1、第五章 函數逼近與計算§1 引言與預備知識用插值的方法對這一函數進行近似,要求所得到的插值多項式經過已知的這n1個插值節點;在n比較大的情況下,插值多項式往往是高次多項式,這也就容易出現振蕩現象（龍格現象），即雖然在插值節點上沒有誤差,但在插值節點之外插值誤差變得很大,從“整體”上看,插值逼近效果將變得“很差”。于是,我們采用函數逼近的方法。所謂函數逼近是求一個簡單的函數,例如是一個低次多項式,不要求通過已知的這n1個點,而是要求在整體上“盡量好”的逼近原函數。這時,在每個已知點上就會有誤差,函數逼近就是從整體上使誤差,盡量的小一些?！皩瘮殿愔薪o定的函數，要求在另一類較簡單的便于計

2、算的函數類中，求函數，使與之差在某種度量意義下最小。”函數類通常是區間上的連續函數，記作；函數類通常是代數多項式，分式有理函數或三角多項式。區間上的所有實連續函數組成一個空間，記作。的范數定義為，稱其為范數，它滿足范數的三個性質： I），當且僅當時才有； II）對任意成立，為任意實數； III）對任意，有 III式稱為三角不等式。度量標準最常用的有兩種，一種是 在這種度量意義下的函數逼近稱為一致逼近或均勻逼近；另一種度量標準是 . 用這種度量的函數逼近稱為均方逼近或平方逼近。這里符號及是范數。本章主要研究在這兩種度量標準下用代數多項式逼近。用一致逼近，首先要解決存在性問題，即對上的連續函數，是

3、否存在多項式一致收斂于？維爾斯特拉斯（Weierstrass）給出了下面定理：定理1 設，則對任何，總存在一個代數多項式，使在上一致成立。證明：略。（伯恩斯坦構造性證明）假定函數的定義區間是0,1,可通過線性代換：把映射到。對給定的，構造伯恩斯坦多項式,此為n次多項式: ； 其中 ，且 這不但證明了定理1，而且給出了的一個逼近多項式。多項式有良好的逼近性質，但它收斂太慢，比三次樣條逼近效果差得多，實際中很少被使用。 §2 最佳一致逼近多項式2-1 最佳一致逼近多項式的存在性切比雪夫從另一觀點研究一致逼近問題，他不讓多項式次數趨于無窮，而是固定，記次數小于等于的多項式集合為，顯然。記,

4、 是上一組線性無關的函數組，是中的一組基。中的元素可表示為，其中為任意實數。要在中求逼近，使其誤差這就是通常所謂最佳一致逼近或切比雪夫逼近問題。為了說明這一概念，先給出以下定義。定義1 ，稱 為與在上的偏差。顯然的全體組成一個集合，記為，它有下界0。若記集合的下確界為 則稱之為在上最小偏差。 定義2 假定，若存在， 則稱是在上的最佳一致逼近多項式或最小偏差逼近多項式，簡稱最佳逼近多項式。注意，定義并未說明最佳逼近多項式是否存在，但可證明下面的存在定理。定理2 若，則總存在，使 .證明略。2-2 切比雪夫定理為研究最佳逼近多項式的特性，先引進偏差點定義。定義3 設，若在上有，則稱是的偏差點。若，

5、稱為“正”偏差點。若，稱為“負”偏差點。由于函數在上連續，因此，至少存在一個點，使，也就是說的偏差點總是存在的。下面討論最佳逼近多項式的偏差點性質。定理3 若是的最佳逼近多項式，則同時存在正負偏差點。證明: 因是的最佳逼近多項式，故。由于在上總有偏差點存在，用反證法，無妨假定只有正偏差點，沒有負偏差點，于是對一切都有因在上連續，故有最小值大于，用表示，其中。于是對一切都有，故 ，即 .它表示多項式與的偏差小于，與是最小偏差的定義矛盾。同樣可證明只有負偏差點沒有正偏差點也是不成立的。 定理得證。定理的證明從幾何上看是十分明顯的。下面給出反映最佳逼近多項式特征的切比雪夫定理。定理4 是的最佳逼近多

6、項式的充分必要條件是在上至少有個輪流為“正”、“負”的偏差點，即有個點 ，使 ， 這樣的點組稱為切比雪夫交錯點組。證明 只證充分性。假定在上有個點使上式成立。要證明是在上的最佳逼近多項式。用反證法，若存在，使 .即 由于 在點上的符號與 一致，故也在個點上輪流取“”、“”號。由連續函數性質，它在內有個零點。但因是不超過次的多項式，它的零點不超過。這矛盾說明假設不對，故就是所求最佳逼近多項式。 充分性得證。必要性證明較繁，但證明思想類似定理3，此處略。定理4說明用逼近的誤差曲線是均勻分布的。由這定理可得以下重要推論。推論1 若，則在中存在唯一的最佳逼近多項式。推論2 若，則其最佳逼近多項式就是的一個拉格朗日插值多項式。證明 由定理4可知，在上要么恒為0，要么有個輪流取“正”、“負”的偏差點，于是存在個點 ，使。以為插值節點的拉格朗日插值多項式就是。 2-3 最佳一次逼近多項式定理4給出了最佳逼近多項式的特性，但要求出卻相當困難。下面先討論的情形。假定，且在內不變號，我們要求最佳一次逼近多項式。根據定理4可知至少有3個點，使 .由于在上不變號，故單調，在內只有一個零點，記為，于是，即 。另外兩個偏差點必在區間端點，即，且滿足.由此得到 解出