1、巧妙建模柳暗花明例說構建解幾模型求最值如皋市第二中學226500宗在華最值問題是高中數學的常考問題之一，也是難點之一。 數學應用意識的考查要求是：能夠應用所學數學知識、思想和方法，構造數學模型，解決實際問題（江蘇數學高考說明）。筆者結合自己的教學實踐，試通過幾例說明如何構建解幾模型解決最值問題，以期拋磚引玉。例 1、（江蘇高考說明典型示例第14 題）滿足條件AB2, AC2BC 的ABC 的面積的最大值為.分析：本題主要考查靈活運用有關知識解決問題的能力，屬于難題（考試說明語）。但是，如果能夠構建解幾模型，求出C 點的軌跡，則能化難為簡，降低解題難度，很容易得出準確結果。解：以 AB 所在直線

2、為x 軸， AB 的中垂線為y 軸建立如圖所示的直角坐標系，則 A(1,0), B(1,0)，設 C ( x, y)( y0)，根據題意得：YC(x1) 2y 2(x1) 2y 2化簡得： ( x3) 2y 28( y0)XAOB點 C 到 AB 的最大距離為 22122222 。ABC 的面積的最大值為2例 2、 a, b, c 成等差，點 P(1,0) 在直線 l : axbyc 0上的射影為 M ，點 N (3,3) ，則線段 MN 的長度的最大值為.分析：本題較難，有一種無從下手的感覺。但如果能發現M 點的軌跡是一個定圓，就變得簡單易行了。解：a, b,c成等差 ，2bac1axbyc

3、 0 可以變形為 a(2x y)c( y 2)0直線 l 過定點 A(1,2) ，Y? N又PMAM ，點 M 在以 AP 為直徑的圓上由： P(1,0), A(1, 2) ，Pl可知：圓心 Q(0,1), 半徑 r2XQAMN maxQNr5 2M模型提煉： 1、 P, A 為定點，若 PMAM ，那么 M 在以 PA 為直徑的圓上；2、 M 為圓 Q 上任意一點， N 為圓 Q 外一點，則MN maxNQrMN minNQr例 3、實數 a,b, c 滿足 a 22 ln a3c 41 ，則 (ac) 2(bd ) 2 的最小值為.bd分析：本題含有a, b, c, d 四個變量，不知從何

4、下手；但如果能由(ac)2(bd ) 2 聯想到兩點之間的距離，那求解過程就變得簡單易行了。解：設 M (a, b), N (c,d )由 a 22ln a1得： ba22ln a ，即點 M (a,b) 在曲線 S : y x 22 ln x 上；b由 3c41得： d3c4 ，即點 N (c, d ) 在直線 l : y 3x 4 上。d設曲線 S 的與直線 l 平行的切線的切點為( x1 , y1 )又 y2x22x12x12，3 ，xx1y142ln 2MN min| 3x1y14 | 6 4 2 ln 2 4 |2 | ln 2 1 |101010(ac)2(bd) 2 的最小值為

5、2(ln 21) 2.52模型提煉： 1、 (ac) 2(bd )2 表示點 (a,b), (c,d ) 之間距離的平方；2、 M 是曲線 yf (x) 上一點， N 是直線 l 上一點， MN 最小值求法：求出曲線與 l 平行的切線 l1 ， l 1 與 l 之間的距離即為 MN 的最小值。a 22a sin2，的最大值與最小例 4、記 f (a, )2a cos，對于任意的實數a,f (a,)a 22值之和為.分析：本題含有 a,兩個變量， 同時還有三角函數， 無法用常規方法求出最大值和最小值。如果能從f ( a, ) 分式的形式聯想到斜率，通過構建解幾模型，變為求動點與定圓上點的連線的斜

6、率，就簡單易行了。解：當 a0時， f (a,)122 sina當 a0 時， f (a,)a，22 cosaa可以看做點 M (a2 , a2)與點 N(2 cos, 2sin) 連線的斜率 k ；aa而，點 M 的軌跡方程為：yx, x, 222 2,點 N 的軌跡方程為：x 2y 24Y易知：過點 ( 2 2,22)（或( 22,2 2) ）的圓兩條切線的斜率分別為k的最大值和最小值。OX不妨設：過 ( 2 2,22 ) 的圓的切線為：y 2 2 k( x 2 2) ，即 kx y 2 2 2 2k 0| 2222k |2 ，化簡得： k 24k 10k 21k1k24 ，即 f (a,) 的最大值與最小值之和為4.最值問題的解法多種