1、第47卷第13期2011年7月機械工程學報JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERINGJul. 2011主動磁懸浮軸承系統拍振現象分析*高輝徐龍祥(南京航空航天大學機電學院南京 210016摘要:振動分析是研究主動磁懸浮軸承(Active magnetic bearings, AMB系統的一個重要部分,但是目前結合控制器以及動態不平衡響應建立的系統數學模型相對較少。通過對高速主動磁懸浮軸承轉子系統受力分析,參考所使用的不完全微分PID控制器的頻率特性對AMB廣義動剛度的影響以及對轉子動態不平衡激勵響應的影響,建立徑向子系統的力學振動方程。通過此振動方程的解,得出AMB系統

2、存在的振動形式。一種是由于系統固有頻率存在而產生的自由振動,另一種是由于不平衡響應存在而產生的簡諧振動,并解釋當兩種振動頻率相近時系統所產生的拍振現象。通過調節控制電流主動控制作用,可以改變磁懸浮軸承廣義動剛度,進而改變系統固有頻率,最終起到減弱拍振現象作用。仿真和試驗能夠驗證拍振現象以及改變主動控制作用后的減振效果。此力學模型可為AMB系統不平衡振動補償算法研究提供仿真平臺。關鍵詞:主動磁懸浮軸承電磁力線性化動態不平衡響應轉子動力學廣義動剛度拍振中圖分類號:TH133 TH113Analysis of Beat Vibration for Active Magnetic Bearing Sy

3、stemGAO Hui XU Longxiang(College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronauticsand Astronautics, Nanjing 210016Abstract:Vibration analysis plays an important role in the research of active magnetic bearing(AMB system. However, the established system mathematical models w

4、hich combine the controller with the dynamic response are relatively few. The vibration equations of radial AMB subsystems are built on the basis of the stress analysis of high speed rotor system, referring the influences of the frequency characteristics of adopted incomplete differential PID contro

5、ller on the generalized magnetic bearing dynamic stiffness and rotor dynamic unbalance response. The vibration modes existing in AMB system can be obtained by solving the vibration equations. One is free vibration because of the inherent frequency, and the other is harmonic vibration due to unbalanc

6、ed excitation response. And the produced beat vibration phenomenon is explained when the two kinds of vibration frequency are similar. Through adjusting the control current, the generalized dynamic stiffness of magnetic bearings and as well as the inherent frequency of the system can be changed, thu

7、s resulting in the weakening of beat vibration. Simulation and experimental results can verify the "beat vibration" phenomenon and the damping effect after changing the active control. The mechanical model can provide the simulation platform for the research of vibration compensation algor

8、ithm of AMB system.Key words:Active magnetic bearing Linear electromagnetic force Dynamic unbalance response Rotor dynamics Generalized dynamic stiffness Beat vibration0 前言主動磁懸浮軸承(Active magnetic bearings, AMB系統由于具有無機械接觸、無摩擦磨損、無航空科學基金(2008ZB52018、國家自然科學基金(51075200和國家高技術研究發展計劃(863計劃,2006AA05Z205資助項目。

9、20100820收到初稿,20101220收到修改稿須潤滑以及主動控制等優點而被廣泛應用于現代工業以及航空領域1。但是由于轉子系統存在質量不平衡,當其高速旋轉時,會產生不平衡振動2-3。因此,研究振動產生機理對實施振動補償有重要作用,但國內外許多文獻都是采用相應補償算法通過增強或者減弱系統的主動控制作用來實現不平衡補償4-6,而沒有對振動來源做相應闡述,沒有對轉子系統的動態特性做相應分析。文獻1,7-9依據轉子2011年7月 高 輝等:主動磁懸浮軸承系統拍振現象分析105動力學完成了對相應磁懸浮軸承轉子系統的數學建模工作,并簡要分析了轉子動態特性性能,但沒有依據此數學模型深入討論不平衡振動機理

10、以及沒有給出轉子的運動軌跡;文獻10對磁懸浮軸承轉子系統動態特性進行了試驗研究,分析了轉子系統穩定性和臨界轉速問題,同樣沒有涉及不平衡振動問題。文獻11實現了對一端為接觸式軸承一端為主動磁懸浮軸承的轉子系統的數學建模,并依據此運動微分方程分析了不平衡振動產生的原因及相應解決方法。本文對一種5自由度主動磁懸浮軸承轉子系統進行受力分析,依據質心運動定理建立了轉子系統在5自由度上的運動微分方程。考慮到AMB 的4個徑向子系統與軸向子系統相互耦合性較小,對4個徑向子系統進行了數學建模,求出此模型的理論解,并依據仿真和試驗結果驗證了解的正確性以及模型的有效性。考慮到數學模型與實際AMB 系統的一致性要求

11、,通過分析帶有超前環節的不完全微分PID 控制系統的頻率特性函數,總結出此控制器在轉子系統徑向電磁力線性化和軸承動剛度中的作用,并將此控制器添加到轉子系統模型建立過程中。通過分析轉子幾何中心、質心、旋轉中心坐標關系,引出動態不平衡激勵力,并依據質心與形心的坐標關系把質點運動微分方程轉化為轉子在磁軸承徑向位置處位移進而推出關于徑向位移的力學振動模型。通過此振動方程的解,分析了拍振現象產生的可能性,并分析了通過改變系統控制電流主動控制作用實現減弱此拍振影響的可行性。仿真和試驗中的轉子軌跡能夠驗證所建力學模型中存在拍振現象,進而驗證了所建模型的有效性。此力學模型為驗證AMB 轉子系統不平衡振動補償算

12、法的有效性和可行性提供了仿真依據。1 電磁力線性化分析現僅以徑向一路為研究對象,如圖1所示,可知系統為差動式控制電流主動懸浮控制。 圖1 單路差動電流懸浮轉子框圖圖1中,11x F ,12x F 為單個磁極電磁力,為轉動角速度,1x 為徑向跳動位移,1cx i 為單自由度控制電流,g 為重力加速度,9.80g = m ·s 2,其他參數含義及數值由表1給出。表1 AMB 系統主要參數參數數值 空氣磁導率µ0/ (V ·s ·(A ·m1 4×107 磁極面積A / m 2 2.79×104 繞組匝數N /匝130 轉子平衡位

13、置間隙x 0/µm250 x 、y 軸上重力加速度分量g x /(m ·s 2, g y /(m ·s 2偏置電流I 0/ A 2 轉子質量m / kg 2.8 靜態反饋電流I m / A當轉子轉動時,電磁合力為11112x x x x F F F mg =2111101130m xx ix cx cx Ik x k i AN x i x µ+ (1 式中,1xx k 為磁懸浮軸承位移剛度,22100(xx k AN I µ=+ 230/m I x ;1ix k 為磁懸浮軸承電流剛度,1ix k = 22000/AN I x µ230

14、011(/m cx AN I x x i µ+為高階無窮小量7。因此,式(1可改寫為11111x xx ix cx 'F k x k i + (2式中,1x F'為在x 方向上的線性動態合外力。可以看出此合外力分別與位移以及控制電流成線性關系。式(1、(2中相關參數由表1給出。為了驗證式(2代替式(1的可行性,通過分析AMB 系統控制框圖并結合PID 控制器找出控制電流與位移之間函數關系。圖2為AMB 系統控制流程框圖。圖2中,G S 為線性位移傳感器的增益,G S =20 000 V/m ,G A 為線性功放的傳遞函數值,G A =0.4 A/V ,v s 為位移電

15、壓信號,傳感器輸出的包含平衡位置信息,v r 為PID 控制器輸入,其與轉子位移1x 呈線性關系,G PID 為控制器傳遞函數,轉子處于平衡位置時設定的電壓值為2.5 V 。圖2 AMB 系統控制框圖控制電流與位移應滿足關系機 械 工 程 學 報 第47卷第13期1061r PID A s PID A 01PID A 1PID(2.52.5(8000cx S i v G G v G G x x G G G x G =+=×(3由式(3可以看出控制電流與位移以及控制器的結構有關,采用帶有超前環節的不完全微分PID算法作為系統的控制器,有傳遞函數d PID p 11(111l i f l

16、 T s T s G s K T s T s T s +=+(4 式中 K p 比例增益 i T 積分常數 d T 微分常數d 1f T s T s + 不完全微分環節11l l T sT s+ 附加超前環節為方便分析,給出此控制系統的頻率特性函數PID PID j (j (j (s G G s P Q =+ (5 式中 (P 實頻特性p 22(ac bdP K c d +=+ (Q 虛頻特性 p 222d 3d 23(1(i l l f i f i i l f i l f i l i l i f i i l f bc adQ K c d a TT T T TT TT b T T T TT T

17、 TT T c T T TT d T TT T =+=+=+=+= 頻率特性函數的另一種描述形式為 (PID PID (j (j exp j G G = (6 式中 PID (j G 幅頻特性 1/222PID p 22(j a b G K c d +=+ 相頻特性arctan bc ad ac bd =+把式(5或式(6代入式(3,有11PID 8000(j cx i x G =× (7參考現有實際模型,結合表1給出式(1、(2中相關參數值:10.05sin x t =,為一依據實際轉子轉動情況而假定的一個位移,為轉子轉動角速度,有2r f =3 140 rad/s ,因為轉子系統

18、正常旋轉頻率為r f =500 Hz 。參考式(5給出PID 控制器相關參數為K p = 0.585,0.545i T =,T d = 0.619,T f =0.753 9,T l = 0.014 25, = 0.124 9,為了增加仿真與試驗的吻合度,此組參數是依據實際試驗時的參數而定。現結合式(5等及以上相應參數對式(1、(2中的動態合力與位移和控制電流關系曲線進行仿真研究,如圖3所示。可以看出當位移較小時動態力的兩種形式相差不大,為了方便對系統動態模型進行分析,在轉子正常旋轉時可對動態合力進行線性化處理。圖3 動態合力與位移、控制電流關系曲線 1. 式(1中動態合外力 2. 式(2中線性

19、動態合外力因為AMB 系統的4個徑向磁軸承為完全對稱結構,而且轉子也是完全軸對稱的,因此可把4個徑向方向上的電磁動態合力總結為1212PID ,8000(j n xn in cncnF k n k i n x x y y i nG =+=× (8 式中 n F 4個徑向方向上電磁合力總稱cn i 4個徑向方向上控制電流總稱1x ,2x ,1y ,2y 4個徑向方向上的位移 由于徑向磁懸浮軸承的完全對稱性,各個徑向自由度上的位移剛度和電流剛度是相等的。由表1參數可計算出相應剛度612122xn in k n x x y y k =×=× (92011年7月 高 輝等

20、:主動磁懸浮軸承系統拍振現象分析107式中,位移剛度單位為N/m ,電流剛度單位為N/A 。2 振動模型分析2.1 模型建立圖4為剛性轉子系統受力分析簡圖。當靜態懸浮時質心O g 與形心O c 近似重合;1、2為徑向軸承支撐位置;x 軸、y 軸分別與豎直方向成45o 夾角,等。圖4中,1l 為形心到左端徑向軸承處距離,l 1 = 0.120 2 m ,2l 為形心到右端徑向軸承處距離,l 2 = 0.133 8 m ,l 為左、右端徑向軸承處距離,l = 0.254 m ,為繞x 軸的旋轉角位移,為繞y 軸的旋轉角位移,1z F ,2z F 為z 方向各磁懸浮軸承電磁力, 11x F ,12x

21、 F ,21x F ,22x F 為x 方向各磁懸浮軸承電磁力,11y F ,12y F ,21y F ,22y F 為y 方向各磁懸浮軸承電磁力。 圖4 AMB 剛性轉子系統受力分析根據圖4分析以及質點運動定理可寫出此轉子系統的運動微分方程12-13,為g 11122122g 11122122g 12r a 1112121222r a 1112121222a e(x x x x x x x y y y y y y yz z z xy y y y y x x x x zF mxF F F F mg f F my F F F F mg f F mz F F M I I F F l F F l M

22、 I I F F l F F l M I T =+=+=+=+=(10式中 I r 徑向慣性矩,I r = 0.021 4 kg ·m 2I a 軸向慣性矩,I a = 7.646×104 kg ·m 2T e 電動機輸出轉矩,目的是驅動轉子繞z 軸轉動x f , f y不平衡慣性力在x 軸、y 軸上分量2121cos(sin(x y f me t f me t =+=+由于磁軸承的剛度相對較小,當轉子高速轉動時會繞幾何中心與慣性中心之間的一條軸線旋轉,為了弄清楚質心、形心與旋轉中心坐標關系,現給出轉子質心截面示意圖,如圖5所示。圖5 轉子存在不平衡時質心截面示意

23、圖圖5中,O c 為形心,c c c (,O x y ,O g 為質心,O g (x g , y g ,O r 為旋轉中心,為偏心距與自轉坐標系相位夾角,Oxy 為磁懸浮軸承系統坐標系,(0,0O ,r O 為轉子系統自轉坐標系,c g O O 為偏心距,c g p O O e =,r g O O 為旋轉軸到質心的距離,r g 1O O e =。在分析轉子運動軌跡時最關心的是轉子形心的運動,而不是質心運動,因此應寫出質心與形心的坐標轉換關系11,為g c p cos(x x e t =+ (11g c p sin(y y e t =+ (12由于推力軸承的力矢量可假定作用在過質心的直線上并且推

24、力軸承軸向剛度相對較大,以及轉子軸向不存在不平衡響應,在轉子轉動時軸向位移m m l l k k x l l m m x k k x l l I I l k y I I l l y l l y I I I I l l y l l +=機 械 工 程 學 報 第47卷第13期108 110010000010000000000000000cx ix ix x cx iy iy y cy iy iy cy ix ix i k k f 'i k k f 'i l k l k i l k l k + (13式中 c 2112(/x l x l x l =+c 21122121(/(/(/

25、y l y l y l y y lx x l=+=x f ', y f '磁懸浮軸承響應的不平衡電磁力或外擾力激勵源在x 軸、y 軸上的分量2p 12p 1(cos(sin(x y f 'm e e t f 'm e e t =+=+2.2 振動分析為了分析方便,式(13可以表示為c '+=+ mx cx kx Bi Ef (14 式中 m 質量矩陣 c 阻尼矩陣 k 位移剛度矩陣B 電流剛度矩陣E 動態不平衡激勵響應系數矩陣 x 徑向位移矢量 T 1212(,x x y y =x c i 控制電流矢量T 1212(,c cx cx cy cy i i

26、i i =i'f 動態不平衡激勵 T (,0,0x y 'f 'f '=f把式(8中的cn i 代入式(14,化簡后有8000(j8000(P Q '+×+×=mxcx k B B x Ef (15令 8000(j8000('P Q =+×+×k k B B (16 則有''+=mxcx k x Ef (17 式中,'k 為磁懸浮系統廣義動剛度14。因為電磁力線性化后位移剛度矩陣k 和電流剛度矩陣B 為定值,所以由式(5、(6知此廣義動剛度主要受轉子旋轉頻率影響。可以發現式(17滿足

27、阻尼系統在簡諧力作用下受迫振動方程形式15。式(17可改為2 12n n '+=x x x EM f (18 式中 相對阻尼系數矩陣,12n=cm n 系統固有頻率矩陣,21n'=k m 解式(18振動方程,有*(exp(nx t u t u t t =+=×12(cos sin sin(d d d d a t a t t +T B T (19式中 (ut 對應的自由振動 12exp(cos sin n d d ut t a t a t =+T *(u t 不平衡激振干擾 (sin(d u t t =+B T T 單位矢量矩陣T (1,1,1,1=Td B 受迫激振幅

28、值矩陣22(d m e e =Bd 偏心距在4個徑向自由度方向上與自轉坐標系的相位夾角矩陣222arctan n d n=1212000000000000x x y y d 系統的阻尼振動頻率或自然頻率d =1a , 2a 相關系數,由初始條件決定式(19即為力學振動方程式(18的理論解,也是4個徑向軸承處轉子的徑向位移。通過式(13、(19可求解矩陣、n ,有 n1n ,2n 對應兩個振型的固有頻率實際工程中僅考慮第一階振型,即僅考慮1n 對系統激勵影響。同理可得出第一階振型自然頻率1d n = (21 為了分析式(19振動位移中自由振動和簡諧受迫振動之間的相互影響,現參考式(8、(9、(1

29、3、(14、(16、(20、(21,給出在不同的轉子旋轉頻率時的振動方程中的各參數關系,其中PID 參數與月 2011 年 7 月 高 輝等：主動磁懸浮軸承系統拍振現象分析 109 圖 3 中給定的參數一致。表 2 給出了不同轉動頻率 時的各參數關系，參考系統實際旋轉速度，fr 選取 范圍為 0800 Hz，因為轉子旋轉頻率通常以轉動 頻率 fr ( 單位為 Hz 表示。另外 f n1 = n1 / 2 以及 f d 1 = d 1 / 2 表示系統一階固有頻率和對應自然 頻率。 表2 轉子頻率 fr /Hz 1×1011 50 100 200 300 400 500 600 700

30、 800 振動方程中各參數關系 控制器增益 GPID 義動剛度，同時改變對應一階固有頻率，使 500 Hz 轉頻時的系統固有頻率遠離轉子轉頻值。現結合另 Kp = 1.025， Ti = 0.545， 一組實際試驗時的 PID 參數： Td = 0.569,，Tf = 0.753 9，Tl = 0.014 25， = 0.124 9， 以及表 2 需要的方程式，給出式(19中不同轉頻對 應的系統廣義動剛度、系統固有頻率以及 PID 控制 器增益之間關系，見表 3。 表3 改變 PID 參數后不同轉頻時對應的 k'、 GPID 、fn1 廣義動剛度 k'/(MN·m 3

31、.03 8.81 14.88 20.17 21.80 22.45 22.75 22.94 23.06 23.12 1 廣義動剛度 k'/(MN·m1 2.46 6.02 9.65 12.68 13.58 13.93 14.11 14.20 14.27 14.32 一階固 有頻率 fn1 /Hz 210.0 329.2 416.7 477.7 494.3 500.6 503.8 505.5 506.8 507.6 一階阻 尼系數 1/103 4.0 2.5 2.0 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.6 1.6 一階自 然頻率 fd1 /Hz 210.0 329.2 4

32、16.7 477.7 494.3 500.6 503.8 505.5 506.8 507.6 轉子頻率 fr /Hz 1×10 50 100 200 300 400 500 600 700 800 11 控制器增益 GPID 一階固有頻率 fn1 /Hz 233.6 398.2 517.5 602.5 626.3 635.6 639.9 642.4 644.1 645.0 0.62 2.97 5.36 7.36 7.95 8.18 8.30 8.36 8.41 8.44 1.00 4.81 8.81 12.30 13.17 13.80 14.00 14.12 14.20 14.24

33、由表 2 可知， PID 控制器的增益 GPID 隨轉動頻 率增加而增加；在整個轉動頻率范圍內，相對阻尼 系數都很小，且隨轉動頻率增加有減小趨勢；由于 阻尼系數小，使得一階固有振動頻率基本等于自然 頻率(保留小數后完全相等；當轉動頻率為 500 Hz 時，系統固有頻率為 503.8 Hz，由于轉動頻率與系 統固有頻率相差較小， 因此容易在 500 Hz 附近產生 拍振現象。 2.3 拍振減弱措施 拍振現象會給系統帶來一些不利影響，比如， 引起振動強度增大、降低控制穩定性以及產生低頻 干擾從而不利于對轉子位移信號利用等15-17。由表 2 可知在 500 Hz 產生拍振主要原因是在此轉動頻率 時

34、系統廣義動剛度 k'恰好使轉子系統一階固有頻率 fn1 與轉動頻率接近，因此，可從改變系統廣義動剛 度角度來分析減弱拍振一些措施。 首先，由式(8、(14、(16、(19可推知，當減 小控制電流幅值時，廣義動剛度 k'將主要受位移剛 度矩陣 k 的影響。如果采用一些濾波算法將控制器 輸入端位移濾除，由圖 2 和式(3知功率放大器輸出 控制電流基本為零，此時 k'與 k 矩陣中對應數值基 本都相等，一階固有頻率僅為 165.2 Hz。當轉子正 常旋轉時(一般為 500 Hz，拍振現象將減弱。同理 可以通過增加控制電流或者偏置電流使系統的電流 剛度矩陣 B 增加，進而增大廣

35、義動剛度 k'。 其次，可以通過改變 PID 控制器參數來改變其 在不同轉頻時的輸出增益，進而改變對應轉頻的廣 由表 3 可知， 系統會在轉頻為 643 Hz 附近產生 由于對應系統 拍振； 而在正常工作轉頻 500 Hz 時， 固有頻率為 639.9 Hz，拍振影響將大大降低。在此 次分析中，僅僅改變了 PID 控制器比例系數和微分 系數，因此可以證明通過改變控制器參數也能夠減 弱 AMB 系統在工作頻率時拍振影響。 2.4 動態不平衡分析 由式(19知偏心距 ep 是旋轉機械不平衡振動產 生大小的一個重要依據。根據文獻18中不平衡精 度等級結合實驗室實際 AMB 轉子系統，給出 e

36、p= 15 µm。在轉子旋轉過程中，由于磁懸浮軸承廣義 動剛度隨轉速而變化，將造成轉子旋轉軸和其慣性 主軸之間夾角發生變化，即 e1 是變化的。由于 e1 至 今還沒有合理的表達式以及其僅影響振動位移的大 小，在方程求解過程中可選擇 0ep 范圍內的一些 定值近似代替。 另外， 式(10中不平衡力與式(13中列寫的不平 衡力表達式有不同含義。其中，式(10中不平衡力 僅僅是轉子不平衡慣性力表達式，隨 e1 的變化而改 變，而式(13中不平衡力是當轉子產生不平衡位移 后經過功率放大器輸出相應正弦控制電流進而使磁 懸浮軸承產生的簡諧力， 可認為是外界簡諧干擾力。 為了進一步分析式(10、

37、(13中不平衡力的關系，首 先討論圖 5 中相位夾角 的大小。由式(19中夾角 矩陣 d 表達式及表 1 中的各參數可推知 0 ，即 在轉子轉動過程中轉子質心 Og、旋轉中心 Or 以及 形心 Oc 基本上在同一直線上，如圖 6a 所示。 110 機 械 工 程 學 報 第 47 卷第 13 期期 考慮到系統相對阻尼系數較小，可認為是無阻 尼理想情況，因此系統在臨界頻率前后存在相位突 變，但 Og、 Or 以和 Oc 始終在同一直線上12。通過 改變式(21中廣義動剛度 k'的值可以改變系統固有 頻率 fni (i = 1,2，由于式(16中的 k 和 B 是不變的， 只能通過改變 P

38、ID 控制器的增益來改變 k'。當增大 PID 增益足夠大時，k'隨之增大，fn1 也相對較大， 轉子會繞其幾何中心旋轉，即轉子幾何中心與旋轉 軸如圖 6b 所示，此時有 e1 = ep，轉子不平衡力 f x 、 與旋轉頻率(500 Hz之差，如表 2 所列。現把 PID 參數設為表 3 所對應的參數，然后進行相似的仿真 研究，即仍舊假定轉子轉頻為 500 Hz。由表 3 知， 此時對應的系統固有頻率變為 639.9 Hz，由于兩個 頻率相差較大故可不考慮拍振影響，此時轉子的徑 向位移由圖 8 給出。 fy 達到最大值， 而 f x' 、f y' 最小； 當減小

39、其增益時(可 能為負增益， k' 隨之減小，fn1 也較小，轉子可能 繞其慣性主軸轉動，即慣性軸與旋轉軸重合，如圖 6c，此時有 e1 0 ， f x 、fy 最小而 f x' 、 f y' 最大。 圖8 對應表 3 中 PID 參數時的轉子徑向位移 圖6 不同動剛度時的偏心位置 3 3.1 仿真與試驗 仿真結果 對振動式(13進行計算機編程求解，即求解徑 其中， l1 = 0.120 2 m， l2 = 0.133 8 m， 向位移矢量 x 。 2 4 Ir = 0.021 4 kg·m ，Ia = 7.646×10 kg·m2， e1

40、初步 選擇為 5 µm，PID 參數與表 2 及圖 3 所給參數一致。 為了驗證拍振存在，首先假定不平衡激勵力頻率(轉 對轉子徑向位移進行仿真 子旋轉頻率 fr 為 500 Hz， 求解，圖 7 為轉子某單路徑向位移曲線仿真。 對比圖 7 中位移，圖 8 中轉子徑向位移基本上 不存在拍振現象。說明通過改變 PID 控制器參數可 以減弱拍振影響。下面嘗試使用一些措施對旋轉頻 率為 500 Hz 的振動方程進行消除拍振仿真，下面 仿真都是針對表 2 中 PID 參數完成的。首先，對 固有激振信號人為濾波，可得濾波后轉子系統質心 軌跡、形心軌跡以及單路徑向旋轉位移，如圖 9 所 示。圖 9

41、a 中，1 表示轉子質心軌跡，2 表示轉子形 、 “2”也有相同 心軌跡，同樣圖 10a、11a 中的“1” 含義。 圖 9 500 Hz 不考慮拍振時的轉子軌跡 圖7 仿真時徑向位移的拍振現象 從圖 7 可以看出當 500 Hz 時， 轉子系統存在明 顯拍振現象，拍振頻率基本為固有頻率(503.8 Hz 由圖 9 可知，當不考慮拍振影響時，轉子軌跡 僅與簡諧力有關，進而驗證式(19理論解正確。同 時， 由圖 9a 轉子質心軌跡與形心軌跡關系可驗證圖 6a 中的轉子狀態。500 Hz 轉速下，當適度增加系統 即， 將式(8中的控制電流 icn 增加 廣義動剛度 k'時， 一定倍數，仿真

42、時假定為 5 倍，轉子系統固有頻率 fn1 增大(大于 503.8 Hz， 轉子處于圖 6b 狀態， 圖 10 給出對應軌跡和旋轉位移。 由圖 10 知，轉子接近繞其形心旋轉，即自轉 軸與幾何軸基本上重合，進而驗證圖 6b 中的假設。 同理，可仿真減小 k'時的轉子軌跡。通過減小 icn 幅 值來減小 k'，進而降低 fn1。控制電流 icn 被人為減弱 月 2011 年 7 月 高 輝等：主動磁懸浮軸承系統拍振現象分析 111 后， fn1=165.2 Hz(小于 500 Hz， 轉子處于圖 6c 狀態， 此時轉子慣性軸與旋轉軸基本重合。 圖 11 給出 500 Hz 減小

43、k'時的轉子對應軌跡和旋轉位移。 確性。 圖 13 轉子實際徑向位移消除拍振現象 圖 10 500 Hz 增大 k'時的轉子軌跡 圖 14 給出在 500 Hz 轉動頻率下當系統廣義動 剛度減小前后的轉子位移變化情況。 圖 14a 為正常旋 轉時的徑向一路轉子位移電壓信號，圖 14b 為減小廣 義動剛度后的位移電壓信號， 圖 14c 為兩者經 FFT 處 理后的實際位移幅值。 圖 14c 中曲線 1 的幅值為 10.84 µm，曲線 2 的幅值為 12.56 µm。位移變化趨勢與圖 9 和圖 11 中的形心位移趨勢一致，由于偏心距的選擇 存在偏差，實際值與仿

44、真不盡一致。圖 14 中的分析 更進一步驗證模型的有效性以及式(19解的正確性。 圖 11 500 Hz 減小 k'時的轉子軌跡 對比圖 9、11，減小廣義動剛度后旋轉位移略 (19 大于正常剛度時的轉子位移， 此關系可由式(13、 來驗證。同時，此現象與 AMB 系統不平衡力補償 前后轉子位移現象相符合，即轉子系統自動平衡后 的徑向位移略大于未加補償時的轉子位移。 3.2 試驗結果 下面是 AMB 系統在旋轉頻率 fr=500 Hz 時的相 關試驗結果。首先給出 PID 控制器參數為表 2 對應 參數時的徑向位移曲線圖，即圖 2 中傳感器輸出 vs 曲線，其他相關參數與前面章節中仿真

45、時的參數一 致，如圖 12 所示。 圖 14 500 Hz 剛度減小前后轉子位移比較 2補償后位移幅值 1正常旋轉位移幅值 4 圖 12 轉子實際徑向位移存在拍振現象 結論 可以看出圖 12 中的轉子位移存在明顯的拍振 現象，進一步驗證了所建力學模型和對應轉子振動 位移解合理性以及計算機仿真過程正確性，同時也 然后給出對應另一組 PID 與圖 7 中的現象比較吻合。 參數的轉子徑向位移曲線圖，如圖 13 所示，其中 PID 參數為表 3 中對應參數。 從圖 13 可以看出，轉子徑向位移拍振現象 明顯降低，究其原因為 PID 參數改變使得控制器增 益改變，進而系統固有頻率遠離 500 Hz。圖

46、13 與 圖 8 仿真分析一致，進一步驗證表 3 分析結果的正 (1 當系統固有頻率與受迫振動頻率相近時， 轉子位移會出現拍振現象，此現象將影響系統控制 穩定性和轉子旋轉精度。 (2 不完全微分 PID 控制器在不同的轉動頻率 對應不同的增益，此增益變化將引起系統廣義動剛 度的變化以及系統固有頻率的變化。通過增大或者 減小 PID 的增益值輸出都能夠減弱拍振影響。當增 大增益時，系統固有頻率隨之增大，主動控制作用 增強，使轉子更加接近繞其幾何中心轉動；當減小 增益時，系統固有頻率減小，主動控制減弱，使轉 子更加繞其慣性軸轉動。 (3 與傳統接觸軸承不同，由于磁懸浮軸承的動 112 機 械 工

47、程 學 報 第 47 卷第 13 期期 剛度相對較小，將減弱對轉子的約束力，進而使轉子 的旋轉軸與其形心軸間存在一個夾角。此夾角隨轉子 速度變化而變化，因此，系統存在動態不平衡響應。 (4 仿真與試驗驗證了所建模型的有效性。此 模型為 AMB 系統的不平衡振動補償算法可行性研 究提供仿真基礎。 參 考 文 獻 10 謝振宇，徐龍祥，李迎，等. 磁懸浮軸承轉子系統動態 特性的試驗研究J. 航空動力學報， 2004， 19(1： 30-37. XIE Zhenyu，XU Longxiang，LI Ying，et al. Analysis of radial dynamic characterist

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