1、拋物線測試題一、選擇題（本大題共10 小題，每小題 5 分，共 50 分）1拋物線 y2x 2 的焦點坐標是（）A (1,0)B(1,0)C (0, 1)D (0,1)4842已知拋物線的頂點在原點，焦點在y 軸上，其上的點P (m,3) 到焦點的距離為5，則拋物線方程為（）A x28 yB x24yC x24 yD x28y3拋物線 y212x截直線 y2x1所得弦長等于（）A 15B2 15C 15D 1524頂點在原點，坐標軸為對稱軸的拋物線過點( 2,3) ，則它的方程是（）A. x29 y 或 y24 x B.y 29 x 或 x 24 yC.x24 y D.y 29 x232332

2、5點 P(1,0)到曲線xt 2（其中參數 tR ）上的點的最短距離為（）y2tA 0B 1C 2D 26 拋 物 線 y22 px( p 0) 上 有 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), C (x3 , y3 )三點， F 是它的焦點，若AF , BF , CF 成等差數列，則（）A x1 , x 2 , x3 成等差數列B x1, x3 , x 2 成等差數列C y1, y2 , y3 成等差數列D y1 , y3 , y 2 成等差數列7若點 A 的坐標為（3， 2）， F 為拋物線 y22x 的焦點，點P 是拋物線上的一動點，則PA PB 取得最小值時點P 的坐標是（）A

3、（ 0， 0）B（ 1， 1）C（ 2， 2）D (1,1)y22 px( p0)28已知拋物線的焦點弦 AB 的兩端點為 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,則關系式y1 y2的值一定等于（）x1x2A 4B 4C p2D p9過拋物線 yax 2 (a0)的焦點 F 作一直線交拋物線于P，Q兩點，若線段 PF 與 FQ的長分別是 p,q ，則 11=（）pqA 2aB 1C 4aD 42 aa10若 AB為拋物線 y2=2px (p>0)的動弦，且 |AB|= a ( a>2p) ，則 AB 的中點 M到 y 軸的最近距離是（）A aB pC a pD a p

4、2222二、填空題（本大題共5 小題，每小題5 分，共25 分）11、拋物線 y2x 上到其準線和頂點距離相等的點的坐標為_12、直線 xy10 截拋物線 y28x ，所截得的弦中點的坐標是13、拋物線 y22 px( p0) 上，橫坐標為 4 的點到焦點的距離為5，則此拋物線焦點與準線的距離為14、設 F 為拋物線 y24x 的焦點， A， B， C 為該拋物線上三點，若FA FBFC 0，FAFBFC則15、對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件；（ 1）焦點在 y 軸上；（ 2）焦點在 x 軸上；（ 3）拋物線上橫坐標為1 的點到焦點的距離等于6；（ 4）拋物線的通徑的長為5；（ 5）由原

5、點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2， 1）其中適合拋物線y2=10x 的條件是 ( 要求填寫合適條件的序號）_三、解答題16（ 12 分）已知點 A（2， 8），B（ x1， y1），C（ x2， y2）在拋物線 y 22 px 上， ABC的重心與此拋物線的焦點F 重合（如圖）（ 1）寫出該拋物線的方程和焦點F 的坐標；（ 2）求線段 BC中點 M的坐標；（ 3）求 BC所在直線的方程 .17（ 12 分）已知拋物線y ax21上恒有關于直線 xy 0 對稱的相異兩點，求a 的取值范圍 .18（ 12 分）拋物線 x2=4y 的焦點為 F，過點 (0 ， 1) 作直線 L 交拋物線

6、A、B 兩點，再以 AF、 BF 為鄰邊作平行四邊形 FARB，試求動點 R 的軌跡方程 .19、（ 12 分）已知拋物線C 的方程 C ： y22 px( p0) 過點 A（ 1，-2 ）.（ I ）求拋物線 C 的方程，并求其準線方程；（ II ）是否存在平行于OA （ O 為坐標原點）的直線l ，使得直線 l 與拋物線 C 有公共點，5且直線 OA 與 l 的距離等于 5 ？若存在，求出直線l 的方程；若不存在，說明理由 .20（ 13 分）已知拋物線y2=4 ax(0 a 1的焦點為F，以 A( a+4,0)為圓心， AF 為半徑在 x 軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點M 和 N，設

7、P 為線段 MN 的中點（ 1）求 MF + NF的值；（ 2）是否存在這樣的a 值，使 MF、 PF、 NF成等差數列 ?如存在，求出a 的值，若不存在，說明理由.21（ 14 分）如圖 ,直線 y= 1 x 與拋物線y= 1 x2 4 交于 A、B 兩點 ,線段 AB 的垂直平分線28與直線 y= 5 交于 Q點 .（ 1）求點 Q的坐標；（ 2）當 P 為拋物線上位于線段 AB下方（含 A、 B）的動點時 ,求OPQ面積的最大值 .參考答案一、選擇題（本大題共10 小題，每小題5 分，共 50 分）題號12345678910答案CDABBACBCD二、填空題（本大題共4 小題，每小題6

8、分，共24 分）11 (1,2 )121315 （ 2），（5）84三、解答題（本大題共6 題，共 76 分）15（ 12 分） 解析 ：（ 1）由點 A（ 2， 8）在拋物線 y 22px 上，有 822 p 2 ，解得 p=16.所以拋物線方程為 y232x，焦點 F 的坐標為（ 8， 0） .（ 2）如圖，由于F（ 8， 0）是 ABC的重心， M是 BC的中點，所以F 是線段 AM的定比分點，且AF2 ，設點 M的坐標為 (x0 , y0 ) ，則FM22x 08,82 y00 ，解得 x0 11, y04 ，1212所以點 M的坐標為（ 11， 4）（ 3）由于線段 BC的中點 M不

9、在 x 軸上，所以 BC所在的直線不垂直于 x 軸. 設 BC所在直線的方程為：y4k (x11)(k 0).由 y4k (x 11), 消 x 得ky232y32(11 4)0 ，y232xk所以 y1y232 ，由（ 2）的結論得 y1y24 ，解得 k4.k2因此 BC所在直線的方程為：4xy400.16（ 12 分） 解析 ：設在拋物線 y=ax2 1 上關于直線 x+y=0 對稱的相異兩點為P( x,y),Q( y, x) ，則yax 21xay 21 ，由得 x+y=a( x+y)( xy), P、Q為相異兩點， x+y0，又 a0，1122+1=0，其判別式=22 )0，xy,即

10、 yx，代入得 a xa 4a(1aaaxaa解得 a3 4FARB的中心為 C( x , y1) ，L:y=k x17（ 12 分） 解析 ：設 R(x,y),F(0,1),平行四邊形 1, 代入拋物線方程得x 4kx+4=0,設 A( x ,y),B( x ,y22x =4 ，且1), 則 x +x =4k, x21221212=16k 2 16 0，即 |k| 1，y1y 2x1 2x2 2( x1x2 ) 22x1x 24k22 ，C為 AB的中點 .44xx2x22k22y 1y2y22k 2122x4k，消去k得 x2=4(y+3),由得， x 4，故動點R 的軌跡方程為y4k 2

11、3x2=4(y+3)(x4 ) 1819（ 14 分） 解析 ：（ 1）F（ a,0 ）, 設 M(x,y ),N ( x,y), P ( x, y) ，由 y 24ax112200(xa4)2y216x 22(a 4)x(a 28a)0，0,x1x22(4a) ， MFNF(x1a)( x2a) 8（ 2）假設存在 a 值，使的 MF,PF,NF成等差數列，即 2 PFMFNFPF4x 04a( x0 a) 2216( 42a)2216y0216a4a2y0y0y0 2( y1y2 ) 2y1 2y2 22 y1 y2244ax1 4ax224ax14ax2a( x1x2 )2ax1 x2 = 2a( 4a)2aa28a42a(4a)2aa 28a16a4a2a10x1x200a1矛盾 .x1x20y020假設不成立即不存在a 值，使的 MF,PF,NF成等差數列或解 :PF 4x04 ax0a4 知點 P在拋物線上 .矛盾 .y1xx14x 2820（ 14 分）【解】 (1)2解方程組1得或yx24y12y248即 A( 4, 2),B(8,4),從而 AB的中點為 M(2,1). 由 kAB= 1 , 直線 AB的垂直平分線方程y 1= 1 ( x2).2令 y= 5,得 x=5,Q(5, 5) 21 x24). 點 P 到直線 OQ的距