1、20192020學年度高二學期高三年級二?？荚嚁祵W（文科）試卷第卷一、選擇題1.集合，則集合中元素的個數為（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】c【解析】【分析】畫出指數函數和二次函數的圖像，根據交集的含義，即可容易求得.【詳解】作出與的圖象可知兩個函數有兩個公共點，故集合中元素的個數為2故選：c.【點睛】本題考查集合的交運算，指數函數的圖像，屬綜合基礎題.2.設（為虛數單位），則（）a. b. c. d. 2【答案】a【解析】分析：直接利用復數代數形式的乘除運算化簡復數，然后求模即可詳解：復數 故選a. 點睛：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題3.已知直

2、線和平面，有如下四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中真命題的個數是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據面面垂直，線面垂直以及線面平行的判定，即可容易判斷.【詳解】若，則一定有，故正確；若，則，又因為，故可得，故正確；若，故可得/，又因為，故可得，故正確；若，則或，故錯誤；綜上所述，正確的有.故選：c【點睛】本題考查線面垂直，面面垂直的判定以及線面平行的判定，屬綜合基礎題.4.風雨橋是侗族最具特色的建筑之一.風雨橋由橋、塔、亭組成.其亭、塔平面圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形.如圖是風雨橋亭、塔正六邊形的正射影.其正六邊形的邊長計算方法如下：，其中，.根據每層

3、邊長間的規律.建筑師通過推算，可初步估計需要多少材料.所用材料中.橫向梁所用木料與正六邊形的周長有關.某一風雨橋亭、塔共5層，若，.則這五層正六邊形的周長總和為( ) a b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據等差數列的定義，結合已知可以判斷數列是等差數列，最后利用等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】由已知得：，因此數列是以為首項，公差為等差數列，設數列前5項和為，因此有，所以這五層正六邊形的周長總和為.故選：c【點睛】本題考查了數學閱讀能力，考查了等差數列的定義，考查了等差數列前項和公式的應用，考查了數學運算能力.5.若98與63的最大公約數為，二進制數化為十進制數為，則（ ）

4、a. 53b. 54c. 58d. 60【答案】c【解析】由題意知，與63的最大公約數為7，又，選c點睛：求兩個正整數的最大公約數時，可用較大的數字除以較小的數字，得到商和余數，然后再用上一式中的除數和得到的余數中較大的除以較小的，以此類推，當出現整除時，就得到要求的最大公約數6.已知四邊形abcd為平行四邊形，m為cd中點，則（ ）a. b. c. 1d. 【答案】a【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則可得，再利用向量數量積的運算即可求解.【詳解】 .故選：a【點睛】本題考查了向量的加、減、數乘以及數量積的運算，需掌握三角形法則，屬于基礎題.7.如圖所示的曲線圖是2020年1月25日至2

5、020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例的曲線圖，則下列判斷錯誤的是（ ）a. 1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例中西安市占比超過了b. 1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢c. 2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了97例d. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例的增長率大于2月6日到2月8日的增長率【答案】d【解析】【分析】根據新冠肺炎累計確診病例的曲線圖，提取出需要的信息，逐項判定，即可求解.【詳解】由新冠肺炎累計確診病例的曲線圖，可得：對于a中，1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例共有87例，其中西安32例，所以西

6、安所占比例為，故a正確；對于b中，由曲線圖可知，1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢，故b正確；對于c中，2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了例，故c正確；對于d中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累計確診病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累計確診病例增加了，顯然，故d錯誤.故選：d.【點睛】本題主要考查了圖表的信息處理能力，其中解答中根據曲線圖，提取出所用的信息是解答的關鍵，著重考查信息提取能力.8.記不等式組 ，表示的平面區域為 .下面給出的四個命題： ； ； ； 其中真命題的是：a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由

7、約束條件作出可行域，利用目標函數的幾何意義求解z=x+y，z12xy，z2，z3x2+y2，的范圍，判斷命題的真假即可【詳解】實數x，y滿足，由約束條件作出可行域為d，如圖陰影部分，a（2，0），b（0，2），c（1，3），z=x+y經過可行域的點a及直線bc時分別取得最值，可得：z2，2，所以錯誤；z12xy經過可行域的b、c時分別取得最值，可得：z15，2，所以正確；z2，它的幾何意義是可行域內的點與（1，1）連線的斜率，可得：da的斜率是最大值為：；bd的斜率取得最小值為：；z2，；所以錯誤；z3x2+y2，它的幾何意義是可行域內的點與（0，0）連線的距離的平方，最小值為原點到直線y=x

8、+2的距離的平方：（）2，最大值為oc的平方：（10）2+（30）210，z3，10所以正確；故選c【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵9.達芬奇的經典之作蒙娜麗莎舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數百年來讓無數觀賞者人迷.某業余愛好者對蒙娜麗莎的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數據：（其中）.根據測量得到的結果推算：將蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由已知，設可得于是可得，進而得出結論詳解】解：依

9、題意，設則，設蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為則，故選：a【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數的單調性、切線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題10.在如圖所示的空間幾何體中，下面的長方體的三條棱長，上面的四棱錐中，則過五點、的外接球的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】在四棱錐中，利用正弦定理求得外接圓的半徑，利用勾股定理求得四棱錐的外接球半徑，由此求得外接球的表面積.【詳解】問題轉化為求四棱錐的外接球的表面積，所以外接圓的半徑為，由于平面，則平面，平面，所以平面平面，所以外接球的所以故選:c【點睛】本小題主要考查四棱錐外接球表面積

10、的計算，屬于基礎題.11.已知函數，若是函數的唯一極值點，則實數k的取值范圍是（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由的導函數形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根【詳解】解：函數的定義域是，是函數的唯一一個極值點是導函數的唯一根，在無變號零點，即在上無變號零點，令，因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增所以的最小值為，所以必須，故選a【點睛】本題考查由函數的導函數確定極值問題對參數需要進行討論12.已知拋物線的方程為，為其焦點，過的直線與拋物線交于兩點（點在軸上方），點，連接交軸于，過作交于，若，則斜率為( )a. b. c. d. 2【答案】a【解析】【分析

11、】根據拋物線方程，求得焦點坐標和準線方程，作垂直于準線交準線于，畫出幾何關系圖形.由且，可得，結合拋物線定義可知求得點的橫坐標，代入拋物線方程可求得縱坐標.由兩點間斜率公式可得直線斜率，即為的斜率.【詳解】拋物線的方程為，為其焦點，過的直線與拋物線交于兩點（點在軸上方），點，連接交軸于，則，準線方程為.根據題意畫出幾何關系如下圖所示：作垂直于準線交準線于.且，則，垂直于準線交準線于，則，即，解得，代入拋物線方程可得，斜率，即為的斜率，所以.故選：a.【點睛】本題考查了拋物線標準方程及其幾何性質的綜合應用，平行線分線段成比例性質應用，直線與拋物線位置關系的綜合應用，屬于中檔題.第卷二、填空題13

12、.已知雙曲線c：的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線c的焦距為_【答案】4.【解析】【分析】利用雙曲線的性質及條件列a,b,c的方程組，求出c可得.【詳解】因為雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為 ，所以,解得，所以雙曲線的焦距為4.故答案為4.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，注意隱含條件，考查運算求解能力，屬于基礎題.14.設數列的前項和為，且滿足，則_【答案】【解析】【分析】由題意可得數列的首項為，在中將換為，兩方程相減可得數列的通項公式，再由等比數列求和公式計算可得所求和【詳解】解：，可得時， ，時，又，兩式相減可得，即，上式對也成立，可得數列是首項為1，公比為的等比數列，

13、可得故答案為【點睛】本題主要考查了賦值法及等比數列的前項和公式，考查計算能力及分析能力，屬于中檔題15.如圖，一棟建筑物ab高（30-10）m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔cd在它們之間的地面m點（b、m、d三點共線）測得對樓頂a、塔頂c的仰角分別是15°和60°，在樓頂a處測得對塔頂c的仰角為30°，則通信塔cd的高為_m【答案】60【解析】【分析】由已知可以求出、的大小，在中，利用銳角三角函數，可以求出.在中，運用正弦定理，可以求出.在中，利用銳角三角函數，求出.【詳解】由題意可知：，由三角形內角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【點睛】

14、本題考查了銳角三角函數、正弦定理，考查了數學運算能力.16.九章算術卷第五商功中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”.現有陽馬，平面，.上有一點，使截面的周長最短，則與所成角的余弦值等于_.【答案】【解析】【分析】要使截面的周長最短，則最短，連接，交于，作交于，連接，則與所成角為，計算得到答案.【詳解】要使截面的周長最短，則最短，將底面沿展開成平面圖形（如圖），連接，交于，則，當共線時等號成立，此時，由，則，故，故，作交于，連接，則與所成角為，易得，由于，.故答案為：.【點睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.三、解答題17.2020年1月，教

15、育部關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見印發，自2020年起，在部分高校開展基礎學科招生改革試點（也稱“強基計劃”）.強基計劃聚焦高端芯片與軟件智能科技新材料先進制造和國家安全等關鍵領域以及國家人才緊缺的人文社會科學領域，選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生.新材料產業是重要的戰略性新興產業，下圖是我國2011-2019年中國新材料產業市場規模及增長趨勢圖.其中柱狀圖表示新材料產業市場規模（單位：萬億元），折線圖表示新材料產業市場規模年增長率（）.（1）求2015年至2019年這5年的新材料產業市場規模的平均數；（2）從2012年至2019年中隨機挑

16、選一年，求該年新材料產業市場規模較上一年的年增加量不少于6000億元的概率；（3）由圖判斷，從哪年開始連續三年的新材料產業市場規模年增長率的方差最大.（結論不要求證明）【答案】（1）3.26億萬元（2）（3）從2012年開始連續三年的新材料產業市場規模年增長率的方差最大.【解析】【分析】（1）由柱狀圖表得出這5年的市場規模，運用公式求平均數即可；（2）根據柱狀圖表算出從2012年起，每年新材料產業市場規模的增加值，利用古典概型算出概率；（3）由折線圖判斷從2012年開始連續三年的新材料產業市場規模年增長率的方差最大.【詳解】（1）2015年至2019年這5年的新材料產業市場規模的平均數萬億元；

17、（2）設表示事件“從2012年至2019年中隨機挑選一年，讀年新材料產業市場規模的增加值達到6000億元”，從2012年起，每年新材料產業市場規模的增加值依次為：3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000（單位：億元），所以.（3）從2012年開始連續三年的新材料產業市場規模年增長率的方差最大.【點睛】本題主要考查了古典概率的計算，統計圖表的認識，樣本的數字特征，考查學生數據分析能力，以及對平均數，方差概念的理解.18.已知函數.(i)求f(0)的值；(ii)從；這兩個條件中任選一個，作為題目的已知條件，求函數f(x)在上的最小值，并直接寫出函數f(x)的一

18、個周期.【答案】(i) ；(ii) 時，；時，.【解析】【分析】(i)將代入求值即可；(ii)用二倍角和輔助角公式化簡可得，再由可得，結合正弦函數圖象求解最值；，利用拋物線知識求解【詳解】(i)；(ii)，由題意得，故，所以當時，取最小值.，令，當時，函數取得最小值為.，【點睛】本題考查三角恒等變換在三角函數圖象和性質中的應用.（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數關系式化成或的形式；（2）根據自變量的范圍確定的范圍，根據相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值. （3）換元轉化為二次函數研究最值.19.如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現將正方形沿折起，使

19、得平面平面.（1）證明：平面.（2）若，當三棱錐的體積最大時，求到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質定理，可得平面，進而有，再由已知可得，即可得證結論；（2）由體積公式，要使三棱錐的體積最大時，為弧的中點，求出，進而求出，用等體積法，即可求解.【詳解】（1）證明：因為平面平面是正方形，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為點在以為直徑的半圓弧上，所以.又，所以平面.（2）當點位于的中點時，的面積最大，三棱錐的體積也最大.因為，所以，所以的面積為，所以三棱錐的體積為.因為平面，所以，的面積為.設到平面距離為，由，得，即到平面的距離為.【點睛】本題考查

20、線面垂直的證明，空間中垂直的相互轉化是解題的關鍵，考查用等體積法求點到面的距離，屬于中檔題.20.已知動點到兩點，的距離之和為4，點在軸上的射影是c，.（1）求動點的軌跡方程；（2）過點的直線交點的軌跡于點，交點的軌跡于點，求的最大值.【答案】（1）.（2）1【解析】【分析】（1）根據橢圓的定義和題設條件，求得點的軌跡方程是，設點坐標為，由所以點的坐標為，代入即可求解.（2）若軸，求得；若直線不與軸垂直，設直線的方程為，根據圓的弦長公式，求得，再聯立方程組，結合根與系數的關系，求得的表達式，代入化簡，即可求解.【詳解】（1）設，因為點到兩點的距離之和為4，即 可得點的軌跡是以為焦點，長軸長為4

21、的橢圓，所以，即，且，則，所以點的軌跡方程是.設點坐標為，因所以點的坐標為，可得，化簡得點的軌跡方程為.（2）若軸，則，.若直線不與軸垂直，設直線的方程為，即，則坐標原點到直線的距離，.設.將代入，并化簡得，.，.，當且僅當即時，等號成立.綜上所述，最大值為1.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程，圓的性質，及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程，應用一元二次方程根與系數的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21.已知函數.（1）求的單調區間；（

22、2）若，且，證明：.【答案】（1）單調遞減區間為；單調遞增區間為.（2）見解析【解析】【分析】(1)先求函數定義域，對函數求導，分別解不等式和，得函數增區間和減區間即可；(2)由,得，可構造函數，則，探究在上的單調性，構造函數，探究在上的單調性,再結合關系式，利用單調性可得出結論【詳解】（1）的定義域為，由，得，從而；由，得，從而；所以，的單調遞減區間為；單調遞增區間為.（2），即，令，則，.當時，；當時，故時，恒成立，所以在上單調遞增，不妨設，注意到，所以，令，則，令，則，所以在上單調遞增，從而，即，所以在上單調遞減，于是，即，又，所以，于是，而在上單調遞增，所以，即.【點睛】本題主要考查導數在研