1、第一章平板波導(dǎo)的射線理論光束在介質(zhì)中傳輸時(shí)，由于介質(zhì)的吸收和散射而引起損耗，由于繞射而引起發(fā)散，這些情況都會(huì)導(dǎo)致光束中心部分的強(qiáng)度不斷地衰減。因此，有必要設(shè)計(jì)制作某種器件，它能夠引導(dǎo)光束的傳播，從而使光束的能量在橫的方向上受到限制，并使損耗和噪聲降到最小，這種器件通常稱為光波導(dǎo)，簡(jiǎn)稱波導(dǎo)。結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的波導(dǎo)是由三層均勻介質(zhì)組成的，中間的介質(zhì)層稱為波導(dǎo)層或芯層，芯兩側(cè)的介質(zhì)層稱為包層。芯層的介電常數(shù)比芯兩側(cè)包層的介電常數(shù)稍高，使得光束能夠集中在芯層中傳輸，因而起到導(dǎo)波的作用。這種波導(dǎo)的介電常數(shù)分布是陡變的，也稱為階梯變化的，常稱這種波導(dǎo)為平板波導(dǎo)。對(duì)光波導(dǎo)特性的分析，應(yīng)用兩種理論，即射線光學(xué)理論和

2、波動(dòng)光學(xué)理論。射線光學(xué)理論的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)平板波導(dǎo)的分析過程簡(jiǎn)單直觀， 對(duì)某些物理概念能給出直觀的物理意義，容易理解。缺點(diǎn)是對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多層波導(dǎo)射線光學(xué)理論不便于應(yīng)用，或只能得出粗糙的結(jié)果。一般而言，若想全面、正確地分析各種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)的模式特性，還必須采用波動(dòng)理論。光射線，簡(jiǎn)稱射線或光線，可以這樣理解：一條很細(xì)很細(xì)的光束，它的軸線就是光射線。它的方向沿著光能流的方向。光線與光束是不同的，光線是無限細(xì)的，光束則有一定的尺寸。光線在均勻介質(zhì)中的傳輸軌跡是一條直線，在非均勻介質(zhì)中的傳輸軌跡是一條曲直線。用射線去代表光能量傳輸路線的方法稱為射線光學(xué)。射線光學(xué)是忽略光波長(zhǎng)的光學(xué)，亦即射線理論是光波長(zhǎng)趨于零

3、的波動(dòng)理論。本章將應(yīng)用射線光學(xué)的基本理論對(duì)三層平板波導(dǎo)加以分析， 目的是對(duì)波導(dǎo)的導(dǎo)波原理和與之相關(guān)的某些物理概念為讀者給出直觀的物理意義和清晰的理解，并為以后運(yùn)用波動(dòng)光學(xué)理論分析各種結(jié)構(gòu)光波導(dǎo)的模式特性打好基礎(chǔ)。1.1模式類型我們把波導(dǎo)中所能傳輸?shù)碾姶艌?chǎng)型稱為波導(dǎo)的模式，在平板波導(dǎo)中存在兩種基本模式，一種稱為TE 模，另一種稱為TM 模。兩種模式用光的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的偏振方向來定1義比較直觀。 選擇電場(chǎng)只沿平行于波導(dǎo)界面的方向偏振，此時(shí)電場(chǎng)垂直于光的傳播方向，是橫向的， 因而把這種模式稱為橫電模，英文為 Transverse Electric Mode ，取其字頭稱為TE 模。選擇磁場(chǎng)只沿平行于波

4、導(dǎo)界面的方向偏振，此時(shí)磁場(chǎng)垂直于光的傳播方向，是橫向的，因而把這種模式稱為橫磁模，英文為 Transverse Magnetic Mode ，取其字頭稱為TM模。根據(jù)模式的導(dǎo)波性或輻射性，可進(jìn)一步把模式分為導(dǎo)引模式和輻射模式，前者簡(jiǎn)稱導(dǎo)模，而后者簡(jiǎn)稱輻射模。現(xiàn)來研究三層平板波導(dǎo)，其橫截面和相對(duì)介電常數(shù)分布如圖1-1 所示，光沿垂直紙面的 z 方向傳輸，圖中b 為波導(dǎo)芯厚度，1、 2、 3 分別為芯層、下包層和上包層的相對(duì)介電常數(shù)，相應(yīng)的折射率分別為n1、 n2、 n3，它們與相對(duì)介電常數(shù)的關(guān)系為1n12 、2n2n212n n2n3 。當(dāng)上下包層為同2 、 33 。為了分析方便，常令3，或 1

5、一種介質(zhì)時(shí)，23 ，此時(shí)為對(duì)稱三層波導(dǎo)，當(dāng)上下包層為兩種不同的介質(zhì)時(shí)，23 ，此時(shí)為非對(duì)稱三層波導(dǎo)。令光沿z 方向傳輸，光在y 方向不受限制。下面我們對(duì)非對(duì)稱三層波導(dǎo)進(jìn)行分析，即123 、 n1n2n3 。對(duì)于對(duì)稱三層波導(dǎo)，只要在分析結(jié)果中令 n2n3 即可。xx10= n 2上 包 層383bb6波4導(dǎo) 芯1 = n1202y023(x)下 包 層12246810002= n2圖 1-1三層平板波導(dǎo)的橫截面圖及相對(duì)介電常數(shù)分布，1 >23，當(dāng) 2 =3 時(shí)為對(duì)稱三層平板波導(dǎo)，當(dāng)23 時(shí)為非對(duì)稱三層平板波導(dǎo)。1.1.1折射定律和全反射2光在波導(dǎo)中傳輸時(shí)，從射線的角度來看，要不斷地在波導(dǎo)的

6、兩個(gè)界面上發(fā)生反射和折射，如圖1-2 所示。反射光的軌跡在芯層中是一個(gè)鋸齒波。令入射角為1，在下界面的折射角為2，在上界面的折射角為3。當(dāng)入射角1 較小時(shí)光在上下兩個(gè)界面上都不發(fā)生全反射，此時(shí)光在上下兩個(gè)界面上的折射滿足折射定律n1 sin1n2 sin2n1 s i n1n3 s i n 3(1.1-1)即有n1 sin1n2 sin2n3 sin 3(1.1-2)由式 (1.1-1) 可得sin 1n2sinn1因?yàn)?n1n22s i n1n3s i n 3n1(1.1-3)n3 ，由式 (1.1-2) 可判斷出 123 。當(dāng)入射角 1 增大時(shí)， 折射角為2 和 3 也隨之增大。當(dāng)3 增大

7、到 90 時(shí)，光在上界面上發(fā)生全反射。如果入射角1 繼續(xù)增大，使得2 也增大到 90時(shí)，光在下界面上也要發(fā)生全反射。光發(fā)生全反射時(shí)的入射角稱為臨界角。由式(1.1-3) 可得到光在下、上兩個(gè)界面上發(fā)生全反射時(shí)的臨界角12、13 分別為n2n312 arcsin13 arcsinn1n1(1.1-4)因?yàn)?n2n3 ，所以1213 。1.1.2 空間輻射模當(dāng)入射角較小時(shí)，使得光在上下兩個(gè)界面上都不發(fā)生全反射，如圖1-2 所示。在這種情況下，光在傳輸過程中不斷地有折射光進(jìn)入上下包層，即光能量不斷地從上下包層中輻射出去，這種模式稱為空間輻射模。因此若產(chǎn)生空間輻射模，入射角1 必須滿足下述條件113

8、arcsin n3(1.1-5)n1由上式還可得到3n1 sin 1n3(1.1-6)我們定義 Nn1 sin 1 為模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為Nn3(1.1-7)令 k020，稱 k0 為為真空中波數(shù)，0 真空中光波長(zhǎng)，并定義k0 N 為模式的傳播常數(shù)，它是波矢k 的 z 分量，即 kz。引入傳播常數(shù)的概念后，上式兩端同乘以 k0，因此產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為k0 Nk0 n3我們把產(chǎn)生空間輻射模的條件合寫如下n3113arcsinNn s i nnn1113傳播常數(shù)的單位通常采用cm-1 或 mm-1 。n3103816n142n200246

9、(1.1-8)k0 N k0 n3(1.1-9)12810圖 1-2 空間輻射模1.1.3 襯底輻射模如果入射角 1 增大到使光在上界面發(fā)生全反射但在下界面還沒發(fā)生全反射，如圖 1-3所示。此時(shí)光在傳輸過程中不斷地有折射光進(jìn)入下包層，即光能量不斷地從下包層(有時(shí)也為襯底 )中輻射出去，這種模式稱為襯底輻射模。因此若產(chǎn)生襯底輻射模，入射角1必須滿足下述條件4arcsin n313112arcsin n2n1n1(1.1-10)由上式還可把產(chǎn)生襯底輻射模的條件寫為n3 Nn1 sin1n2(1.1-11)上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0 ，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為k0n3k0 N k0n2(1.1

10、-12)n31081n16421n2020246810圖 1-3襯底輻射模1.1.4 導(dǎo)模如果入射角1 增大到使光在上下兩個(gè)界面上都發(fā)生全反射時(shí)，此時(shí)上下包層中不再有折射光，如圖1-4所示。在這種情況下，光能量不再向包層中輻射，光被限制在波導(dǎo)芯中以鋸齒波的形式沿z 方向傳輸，這種模式稱為導(dǎo)模。因此若產(chǎn)生導(dǎo)模，入射角1 必須滿足下述條件arcsin n2121n1(1.1-13)由上式還可把產(chǎn)生導(dǎo)模的條件寫為n2 N n1 sin1n1(1.1-14)上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0 ，產(chǎn)生空間輻射模的條件又可寫為k0n2k0 N k0n1(1.1-15)5n3 10816n1421n2002468

11、10圖 1-4導(dǎo)模1.1.5禁區(qū)如果入射角1 增大到 90 ，則光將沿z 方向前進(jìn)，此時(shí)導(dǎo)模的有效折射率N = n1 ，傳播常數(shù)k0 n1 ，這是導(dǎo)模最大可能的傳播常數(shù)。對(duì)于組成波導(dǎo)的各層介質(zhì)都是線性的情況， N > n1 或k0 n1 的區(qū)域?yàn)榻麉^(qū)，代表不存在模式的區(qū)域。1.1.6表面模對(duì)于某些特殊結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)，如金屬包層波導(dǎo)和非線性波導(dǎo)，會(huì)出現(xiàn)其有效折射率大于 n1、傳播常數(shù)大于k0n1 的情況。這種N > n1 或k0n1 的模式稱為表面模。1.2全反射相移光在波導(dǎo)界面上發(fā)生全反射時(shí)，入射角大于臨界角。以下界面為例，有arcsin n2121n2n220n12s i n1或1(

12、1.2-1)下面我們分別討論TE 和 TM 模由全反射而引起的相移。1.2.1TE 模的全反射相移TE 模的反射系數(shù)公式為E'n1 cos1n2 cos2rn1 cosn2 cosE12(1.2-2)6式中 E、 E' 分別為入射場(chǎng)強(qiáng)和反射場(chǎng)強(qiáng)。光在下界面發(fā)生全反射時(shí)，利用式(1.1-1)和 (1.2-1) 可得1 221 21 2cos1sin 2n1 sin 21n2n2sin22211n22121n2j2sin221 2n11n2n2(1.2-3)上式說明發(fā)生全反射時(shí)折射角2 變?yōu)樘摂?shù)。上式代入式(1.2-2) 得到rE'n1 cos1j n12 sin 21n2

13、21 2En1 cosj n12 sin 2n221 211expj2 arctann2sin 2n21 2112n1 cos 1expj 2 12(1.2-4)上式表明， 光在下界面發(fā)生全反射時(shí)，反射光和入射光之間產(chǎn)生一個(gè)相移212，其中2 122 arctann12 sin 21n221 2n1 cos1(1.2-5)令T22T3311(1.2-6a)1k0 n12N2 1 22k0 N 2n22 1 23 k0 N 2n32 1 2(1.2-6b)則有1k0n12N21 2k0 n12n12 sin211 2k0 n1 cos 1(1.2-7a)2k0N 2n21 2k0n2 sin2n

14、21 2(1.2-7b)21127221 2k02sin221 23k0 Nn3n11n3代入式 (1.2-5) 則有2122 arctann12 sin 21n221 22 arctan22arctanT2n1 cos11同理，光在上界面發(fā)生全反射時(shí)的也要產(chǎn)生一個(gè)相移2 13，其中2sin2n21 222arctann2 arctan 32 arctanT313113n1 cos111.2.2TM 模的全反射相移TM 模的反射系數(shù)公式為E'n1 cos2n2 cos 1rEn1 cos 2n2 cos 1光在下界面發(fā)生全反射時(shí)，上式(1.2-3) 代入式 (1.2-10)得到n2 c

15、osn2221 2E'1j1n1sin1n2n2rEj n12sin 221 2ncos1n1n2n12222sin2n21 2expn1n112j 2 arctann1 cos 1n22expj 2 12其中2 12 為光在下界面發(fā)生全反射時(shí)，反射光和入射光之間產(chǎn)生的相移22221 2n1n1 sin1n22 122 arctan n22n1 cos1此時(shí)令n22n23T21T31n22n32111k0n2N2 122k0N 2n2 1 2k0N 2n2 1 21233仍有221 2k02221 21k0 n1Nn1n1 sin1k 0 n1 cos1k0221 2k02221 22

16、Nn2n1sin1n2(1.2-7c)(1.2-8)(1.2-9)(1.2-10)(1.2-11)(1.2-12)(1.2-13a)(1.2-13b)(1.2-14a)(1.2-14b)8221 2k02221 2(1.2-14c)3k0 Nn3n1 sin1n3代入式 (1.2-12) 則有2 12n2n2sin2n21 2n22 arctanT2(1.2-15)2 arctan11122 arctan12n22n1 cos 1n221同理，光在上界面發(fā)生全反射時(shí)，反射光和入射光之間也要產(chǎn)生一個(gè)相移2 13，其中22sin2n21 22n1n113n13(1.2-16)2 132 arcta

17、n n32n1 cos2 arctan n322 arctanT311對(duì)于 TE 和 TM 模， T2、T3 的定義是不同的，參見式(1.2-6a)、 (1.2-13a)，因而它們的全反射相移也是不同的。這些全反射相移稱為GoosHanchen 相移。1.3穿透深度和有效波導(dǎo)厚度在我們以前的討論中，當(dāng)光在波導(dǎo)界面上發(fā)生全反射時(shí)，認(rèn)為光就在入射點(diǎn)上發(fā)生反射，入射和反射在同一點(diǎn)上發(fā)生，也就是說認(rèn)為反射點(diǎn)和入射點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)。這時(shí)光在波導(dǎo)中的軌跡是一個(gè)鋸齒波，但實(shí)際上卻不然。Goos 和 H anchen 二人曾于1947 年在試驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，光的反射并不發(fā)生在入射點(diǎn)上，光的反射點(diǎn)和入射點(diǎn)并不是同一點(diǎn)，反

18、射點(diǎn)離入射點(diǎn)有一段距離或位移，如圖1-5 所示。這是因?yàn)槿魏蜗嘁贫家c一定的光程或位移相聯(lián)系，光在界面上產(chǎn)生的全反射相移也不例外。這樣看來，光在波導(dǎo)上下界面處發(fā)生全反射時(shí)，入射光似乎并不是在實(shí)際界面上反射，而好像是深入到較低折射率的上下包層中的某兩點(diǎn)，然后再反射回來。設(shè)這兩點(diǎn)A、B 距上下界面的距離分別為x3 和 x2，并令在上下界面處因全反射相移而引起的位移分別為2z3 和 2z2，于是有xz3z2(1.3-1)3x2tan 1t a n 1x3、 x2 稱為導(dǎo)模在上下界面處的穿透深度。光因相移而引起的位移z 由下述公式確定zd(1.3-2)d下面我們分別討論TE 和 TM 模的穿透深度和有

19、效波導(dǎo)厚度。910An31 x386z3z3n142z2z2n20x2024681 10B圖 1-5穿透深度和有效波導(dǎo)厚度。1.3.1TE 模的穿透深度和有效波導(dǎo)厚度式 (1.2-8) 代入式 (1.3-2) ，并利用式 (1.2-6) 和(1.2-7) 可得d 12darctanT21dT21d2z2d1 T22 d1 T22 dd111d22d 1122ddT211d22 212d2 22 1 21221dk 0 n22dk0 n1T2112121222T212112221211即有z2k0 n1 sin1tan1(1.3-3)2k 0n1 cos 1122同理有tan 1(1.3-4)z

20、33式 (1.3-3) 、 (1.3-4) 代入式 (1.3-1) 則可得到 TE 模在上下兩個(gè)界面處的的穿透深度分別為1x21(1.3-5)x332穿透深度的存在相當(dāng)于增大了波導(dǎo)芯的實(shí)際厚度，因此TE 模的有效波導(dǎo)厚度為10beffb11x2 x3 b(1.3-6)231.3.2TM模的穿透深度和有效波導(dǎo)厚度式 (1.2-15)代入式 (1.3-2) 并利用式 (1.2-13)和 (1.2-14)可得z2d 12dddn121n221T22n121n221T22n12n221T22arctanT21dT21dn1221 T22 d1 T22 dn221d2d 12121ddd2k2n2 1

21、2d2n22 1 221022k0d11d12n2121221n2n4221122112421n21即有z2同理有z322222222k0 n1 sinn1 n212n1 n21212n42n4212n42n42k0 n1 cos1211221122222222n1 n212tan112 T2tan1(1.3-7)n 42n 421T2221221122n2 n 22222T21313tan1133tan1(1.3-8)n42n421T2331331133式 (1.3-7) 、 (1.3-8) 代入式 (1.3-1) 則可得到TM模在上下兩個(gè)界面處的的穿透深度分別為n2n 22222T 2x3

22、1313133(1.3-9a)n42n 421T23313311332222222x2n1 n21212 T2(1.3-9b)n42n 421T2221221122因而 TM 模的有效波導(dǎo)厚度則為n2 n 222n2 n222beffbx2x3b12121313(1.3-10a)n4 2n4 2n4 2n4 22321123113或222222beffbx2x3b12 T213 T3(1.3-10b)1 T 21T22123132311§1.4特征方程導(dǎo)模的傳播常數(shù)滿足條件k0 n2k0 Nk0 n1(1.4-1)但并非滿足上式的所有的值都能形成導(dǎo)模。 在波導(dǎo)中傳輸?shù)墓獠⒎鞘且粭l孤立

23、的光線，而是一束平行光線。這些平行光線在波導(dǎo)的兩個(gè)界面之間多次全反射，只有在一個(gè)完整的鋸齒波過程中相位相差2的整數(shù)倍的那些光線才能產(chǎn)生干涉而形成導(dǎo)模。如圖1-6 所示，這一平行光束中的一條光線在上下界面處發(fā)生兩次全反射時(shí)的光程，與另一條光線在這期間是不同的。令光線1 在上下界面的A、B 兩點(diǎn)發(fā)生全反射，通過A、B 兩點(diǎn)的等相面為 AC 和 BD 。在 D 點(diǎn)發(fā)生全反射的入射光線為光線2，則光線 1 和光線 2 在兩個(gè)等相面 AC 和 BD 間的幾何光程差為AB ED ，相應(yīng)的相位差為n 310 AD811光線16n1bb4E光線22n 20 FCGB0246810圖 1-6光程差的確定2AB

24、ED2 n1AB EDk0 n1 AB ED(1.4-2)0式中0n1 為波導(dǎo)芯介質(zhì)中的光波長(zhǎng)，0 為真空中光波長(zhǎng)。 另外光在上下兩個(gè)界面處發(fā)生全反射的相移為2 13和2 12 ，因此總相移應(yīng)等于 2的整數(shù)倍，即有k 0 n1 AB ED2 122 13 2m(m = 0, 1, 2, )(1.4-3)由圖中的幾何關(guān)系可得ABb(1.4-4)cos 1EDAD sin1FBGB sin1b tan 1 b cot1 sin1b tan1 sin 1cos 1(1.4-5)由此得到ABED 2b cos 1(1.4-6)上式代入式(1.4-3) 有122bk0 n1 cos 12m2 122 1

25、3(1.4-7)又因 k 0 n1 cos 11 ，所以有2 1b2m2 122 13(1.4-8)式中 2 1b 是一條光線在兩個(gè)界面之間往返一次因光程而引起的x方向的橫向相移。把2 12 和 2 13 的表達(dá)式 (1.2-8) 、(1.2-9) 或 (1.2-15)、(1.2-16) 代入上式中則可得到TE和 TM 導(dǎo)模的特征方程為1bmarctanT2arctanT3(m = 0, 1, 2, )(1.4-9)式中 m 稱為模式階數(shù)， T2、 T3 定義為T2n2n2 s21Tn2n2s1(1.4-10)1231331k 2 n 22 1 222k2n 21 22k2 n2 1 2(1.

26、4-11)0102303式中，對(duì)于 TE 導(dǎo)模 s = 0 ，對(duì)于 TM導(dǎo)模 s = 1 。導(dǎo)模特征方程(1.4-9) 是傳播常數(shù)的超越方程，由它不可能得到的解析解，只能得到 的數(shù)值解。又因?yàn)檫@一方程中含的整數(shù)m，取值不連續(xù)，因而的取值也不連續(xù)，取分立值，即導(dǎo)模的傳播常數(shù)組成分立譜。§1.5導(dǎo)模的傳輸與截止導(dǎo)模的有效折射率N 的變化范圍為n2 N n1 sin 1n1 ，在此范圍內(nèi)導(dǎo)模能夠在波導(dǎo)中進(jìn)行傳輸。當(dāng)導(dǎo)模的有效折射率N 等于芯兩側(cè)包層折射率n2 時(shí)，導(dǎo)模不復(fù)存在，稱為導(dǎo)模截止。此時(shí)把N= n2代入式 (1.4-11) 中得到1k 0 n12n22 1 2，20，221 2(1

27、.4-10) 得到 T2 = 0 。下面分別討論對(duì)稱三層波導(dǎo)和非對(duì)稱3k0 n2n3，進(jìn)而由式三層波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸與截止情況。1.5.1對(duì)稱三層波導(dǎo)令 n2= n3 代入式 (1.4-9) 中即可得到對(duì)稱三層波導(dǎo)TE 和 TM 導(dǎo)模的特征方程為1bm2 arctanT2(m = 0, 1, 2, )(1.5-1)應(yīng)用特征方程(1.5-1) 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，圖1-7 顯示了 GaAs/Al0.07Ga0.93As 對(duì)稱三層波導(dǎo) TE和 TM 導(dǎo)模的傳輸和截止情況， 圖中給出了波導(dǎo)芯厚度b 與模有效折射率 N 的關(guān)系曲線。取真空中光波長(zhǎng)0 = 1.15m，GaAs 波導(dǎo)芯的折射率n1 = 3.45，Al 0.07Ga