1、新數學高考函數與導數專題解析一、選擇題1 .若點(Iogi4 7,logi4 56)在函數f(x) kx 3的圖象上，則f(x)的零點為()A. 1B. -C. 2D. 324【答案】B【解析】【分析】將點的坐標代入函數 y f x的解析式，利用對數的運算性質得出k的值，再解方程f x 0可得出函數y f x的零點.【詳解】Q log 14 56 logi4 4 10g 14 14 1 210g 14 2 1 2(1 log 14 7) 3 210g 14 7,3k 2 , f (x) 2x 3.故f x的零點為一，故選B.2本題考查對數的運算性質以及函數零點的概念，解題的關鍵在于利用對數的運

2、算性質求出 參數的值，解題時要正確把握零點的概念，考查運算求解能力，屬于中等題.2,已知f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于點(1,0)對稱.以下關于f(x)的結論: f(x)是周期函數；f(x)滿足f(x) f (4 x)；f (x)在(0,2)單調遞減;-xf (x) cos是滿足條件的一個函數.其中正確結論的個數是()2A. 4B. 3C. 2D, 1【答案】B【解析】【分析】題目中條件：f(x 2) f(x)可得f(x 4)f(x)知其周期，利用奇函數圖象的對稱性，及函數圖象的平移變換，可得函數的對稱中心，結合這些條件可探討函數的奇偶性， 及單調性.【詳解】解：對于：Q f( x)

3、 f(x),其圖象關于點(1,0)對不f(x 2) f (x)所以 f(x 4) f(x 2) f(x),函數f (x)是周期函數且其周期為 4,故 正確；對于：由 知，對于任意的x R ,都有f(x)滿足f( x) f (4 x),函數是偶函數，即 f (x)f(4 x),故正確.對于：反例：如圖所示的函數，關于y軸對稱，圖象關于點（1,0）對稱，函數的周期為 確；A y5-”4 -3 .y-43 -22 3/N-2-3/一.4對于：f（x） cosx是定義在f 2故正確.故選：B .【點睛】本題考查函數的基本性質，包括單調性、4,但是f （x）在（0,2）上不是單調函數，故 不正?上的偶函

4、數，其圖象關于點（1,0）對稱的一個函數，奇偶性、對稱性和周期性，屬于基礎題.3.已知直線y kx 2與曲線y xlnx相切，則實數A. In 2B. 1C. 1 in【答案】D【解析】由y xlnx得y' inx 1 ,設切點為 x0, y0，則k2 kxo 2 x0 in x0, k in x0 一,對比 k in x0 xo選D.4.若函數 f(x) ex e x sin 2x,則滿足 f (2x2 1()1A.(1,1)B.(,，1，、，C.(-,1)D.(,2【答案】B【解析】【分析】k的值為()2D. 1 in2y0kx0 2in x0 1 ,，V。x in x01 ,x0

5、 2 , k in 2 1 ,故)f (x) 0的x的取值范圍為11)U(1,)21-)O1 )判斷函數f x為定義域R上的奇函數，且為增函數，再把 f 2x2 1 f x 0化為 2x2 1 x ,求出解集即可.【詳解】 x x解：函數f x e e sin2x,定義域為R,且滿足 f x ex ex sin 2xex ex sin2x f x ,f x為R上的奇函數；又 f ' x ex e x 2cos2x 2 2xcos2x 0 恒成立，. f x為R上的單調增函數； 2_又 f 2x 1 f x 0,2得 f 2x 1 f x f x , _ 22x 1 x,即 2x2 x

6、1 0,1解得x1或x -,21所以x的取值范圍是，1,2故選B.【點睛】本題考查了利用定義判斷函數的奇偶性和利用導數判斷函數的單調性問題，考查了基本不 等式，是中檔題.5.已知 a 3ln3,b 3 31n3, c21n3,則a,b,c的大小關系是(D. a b cA cbaB. cabC. a c b【答案】B【解析】【分析】根據a,b,c與中間值3和6的大小關系，即可得到本題答案.【詳解】3-3因為° o W ,所以1 ln3e 3 e23則 3 a 31n332 373 6,b 3 3ln 3 6,c (ln 3)2 3,所以c a b.故選：B【點睛】本題主要考查利用中間值

7、比較幾個式子的大小關系，屬基礎題6 .函數f x sinx x2 2 x的大致圖象為() x分析：根據函數的極值點和極值得到關于a, b的方程組，解方程組并進行驗證可得所求.利用f 10,以及函數的極限思想，可以排除錯誤選項得到正確答案。【詳解】f 1 sinl 1 2 sinl 1 0,排除，B, C,當 x 0時，sinx x 0,sinx則 x 0 時，1 , f x 10 1,排除 A,x故選：D.【點睛】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用排除法結合函數的極限思想是解決本題的關 鍵。詳解：: f(x) x2,2.，、7.已知函數f x x ax bx a在x 1處取極值10,則a

8、()A. 4 或 3B. 4 或 11C. 4D. 3【答案】C【解析】 ax2 bx a2,2 f (x) 3x 2ax b.由題意得f (1) 3 2a b 02f(1) 1 a b a2 102a即abb a2a 4b 1133時，f (x) 3x26x 33(x 1)2 0,故函數f(x)單調遞增，無極值.不符合題意.a 4.故選C.點睛：(1)導函數的零點并不一定就是函數的極值點，所以在求出導函數的零點后一定要 注意分析這個零點是不是函數的極值點.(2)對于可導函數f(x), f'x0)=0是函數f(x)在x= x0處有極值的必要不充分條件，因此在 根據函數的極值點或極值求得

9、參數的值后需要進行驗證，舍掉不符合題意的值.0,x 1.8.已知函數f x,右不等式f x x k對任意的x R恒成立，則實lnx,x 1數k的取值范圍是()A.,1B. 1,C, 0,1D.1,0【答案】A【解析】【分析】先求出函數f x在(1,0)處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數0,x 1f x和g(x) x k的圖象，利用數形結合進行求解即可.In x, x 1【詳解】1當x 1時，f x lnx, f (x) f (1) 1,所以函數f x在(1,0)處的切線方 x程為：y x 1,令g(x) x k ,它與橫軸的交點坐標為(k,0).x k的圖象如下圖的所示:0,x 1在同一

10、直角坐標系內回出函數f x和g(x)ln x, x 1圍是k 1.故選：A【點睛】本題考查了利用數形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數的應用，屬于中檔題9.已知函數 f (x) (xC R)滿足 f (x) =f (2-x),若函數 y=|x2-2x-3| 與 y=f (x)圖像的m交點為(xi,yi) , ( x2,y2),，(xm,ym)，則 X = i 1A. 0B. mC. 2mD. 4m【答案】B【解析】、一 .一一 一、，-，、2- 一試題分析：因為y f(x), y x 2x 3的圖像都關于x 1對稱，所以它們圖像的交點也關于x 1對稱，當m為偶數時，其和為 2 m m；當

11、m為奇數時，其和為2-m 12 1 m,因此選B.2【考點】函數圖像的對稱性【名師點睛】如果函數f(x), x D,滿足 x D,恒有f(a x) f(b x),那么a b函數的圖象有對稱軸 x ；如果函數f(x), x D ,滿足 x D ,恒有2a b f (a x) f (b x),那么函數f(x)的圖象有對稱中心(,0).2【解析】【分析】 .In x根據奇偶性排除B,當x 1時，f X 0,排除CD,得到答案 3X【詳解】f Xlnr, f X 注 f x , f X為奇函數，排除B33XX,ln x當X 1時，f X 一一 0恒成立，排除CD3X故答案選A【點睛】 本題考查了函數圖

12、像的判斷，通過奇偶性，特殊值法排除選項是解題的關鍵_ _0 2f log30.2 , b f 3 .,11.已知函數f x ln Jx2 1 x ,設a1.1c f 3 ，貝U ()C. c b aD. c a bA. a b cB. b a cf x In vx21 x. f(x)ln(、. x2 3 1 x)1n TA x f( x)ln( TX1 x)1n(西1 x),f ( 31.1) f (31.1)t f(x),解 f(t)【詳解】0有三個實數根，再結合圖像即可得到答案由題意，y f f x的零點個數即f f x0的實數根個數,1 ；當 x 0 時，0 Jxr x 6x 3,x 0

13、 ,12. f x Y,則函數y f f x的零點個數為() 1 x 1，當 x 0時，f (x)1n(7x21 x)1n(Jx2 1 x)f ( x)1n(/x21 x)；當 x 0時 f(x) 1n(7x1 x) 1n(Vx1 x)；f ( x) 1n( .x21 x) 1n( . x2 1 x). f(x) f( x)，函數f x是偶函數，當x 。時，易得f (x)1n(jx21 x)為增函數a f(1og3 0.2) f(1og35), c, 1 10g3 5 2, 0 30.2 1, 31.1 3 -_110 2 f (3. ) f (1og 3 5)f(3 . )cab故選D.作f

14、 x的圖像如圖所示,當 t 0時，即 t ln xf x2,可得f x在0,e上遞增，在 e,+ 上遞減，再利用單調性求解 x 6t 3 0,解得，ti3 J6,t23 J6;當t 0時，即3t 4 0,解得t3 log34；結合圖像知，f(x) 3 、. 6時有一個根，f(x) 3 J6時有三個根，f (x) 10g3 4時有三個根，所以f f x 0有7個根，即y f f x的零點個數為7.故選：D【點睛】本題主要考查函數的零點問題、解函數值以及一元二次函數和指數函數的圖像，考查學生 數形結合的思想，屬于中檔題.13.已知a1n31n4b 4In e c ”(e是自然對數的底數)，則 a,

15、b,c的大小關系是 eA. c a b【答案】C【解析】 【分析】B. a c bC. b a cD. c b aln xx【詳解】ln x口 ln 3-ln 4 ln er根據a T, b T, c豆的結構特點，令f x1 In x2，x當 0 x e時，f x 0,當 x e時，f x 0,所以f x在0,e上遞增，在 e,+上遞減.因為e 3 4,所以 f e f 3 f 4 ,即 b a c.故選：C【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性比較大小，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題314. f(x)是定義在R上的奇函數，對任意 x R總有f(x -)2為()D.3A. 0B. 3C.一

16、2【答案】A【解析】【分析】 .9 .一一首先確定函數的周期，然后結合函數的周期性和函數的奇偶性求解f 9的值即可.2【詳解】工.3.函數fx是定義在R上的奇函數，對任意 x R總有fx -fx ,則函數的周2期T 3,f 00.據此可知：f 92本題選擇A選項.本題主要考查函數的周期性，函數的奇偶性，奇函數的性質等知識，意在考查學生的轉化 能力和計算求解能力.15.函數f x 2x3的圖象在點1,f 1處的切線方程為() xA. y 6x 4 b. y 7x 5 C. y 6x 3D, y 7x 4【答案】B【解析】【分析】首先求得切線的斜率，然后求解切線方程即可.【詳解】由函數的解析式可得

17、：f'x 11nx 6x2, x11nle則所求切線的斜率k f ' 1 -n1 6 12 7 ,12且：f 10 2 12,即切點坐標為1,2 ,1由點斜式方程可得切線方程為：y 2 7x1,即y 7x5.本題選擇B選項.【點睛】導數運算及切線的理解應注意的問題一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.三是復合函數求導的關鍵是分清函數的結構形式.由外向內逐層求導，其導數為兩層導數之積.fW16

18、.已知函數吟二,"2辦+ 口在區間（-8,1）上有最小值，則函數,x在區間（1, + 8）上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是減函數D.是增函數【答案】D【解析】【分析】由二次函數y 二/0）在區間（-00,1）上有最小值得知其對稱軸 mW/）再由基本初/ ,、一司等函數的單調性或單調性的性質可得出函數砒可一工在區間（L +8）上的單調性.【詳解】由于二次函數y =在區間（-84）上有最小值，可知其對稱軸x=aE（-8,l）,/（5）X2 - 2ax + a ug = x 4- 2a/ XXX.a當【1<°時，由于函數71 二菱-2"和函數上一*在（L

19、+8）上都為增函數，此時，函數（"）nH + l - NdMU+s）上為增函數；當1 = 0時，g（x）=工-2口在（L + 8）上為增函數；a當0。1時，由雙勾函數的單調性知，函數 （幻二”十 一.在（4 + 8）上單調遞 增，a：（L+8）品（W，+ 8）,所以，函數"（“）=”十品一水在（L + 8）上為增函數.，綜上所述：函數 或“）二x在區間（L + 8）上為增函數，故選D.【點睛】aV = X + 本題考查二次函數的最值，同時也考查了扉型函數單調性的分析，解題時要注意對H的符號進行分類討論，考查分類討論數學思想，屬于中等題 217.設函數f x在R上存在導數f

20、x , x R有f x f x 2x ,在0,上fx 2x,若f 4 m fm 16 8m,則實數m的取值范圍是（）A. 2,B. 0,C.2,2D.,22,【答案】A【解析】【分析】22通過 x R有f x f x 2x ,構造新函數g x f x x ,可得g x為奇函數；利用f x 2x ,求g x的導函數得出g x的單調性，再將不等式f 4 m f m 16 8m轉化，可求實數 m的取值范圍.【詳解】2設 g x f x x ,22g xgx f x x f x x0,，函數g x為奇函數，.在 x0,上，fx 2x,即 f x2x0,.g x f x 2x 0, 函數g x在x 0,

21、上是減函數，函數g x在x ,0上也是減函數，且 g 00,，函數g x在x R上是減函數，. f 4 m f m 16 8m, 22. g 4 m 4 m gm m 16 8m,g 4 m g m , 4 m m ,即m 2.故選：A.【點睛】本題考查函數的奇偶性、單調性的應用，考查運算求解能力、轉化與化歸的數學思想，是 中檔題.18.已知函數 f (x) =2x1, g Xacosx 2,x 0?2(a e R),若又任意 xi e 1, 十x2 2a,x 0a的取值范圍是()°°),總存在x2C R,使f (x1)= g (x2),則實數1A ，22B 3,137C , U 1,2 D.1- U -,2224【答案】C【解析】【分析】對a分a=0,av0和a>0討論，a>0時分兩種情況討論，比較兩個函數的值域的關系，即 得實數a的取值范圍【詳解】 當a=0時，函數f (x) = 2x 1的值域為1,+ ® ,函數