1、等系數與線得應用廣東省英德中學(513000)陳國宗一、概述 平面向量就是高中數學得一個重點知識,也就是一種重要得解題工具,更就是歷年高考命題得熱點、向量具有代數與幾何得雙重特性,因此在處理問題時既可以將向量問題代數化,也可以從數形結合角度進行分析、本文重點介紹利 用等系數與線得方法解決向量線性表示中得系數與問題,并側重于從數形結合思 想分析問題,讓讀者體會該方法得直觀性與簡潔性、二、基本理論1、 三點共線定理:設為平面內得一組基底,且,則三點共線得充要條件為 如圖1所 示:事實上,根據三點共線定理,我們還可以得到更為一般得結論、2、等系數與線:設為平面內得一組基底,且,則點在直線上或者與平行

2、得直線上得 充要條件為、如圖2所示:面給出該結論得證明: (1)充分性:已知1當時,根據三點共線定理知點在直線上2當時,在動點得軌跡上任取兩點uuuur uuuuruuuur uuur uuur uuurC1C2OC2OC1(x2x1)OA (y2y1)OB(x2x1)BA /即/綜上所述充分性成立、(2)必要性:1當點在直線上時,根據三點共線定理易知2當點在平行得直線上時,過點作直線,使/,并分別交(所在直線得延長線)于點、如圖3所示:設三點共線綜上所述必要性成立、 因此，我們稱直線以及與平行得直線為等系數與線、3、推論:根據上面得證明過程，我們可以得到以下結論、如圖4所示:當等系數與線在與

3、直線之間時，3當直線在等系數與線與之間時，三、等系數與線得應用一一求系數與或系數與得取值范圍、 問題一：型、 例題1、如圖5所示，在中，分別為與得中點,若，則 解:如圖所示，連接，延長交直線于點、 已知且為中點、例題2、（2017全國II卷12題改編）在矩形中，動點在以點為圓心,且與相切得圓上、 若，則得取值范圍為解:如圖所示,過點作直線/事實上，當在圓上運動時，等系數與線夾在直線與切線之間，故得取值范圍為作圓得切線且/A AIK過點作得垂線分別交于點易知當落在直線上時,當落在切線上時,G G點評 利用等系數與線方法處理形如得系數與問題得基本步驟 連接,構造直線 連接（延長）交直線于點,則必要

4、時,應利用平行線分線段成比例計算得值、3對于得取值范圍問題,可以過動點得軌跡內作/,/且分別為距離點最近與最遠得兩條平行線,則,其中分別為點到直線得距離、問題二:型、例題3、如圖6所示,在中,分別為與得中點,若,則解:如圖所示,作得中點、連接交于點,易知為得中點、故、 例題4、（2009安徽卷改編）給定兩個長度為1得平面向量與,它們得夾角為,如圖7所示,點在以為圓心得圓弧上運動、 若,其中、 則得取值范圍為 解:如圖所示,作中點,連結,作弧得切線,使、設切點為,連結交于當落在直線時,則、當落在切線時,在中,故點在弧 上運動時,得取值范圍為、點評 利用等系數與線得方法處理向量分解中得系數與問題時

5、，應注意問題中待求與得兩個數就是否為基底得系數、一般地，已知,求得問題，可構造基底，使得，從而將問題轉化為以為基底得系數與問題、 問題三:型、 例題5、如圖8所示,在中，為邊上得三等分點，為與得交點，分別為邊上得動點（不含端點）、 若，則=解法一:如圖所示，易知 由于且、解法二:如圖所示，分別平移向量至又三點共線故、例題6如圖9所示，在正方形中，為中點，就是以為 圓心,為半徑得圓弧上得一動點、設,則得取值范圍 為、故、當運動到點時，易知此時此時 當運動到點時,易知此時解:如圖所示,過點作，連接交（延長線）于點結合平行線分線段成比例知故得取值范圍為、點評 注意等系數與線所描述得結論要求表達式中得三個向量共起點,若起點不一致,則可以考慮利用向量得減法法則或者平移相關向量統一起點、四、結束語 通過文中得幾個實例,我們可以瞧到利用等系數與線處理系數與問 題得本質就是將系數與問題轉化為線段得比例問題,其解法高效,直觀,甚