然，2是S0（ SD）,當且僅當，W為SO （SD）。下面我們將看到，一個簡單的的方式來研究 W的可觀性,并推而廣工的，是經考慮（6B）作為一種新系統輸出的一部分系統,并考慮 Z2作為未知輸入的載體的一部分。事實上，讓我們由下面的等式來定義系統_ 21 (f) = Afi 0)+ pv (r) y (f) = CZ| u) + f r- (f),其中，列neRF冷，y總卿

11、F+P，矩陣CF定義如下:T2AS1CStb = 113 TlO，rF =T2AS2 T2DCS2 F很顯然由（6）表示看起來像系統Wo在一般情況下，它們做并不代表相同的系統。 但是，這兩個系統是相同的，如果這兩個恒等式成立：0 = 1於和 以=石一以。在接下來的定理，它被要求2的SO （相應的SD）的實現相當 于達成的SO （相應SD）（需要重建條件Z1）加上秩條件（要求Z2重建）。定理1系統2是SO （SD），當且僅當是SO （SD）和下面的秩條件成立此外，這種等價是獨立的T和S的選擇。證明。首先，請注意，由于 加燈DfT-皿伙（花爐 戸,（9）成立相當于說，當且僅當習=6，則 町Z；且丁

12、=0。必要性：設工為SO （SD）。讓我們假設，對于一個輸入V和狀態Z1，.厲 f） = 0的 情況下，當Z2 （t。和卩（t）的滿足條件邊/卜 宀口，我們得到W和表示相同的系統。因此，限定呦=劉0我們的結論是對于所有r 0都有兒他山=0。現在， 由于，通過假設（2） （3）當有胃（護 = 0 （ X （t。收斂到零），這表明（0*） = 0,（Z（t）的收斂到零）。特別是2訂時）=0，即為SO。現在，假設（9）不成立。然后，存在一個向量V，它可以被劃分為“T = ”啪仙嗽-佐宀eGT），這樣亦=0,旳#0。通過選擇川）=叫，U = %= 0。對所有t0滿足（6）式和y （T） =00因此，兀

13、=他=50 41 = const豐0,也就是說，在這種情況下 2并非如此（相應2不是SD）o充分性：首先，讓我們注意到對某些 Go及V有 兒（心門=0，意味著札憶m們三0 o 事實上，讓我們假設兒伽E = 0的一個狀態Ko 附和一個輸入函數然后，該函數 環d = LSZ）滿足（6）式，具體的代數滿足在（6B。的約束。因此，我們的 結論是，對于所有的t 0時，對于系統孫。n = o，用V作為擴展向量由Z2和卩組 成。此外，它是已知的，從線性系統理論，即一個輸入為V （ t）的零位調整的輸出必須有v(t = K*Zi (f) + Lw (f)(f 0】，w （t）。因此，假設是SO （SD）其中特

14、殊矩陣一個矩陣L,使得1 = 0，以及函數有久（2伽n = 0，即可（門=0中，t 0時，珈伽4 = 0,意味著，對于所有的t0， （Z1 （t）的收斂于零），并且Pl，0 （恥=KF）。 以前面的條件，假設（9）為真，意味著，石三。因此，在這種情況下，山三0, 所有X三0。因此，我們的結論即2是SO （相應SD）。證明T和S的獨立性很簡單，因為我們已經證明定理1對任意T和S滿足（4）。至于藝，我們可以預期，SO和SD可以完全特點五元組（sE -沖-DC FE，A，C，D，F）。事實上，令 R（S）為2的所謂的系統矩陣，即sec，我們說，XC是2的零點如果創伽U。設6（刀被定義為一組2的零點。

15、我們來證明SO和表明2的零 點條件。推論2系統2是SO （SD）,當且僅當6= 0（632 b）。證明：我們定義si-Ac-7 J ,這是的系統矩陣。在圖（4）和（8），我們得到(10)4.代數能觀性正如我們所預料的SO與代數恰逢可觀性（A0）:我們說，2是AO如果x可以表 示為一個代數y的函數及其導數的有限數量（見，例如迪奧普和佛里斯（1991）。讓谷（K 1。是由所獲得的矩陣下面的遞歸算法（參見，莫利納利（1976）,Mi+, =, M,=(戸丄丄匸丄 C(11)讓我們用L表示，最小的整數，昨。為我們的目的，我們指出，是SO,當且僅當藺=佻，對于SD的情況下，我們必須努力多一點與系統。的確

16、，我們假設 伽V盹.。設V是一個列滿秩矩陣，使得= 0。存在一對矩陣Q和K這樣,(12)AV + DK* = VQ and CV + FK* = 0.從（12）,很顯然im（A + 6K*V+）V）C imV，化+ += 0。我們可以定義一個 =時V,其中和砒是V和M的M-P廣義逆,P =円非奇異矩陣P,- L廠r = WWW，時=呵。通過定義向量叩=隔和咗=尸可。我們得到為=時v-i + y嗆。系統在這些新的坐標可以被改寫如下：13a(Bb)(13c)lih =+ by (u K*ri 2)i曲=不+ 鬲叱 + Di (i K*ir2), y = Gm + F 3 K%2),其中,(14)A

17、x =MfD, =A2 伉+D2 = v+d,鬲=(A + DK*V*)譏 Cl = C時.因此，當用于SD,它是已知的系統為SD,當且僅當仙屮卜仙隅和為是Hurwitz 矩陣。我們回到系統，定義El =（匸叱廣丄匸丄F = M角，讓我們推導出矢量1 (t) = MjAZi (f) + MiDo(r).讓我們定義一個新的向量E 2如下, 因此，考慮到（7）,（15）,及（11），我們有,(15)(16)Mr2 M泌1 ” r To 0,J1 00 如心“叱。在（17）的第一定義，我們采取的微分算子外從（16）和利用E 1的定義。因此，我們可以遵循迭代過程以獲得方程的下面的一組，對于當k 1,y

18、 1,因而是由一個函數的高階導數表示 丫（t）的。以這樣的方式實時微分器可以使用在黎凡特（2003）和Mboup, join，和Fliess （2009）中可以發現由于其有限時間收斂使 得其中兩個經常被使用。例如，如果 陽吐，那么Z1是代數可觀的，即它可以通 過使用一個實時微分器進行重構。為了匹配系統 2與系統，從現在開始，我們定義y = Otxn-= n 佻 + P） I，= 丁 “）r 15珥 = n-pE+m然后在圖（6）,方程（5）和（7）是相同的。下面，我們考慮兩種情況：當 2是SO當它是標清，但并非如此。當然，由于 是標準的線性系統中，可能有其他的方法，除了提出fc= 1.224一

19、個下面，這可能是用于進行代數重建的狀態。4.1有限時間的重建（t）的可以在有限的時間我們認為，系統2是SO的。然后，重建整個狀態向量 x內實現：借助于一個代數公式。讓我們繼續以下面的方式。由于然后在這種情況下，從（18）,我們得到方程f/列口血1血_1=fl(20)其中M岸財EX佐，薩座司.。設U是一個矩陣，使rankU = rank(21)由于（9）必須根據定理1得到滿足，我們有郎sr（Z1 U)JZi(0 (22)其中，fl “ -址十m。現在，我們準備給一個公式在有限時間重建定理3如果系統2是這樣，那么狀態x可以表示代數由下式tf rt f孑J F OfixmHt出.(23)其中也欣和2

20、定義如下rt xpGC e風他環剛初，M和J遞歸定義的在（ 證明讓我們定義擴展向量處加I，如下DUFU2一|_00 矯(Cl G) *11）和（19），U由（21）定義的。PMf Pfff y(Ti)dri - drjt人3然后為合適尺寸的矩陣X下式成立：d廣止臚+1喬眉0 X 屮。由此，因為x= Sz時,通過考慮（22）, （20）, （23）可以得至嘰備注1有人可能會得到多一點從以前的分析,也就是，可以用代數公式的一部分表達的卩是由方程隱式定義的可以重建（假設2是SO）。事實上，讓h mHl-尸r = D尸丁口門。用同樣的步驟依次得到（23）,卩可以是由下式表示“（f） = OrnMn J

21、jfir y - U?2(f0-(31)另外，從（13b），（28）和（27），我們得到，込一聽=冊仲2-%。由于是SD的，仏是Hurwitz ;因此金a收斂到W2。然后通過（31）證畢。備注2如果卩-需要也重建，則這是可以通過應做到，的定義如下,aVf(f)叭Im卷如(32)其中,0被隱式由以下方程定義。所以，我們得到直接得到接近零。4.3 x重建的算法總結F面，有步驟的描述可遵循開展 x狀態的估計。步驟1選擇S和T,使E組成的形式（4）。 步驟2根據（8）計算矩陣AEb匸。步驟3遞歸算法（11）和（19）計算矩陣閩和A。我們注意，叫=陽A 叫。步驟4A檢查2是SO:測試兩個條件（i）陽三佻

22、和條件（9）中的（ii）。如果他們倆 都滿意轉到步驟5A。步驟4B檢查2是SD:測試條件（i）叫卡=n N仇+ 5町訃，條件（ii ）是Hurwitz，如果他們都感到滿意，請轉到步驟 5Bo否則，x的準確估計（甚至漸近）是不可能的。步驟5A x（t）由式（23）的狀態重建。步驟5B x（t）是通過式（26） （ 27）的X來估計。進行第5步一個需要使用一個實時的區別。在下一節中給出的例子中，我們使用代數數值和滑模微分器，它一直近年來提出的，并有相當大的詞義在一些觀察和識別程序感謝他們有限時間收斂性和魯棒性。這些微分器的簡要回顧載于附錄。5.例題我們認為，2具有以下矩陣,2 10-210J- -

23、O TJ *00-0101-00000-1一 100000-1-r-10I00110tT =0100_10010001S和T選擇如下,S步驟2矩陣瓦亡血和匸的值如下,-O-2 0 0-00-0-O- 3很容易看到，在這個例子中，det（sE -A）=0的每個的s C。因此，對于x （t）許多解決 方案都期望滿足差分方程（1）。然而，為每一個輸出y （t）只對應于一個軌跡的x（t） o事實上，我們將看到，根據定理1，2是SO的。我們下面說明觀測器的設計步驟。 步驟1對于這種情況下矩陣步驟3矩陣和取值如下,Ma1 0丘72 0000001 0 0000?2/200邁/2步驟4在這里，皿伙硒三2,田

24、kS = 3, 11 Pt = 2。因此，定理1的兩個條件都滿足。步驟5 x（t）的重構可以通過的手段來完成公式（23）, 一旦我們定義/ =【0 0/I 0在這個例子中，卩的重建，也可以如下式（25）o因此，我們有1,71, I,*1 = -yi + 2 - -yi + -y2.3122 b2 I 1 .龍2 =-力一評+百力.為了估計狀態x,卩，我們使用了兩個不同的差異化，一個代數數值微分器（ALND )和高階滑模微分器（HOSMD）0為了模擬的目的，我們選擇了M = 9+2曲1閔比+旳）和Z= 2 0g。圖1描繪狀態的軌跡。圖2和3描繪估計誤差。圖4描繪相應的估計值卩，記為N。我們也測試

25、了兩種微分器存在輸出噪聲的情況，為此我們利用 Matlab將具有噪聲的近似值均勻分布在第一輸出端（-0.1,0.1）和第二輸出端（-0.05, 0.05）。圖5描繪估計誤差。Ftv inf刊各4- Ulsobd)jful LtESLirTLVban R (daitwd forALND.dand liOSMD).cFit 1F I UflUgALND.fit- S. EiniKunofiirat # Jt - F bvich j daisy auiput.Rt 1 Eiliimtwn errorf - lusinj KtMMp,6.總結我們已經給出了估計緩慢（非沖動）軌跡的充分必要條件，對于奇異

26、系統中的微分方程的多個解是允許的，即不要求系統矩陣是正定的，因為它的可觀察性在以前的大多 數工作中已經進行了研究。我們已經給出明確的公式在有限時間和漸近情況下進行狀態 重建。然而，我們必須注意到，當x的估計需要過多的衍生物時，由于噪聲和采樣時間 產生的誤差可能會大大增加。在這種情況下，如果一個漸近估計是不夠的，時間允許的 情況下在設計出的Luenberger觀察器后我們應該使用在線分化。 在這種情況下，一個簡單而繁瑣的改性過程就隨之而來，來減少在最小估計狀態所需的衍生物的數目，我們建 議有興趣的讀者去找弗羅奎茲等（2007）和亞貝哈拉諾和弗里德曼（2010）。致謝這項研究已通過歐盟區域間財政支

27、持IV A 2 MERS海洋Zee?!跨境合作計劃根據SYSIASS項目06-020。有關SYSIASS詳情項目看項目網站 www.sysiass.eu F.J亞貝哈拉諾舉行在 INRIA 博士后位置 - 北歐洲與 ALIEN 團隊，這篇文章在這工作期間寫出的。回顧兩種不同的微分器:A.1代數微分器這個代數設置為噪聲信號數值微分在Filess, Join, Mboup和Sira - Ramirez （2004）中介紹了而且 liu , Gibaru 和 Perruquetti（2011A）對其進行了分析;liu , Gibaru，Perruquetti, 和 Mar（2011B），Mboup，join，